精品解析：四川省乐山市夹江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

夹江县八年级下期末学业水平阶段性检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，必须在答题卡上规定的区域内答题．在本试卷以及草稿纸上作答均为无效答题．答题时不得使用数学用表和各类计算器．考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各式中是分式的是（ ）． A. B. C. D. 2 2. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，则下列说法错误的是（ ）． A. B. C. D. 3. 生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（，）是种能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将该数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 若a为小于3的常数，则一次函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图菱形，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ）． A. 恒等于6 B. 恒等于9 C. 逐渐增加 D. 先增加再减小 8. 已知五个数据，，，，的平均数是a，方差是b，则，，，，这五个数据的平均数和方差分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，平行于x轴的直线与函数，的部分图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共120分） 注意事项：1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．本卷共16个小题，共120分． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义时，x的取值范围是______． 12. 化简的结果为_______． 13. 如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则____． 14. 某餐厅供应单价为10元、8元、6元三种价格的小吃，如图是该餐厅某月销售情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅销售小吃的平均单价为______元． 15. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么的面积为______． 16. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值：______； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是______． 三、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： 19. 如图所示，的对角线、交于点O，点E在上，点F在上，．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某校为此举办国家安全知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c d （1）填空：______；______；______． （2）求乙组的方差d； （3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选哪一组？请给出理由． 21. 如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 22. 如图，在中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，四边形面积为20，，求的长度． 五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 23. 著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为______； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当时，y随着x的增大而______（填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 24. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． （1）求所在的反比例函数的解析式； （2）吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，共25分） 25. 【问题提出】如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与θ的数量关系． 【问题探究1】（1）小明想先将该问题特殊化：如图2，当时，求出此时的大小．为了解决这个问题，小明做了如下尝试：在边上取点M，使，连接，接下来利用全等相关知识解决即可．请帮助小明完成接下的求解过程． 【问题探究2】（2）再探究一般情况，请利用图1寻找与θ的数量关系． 26. 在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P． （1）如图，当时，求点P的坐标； （2）点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夹江县八年级下期末学业水平阶段性检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，必须在答题卡上规定的区域内答题．在本试卷以及草稿纸上作答均为无效答题．答题时不得使用数学用表和各类计算器．考试结束后，本试题单和答题卡由考场统一收回，试题单集中管理不上交．答题卡按规定装袋上交． 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各式中是分式的是（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】题考查分式的定义，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式． 【详解】解：A. 是整式，不是分式，故A不符合题意； B. 是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意； C. 分母含有字母，是分式，故C符合题意， D. 是整数，不是分式，故D不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，则下列说法错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；由平行四边形的性质得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴选项A、B、C正确，D不正确； 故选：D． 3. 生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（，）是种能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将该数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 4. 若a为小于3的常数，则一次函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象经过一、二、四象限是解答此题的关键． 【详解】解：a为小于3的常数， ，， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：D． 5. 如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用坐标确定位置的方法，先确定点的坐标，再按照箭头所指的方向确定点的坐标即可 【详解】解：根据题意知， 所以，该棋子沿着箭头所指的方向运动路径用坐标表示正确的是， 故选：A 6. 我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，设6210元购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210文能买x株椽，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 7. 如图菱形，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ）． A. 恒等于6 B. 恒等于9 C. 逐渐增加 D. 先增加再减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，，判定是等边三角形，得到，，，由，推出，判定，得到，于是得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 已知五个数据，，，，的平均数是a，方差是b，则，，，，这五个数据的平均数和方差分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的计算，关键是熟悉计算公式，会将所求式子变形，再整体代入．根据，，，，的平均数是a，方差是b，可以计算出和的值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可． 【详解】由题知得：， ∴， 另一组数据的平均数 ， 另一组数据的方差 ， 故选：D． 9. 如图，平行于x轴的直线与函数，的部分图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，连接，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：连接，设直线与y轴交于点，如图所示： ∵轴， ∴， ，， 则， 故选：B． 10. 如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，解题关键是要熟练运用折叠的性质和勾股定理．要使折痕始终与边、有交点，就要找到与重合，与重合时对应的长即可，由折叠可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当与重合时，如图①，的值最小， 由折叠可得，， ∴在中， ∴； 当与重合时，如图②，的值最大， 由折叠得，． 综上所述，的取值范围是． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共120分） 注意事项：1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．本卷共16个小题，共120分． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分式有意义时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键；根据分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故答案为：． 12. 化简的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，先将第二个分式的分子、分母因式分解，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13. 