专题2.2 基本不等式【讲义：知识点+4题型8角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题2.2 基本不等式（解析版） 知识点1：基本不等式 1 知识点2：最值定理 2 题型1：利用基本不等式求最值 2 角度1：配凑法求最值 2 角度2：拆项、裂项法求最值 3 角度3：并项法求最值 4 角度4：基本不等式“1”的妙用求最值 5 题型2：不等式的证明 5 角度1：无附加条件的不等式 5 角度2：有附加条件的不等式 6 题型3：与基本不等式有关的恒成立问题 8 题型4：基本不等式的实际应用 9 学习目标导航 关键词 1. 理解基本不等式≤（a>0，b>0）（重点） 2. 结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(难点) （1）基本不等式 （2）最大值（或最小值） 知识点1：基本不等式 1. 重要不等式 a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取“=”. （1）不等式中，a，b既可以是数，也可以是代数式； （2）常见的变式：，，. 2. 基本不等式（又称均值不等式和均值定理） 内容：如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a=b时，等号成立.（是a、b的算术平均数，是a、b的几何平均数） 文字描述：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 3. 基本不等式链 如果a>0，b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立. (是a、b的调和平均数，是a、b的平方平均数) 4. 基本不等式的总结 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a，b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0，b>0) 基本不等式链 (a>0，b>0) 知识点2：最值定理 1．最值定理及其应用 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．（口诀：一正，二定，三相等） 题型1：利用基本不等式求最值 角度1：配凑法求最值 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 方法点拨：配凑法的应用 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值。 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值为 . 【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 角度2：拆项、裂项法求最值 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 方法点拨：裂项与拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离--将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值。 【变式2-1】（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【变式2-2】已知，的最小值为 . 【变式2-3】函数 的最小值为 ． 角度3：并项法求最值 【典例3】（23-24高一上·河北·阶段练习）若，则的最小值为 . 方法点拨：分组并项求最值 分组并项分组并项的目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先部分应用基本不等式，部分和部分之间又可以使用基本不等式求最值。 【变式3-1】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知a，b，且，则的最小值是 . 【变式3-2】（2023高二·浙江温州·学业考试）已知正数，满足，则的最小值为 ． 【变式3-3】（高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 角度4：基本不等式“1”的妙用求最值 【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式4-2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【变式4-3】（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 题型2：不等式的证明 角度1：无附加条件的不等式 【典例5】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【变式5-1】（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【变式5-3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知均为正实数. (1)求证：， (2)若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围. 角度2：有附加条件的不等式 【典例6】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）（1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 方法点拨：利用基本不等式证明不等式的方法 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果。 (2)累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法，注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)对不能直接使用基本不等式证明的问题，要研究其代数式结构，需重新组合，构造运用基本不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【变式6-2】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【变式6-3】（高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 题型3：与基本不等式有关的恒成立问题 【典例7】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【变式7-3】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 题型4：基本不等式的实际应用 【典例8】（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【变式8-1】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【变式8-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式（解析版） 知识点1：基本不等式 1 知识点2：最值定理 2 题型1：利用基本不等式求最值 2 角度1：配凑法求最值 2 角度2：拆项、裂项法求最值 5 角度3：并项法求最值 6 角度4：基本不等式“1”的妙用求最值 8 题型2：不等式的证明 10 角度1：无附加条件的不等式 10 角度2：有附加条件的不等式 13 题型3：与基本不等式有关的恒成立问题 16 题型4：基本不等式的实际应用 18 学习目标导航 关键词 1. 理解基本不等式≤（a>0，b>0）（重点） 2. 结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(难点) （1）基本不等式 （2）最大值（或最小值） 知识点1：基本不等式 1. 重要不等式 a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取“=”. （1）不等式中，a，b既可以是数，也可以是代数式； （2）常见的变式：，，. 2. 基本不等式（又称均值不等式和均值定理） 内容：如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a=b时，等号成立.（是a、b的算术平均数，是a、b的几何平均数） 文字描述：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 3. 基本不等式链 如果a>0，b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立. (是a、b的调和平均数，是a、b的平方平均数) 4. 基本不等式的总结 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a，b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0，b>0) 基本不等式链 (a>0，b>0) 知识点2：最值定理 1．最值定理及其应用 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．（口诀：一正，二定，三相等） 题型1：利用基本不等式求最值 角度1：配凑法求最值 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得； （2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最大值为. 方法点拨：配凑法的应用 为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值。 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由， 因为，可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当时，函数的最小值为. （2）由，当且仅当，即时取等号， 所以，当时，函数取得最大值. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式先求的最小值，然后可得. 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以. 故答案为： 【变式1-3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）若，使取得最小值时的值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出最小值及取最小值时的值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，即. 故答案为： 角度2：拆项、裂项法求最值 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 方法点拨：裂项与拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离--将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值。 【变式2-1】（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 【变式2-2】已知，的最小值为 . 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 【变式2-3】函数 的最小值为 ． 【答案】7 【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值. 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 角度3：并项法求最值 【典例3】（23-24高一上·河北·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】化简已知式为，再由基本不等式先求出的最小值，即可得出答案. 【详解】由，可得， 则两边同除以，得， 又因为， 当且仅当，即或时等号成立， 所以. 故答案为：2 方法点拨：分组并项求最值 分组并项分组并项的目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先部分应用基本不等式，部分和部分之间又可以使用基本不等式求最值。 【变式3-1】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）已知a，b，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由基本不等式结合题意先求出，再将，由基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时取等号；， 当且仅当时取等号； 所以，当且仅当时取等号； 所以 ， 当且仅当时，等号成立，最小值为. 故答案为：. 【变式3-2】（2023高二·浙江温州·学业考试）已知正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由结合均值不等式得出结果. 【详解】由得，即， 则 ， 当，且时，即时取等号. 所以的最小值为16. 故答案为：16. 【变式3-3】（高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 角度4：基本不等式“1”的妙用求最值 【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法，根据分类讨论和基本不等式求出范围，即可得解. 【详解】因为，且，显然有，， 所以，有，有，有， 若恒成立，而， 又①， 当有，当有， 此时趋向于1或2时，①式趋向于负无穷，故无解； 当有， ①式 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 综上，无解 故答案为： 【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 题型2：不等式的证明 角度1：无附加条件的不等式 【典例5】（23-24高一下·山东淄博·期中）（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 【变式5-1】（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)8. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1），则，当且仅当时取等号， 所以. （2）由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 【变式5-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 【变式5-3】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知均为正实数. (1)求证：， (2)若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）要证明，只需证，只需证，而，即可得出结论. （2）利用（1）中的结论和三角形性质即可得出结果. 【详解】（1）因为为正实数， 所以不等式等价于， 由， 所以，当时取“”. （2）由题意，得. 由（1）的结论，， 当时取“”. 又，所以. 所以直角周长的取值范围为. 角度2：有附加条件的不等式 【典例6】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）（1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用“”的代换及基本不等式计算可得； （2）依题意，，再计算，即可得证. 【详解】（1），，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， ； （2）因为，， 所以，，即，， 所以 ，当且仅当或时取等号， 所以，则. 方法点拨：利用基本不等式证明不等式的方法 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果。 (2)累加法是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法，注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)对不能直接使用基本不等式证明的问题，要研究其代数式结构，需重新组合，构造运用基本不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注意“1”的代换. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 【变式6-2】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）设为正数，且. 证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接使用条件化为复合二次函数证明； （2）思路一：利用已知条件，并连续使用两次基本不等式即可.思路二：利用条件等式、分析法以及基本不等式即可得证. 【详解】（1）由已知有，从而， 故， 当且仅当时等号成立. （2）方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有 ， 当且仅当时等号成立. 【变式6-3】（高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 题型3：与基本不等式有关的恒成立问题 【典例7】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 【变式7-1】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 【变式7-2】（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 【变式7-3】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 题型4：基本不等式的实际应用 【典例8】（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【变式8-1】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 【变式8-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少. 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 【变式8-3】（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$