第1章 勾股定理（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第1章 勾股定理（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．6 B．8 C．10 D．7 3．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，钓鱼竿的长为米，露在水面上的鱼线长为1米．当钓鱼者把钓鱼竿转到的位置时，露在水面上的鱼线长为2米，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（      ） A．19 B．13 C．42 D．29 5．（23-24八年级下·广西玉林·期末）勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图是一个长、宽、高分别为4，2，1的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A．5 B．5．4 C．6．1 D．7 7．（17-18八年级上·湖北·课后作业）如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则(    )    A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，AD是的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若，，，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 12．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ．    13．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 14．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 15．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 16．（23-24八年级下·辽宁·阶段练习）如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为 ． 17．（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）观察下列勾股数： 观察以上各组勾股数组成特点，第七组勾股数是 （只填数字，不填等式）. 18．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点C，点A在上，连接，已知，．若，则 ， ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图，点C在线段上，且，，，垂足别是点、、，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 20．（8分）（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 21．（10分）（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 22．（10分）（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 23．（10分）（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    24．（12分）（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． （1）若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； （2）如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意； B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意； C、由，该组数不是勾股数，不符合题意； D、由，该组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作的延长线于点D，设，，在中，在中，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：如图，过点A作的延长线于点D， 设，， 在中， ，即， 在中， ，即， 解得：， ， 故选：A． 3．B 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理分别求出，即可得到的长度，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴米， 故选B 4．D 【分析】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到，，利用完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ，且直角三角形的斜边长为， 大正方形的边长为，则， 大正方形的面积为16，小正方形的面积是3， ，即，则， ， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是， 故：A． 6．A 【分析】本题考查勾股定理的应用．解题关键是展开长方体将A，B放在同一平面，展开的方式不同，蚂蚁爬行的路线就不同，有三种情况，可分别求出值，找到最短路线；分三种情况展开，将A和B放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 【详解】由于长方体的平面展开方式不唯一，故分以下三种情况进行讨论： （1）把前面右面组成一个长方形，连接，如图， ； （2）把前面上面组成一个长方形，连接，如图， ； （3）把左面上面组成一个长方形，连接，如图， ， ， 最短路径的长为， 故选：A． 7．C 【详解】如图所示,先作点N关于AC的对称点N’,由两点之间线段最短可知BN’即为BM+MN的最小值,根据对称性可知N’C=NC=5, ∠ACB=∠CAN’=45°,即∠BCN’=90°, 在Rt△BCN’中,BN’=故答案为: 8．D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查全等三角形的性质、勾股定理等知识点，用含字母的式子表示出， 是解题的关键． 【详解】解：如图：    设， 是四个全等的三角形 ， ， 故选：C． 10．B 【分析】过点C作，交射线于点G．证明得到，再运用勾股定理计算即可． 【详解】过点C作，交射线于点G．    ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的周长为， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明，灵活用勾股定理是解题的关键． 11．625 【分析】本题考查勾股树，根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形F的面积，同法可求正方形E、G的面积． 【详解】解：由勾股定理可知，， ， ， 故答案为：625． 12．/ 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由和勾股定理可得到的长度，根据题意可知，，最后由即可得到答案． 【详解】解：，， ， 又中，， ， 根据作图可知，，， ， ， 故答案为：． 13．4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．10 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：10． 16．或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理； ①当在线段上方，点在线段上时，首先求出，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可；②当在线段下方，点在线段的延长线上时，由①知，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：①如图1，当在线段上方，点在线段上时， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴； ②如图2，当在线段下方，点在线段的延长线上时， 由①知， 在中，根据勾股定理得：， ∴； 故答案为：或． 17．15，112，113 【分析】本题主要考查了数字规律、勾股数等知识点，通过观察发现规律是解题的关键. 通过观察可发现，第n 组勾股数为，然后根据该规律即可解答． 【详解】解：观察可以发现：第n 组勾股数为， 当时，勾股数为：. 故答案为：15，112，113. 18． 2 【分析】由等边对等角得，再根据同角或等角的余角相等得到，可得到，然后运用勾股定理解题即可． 【详解】解析：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴． ∴，． 在中，． 在中，． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质等，解题的关键是灵活运用“等边对等角”以及“等角对等边”的性质，由已知的边、角相等关系得到未知的边、角之间的相等关系． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，勾股定理，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法判定出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用勾股定理求出的长，结合三角形面积公式运算即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）知： ∴，， 在中，， ∴． 20．千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 21．(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 22．(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 23．（1） （2）仍成立；理由见解析  （3）128 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，得出，从而得到； （2）根据证明，得出，从而得到； （3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）在中，， ∴ 过点A作，交于点F， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 24．(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$