如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，先由正方形的性质得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某餐厅供应单价为10元、8元、6元三种价格的小吃，如图是该餐厅某月销售情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅销售小吃的平均单价为______元． 【答案】7.8 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、加权平均数计算方法，根据扇形统计图可知三种价格套餐销售的结构占比，用加权平均法计算平均数．理解扇形图的统计意义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该餐厅销售小吃的平均单价为元， 故答案为：7.8． 15. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则，当直线经过D点，设直线交于N，则，作于点M，利用勾股定理可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则， 设直线经过点D时，交于N，则，作于点M，如图所示： ∵移动直线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定的长，是解答本题的关键． 16. 对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足，则称这个函数是有界函数，其中，M的最小值称为这个函数的边界值． （1）若函数（）是有界函数，请写出其中一个M的取值：______； （2）若函数（，且）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是______． 【答案】 ①. 2（大于等于2即可） ②. 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． （1）根据“有界函数”的定义求解即可； （2）根据可知函数（,且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时， 故M的值为：2（答案不唯一，大于等于2即可） （2）∵ ∴函数（,且）的y随x的增大而增大， ∴当时，函数的函数值为边界值， ∵, ∵边界值小于3 ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂的运算，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项再算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解下列方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，再移项和合并同类项，最后检验即可． 【详解】 经检验，当时，，所以此方程无根． 【点睛】本题考查了解分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 19. 如图所示，的对角线、交于点O，点E在上，点F在上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，同时对顶角． 又四边形是平行四边形， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，平行四边形的对角线互相平分则，推出，进而可得，即可得证． 【详解】略 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某校为此举办国家安全知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c d （1）填空：______；______；______． （2）求乙组的方差d； （3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选哪一组？请给出理由． 【答案】（1）6；7；7； （2） （3） 解：选择乙组参加，理由如下： 甲乙两组平均数相等，但乙组的中位数和众数都大于甲组，且乙组的方差小于甲组，所以选择乙组． 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据方差公式求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲组数据从小到大排列后，第5和6的数是6，6，故中位线， 乙组的平均数， 乙组数据中7出现的次数最多，有4次，故众数， 故答案为：6；7；7； 【小问2详解】 解：乙组的方差； 【小问3详解】 略 21. 如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的有关知识，学会用待定系数法求函数解析式，掌握由图象根据要求确定自变量的取值范围的方法． （1）根据待定系数法即可解决． （2）不等式的解集在图象上是直线在上面的部分，根据图象即可写出． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． ∴把、代入得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为； 把代入，得， 解得，， 所以，反比例函数的解析式为 【小问2详解】 解：由图象得：x的取值范围是． 22. 如图，在中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，四边形面积为20，，求的长度． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ∴，． 又， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据含一个角为直角是平行四边形证明四边形是矩形． （2）根据矩形面积为20求出，证明，求出，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ． 平分，， ，， ， ， 又， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练矩形的判定方法． 五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 23. 著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为______； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当时，y随着x的增大而______（填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【答案】（1） （2）增大 （3）和 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，反比例函数的性质： （1）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，再根据反比例函数的性质即可求解； （3）将分式化为带分式，再根据横、纵坐标均为整数确定x的值，进一步确定y的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 当时，随着x的增大而增大， 当时，随着x的增大而增大， 故答案为：增大； 【小问3详解】 解：， 若纵坐标为整数，即为整数，且横坐标为整数，即x为整数， ， 或2， 当时，；当时，， 函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为和． 24. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为，点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． （1）求所在的反比例函数的解析式； （2）吴老师计划在课堂上讲解一道推理题，准备花费20分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：老师安排不合理，理由如下： 由题意，设 ∵直线过点和 解得，， 令， ， 令， ， 老师安排不合理． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键； （1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案； （2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论； 【小问1详解】 解：由题意，设所在反比例函数的解析式为 过点， ， ． 【小问2详解】 略 六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，共25分） 25. 【问题提出】如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与θ的数量关系． 【问题探究1】（1）小明想先将该问题特殊化：如图2，当时，求出此时的大小．为了解决这个问题，小明做了如下尝试：在边上取点M，使，连接，接下来利用全等相关知识解决即可．请帮助小明完成接下的求解过程． 【问题探究2】（2）再探究一般情况，请利用图1寻找与θ的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到． （2）在上截取，使，连接，证明，得到，由菱形的性质得到，，则．再由即可得到结论． 【详解】解：（1）在图2中，在上截取，使，连接， ， ， ． ． ， 四边形是正方形， ， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． 四边形是菱形， ，， ，， ， ． ． 26. 在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P． （1）如图，当时，求点P的坐标； （2）点Q是y轴正半轴上一点，且，连接． ⅰ）当线段的长为8时，求a的值； ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）ⅰ）；ⅱ）直线经过定点． 【解析】 【分析】（1）作于点C，证明，进而即可求得点P的坐标； （2）ⅰ）作于点C，证明，再利用勾股定理求得，利用线段和差关系列方程进而即可求得a的值； ⅱ）方法同上，求得点P的坐标，求出直线的表达式即可求出定点． 【小问1详解】 解：作于点C， ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 【小问2详解】 解：ⅰ）如图所示， 作于点N， ，点P在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为， 中，， ， ，即， ， 即a的值为； ⅱ）直线经过定点． 理由： 点P的坐标为，， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ，即， 当时，，， 此时无论a为何正数，直线必过点． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-几何问题，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法，题目综合性比较强，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $