第01讲 空间向量及其运算（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版2019） 第01讲 空间向量及其运算 学习目标： 1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其运算律. 2．掌握空间向量共线共面的充要条件及其应用. 3．掌握空间向量的夹角的概念，数量积的定义、性质、运算律. 4．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.，能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 重点难点： 重点：理解空间向量的概念 难点：掌握空间向量的运算及其应用 一、空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 三、共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 四、空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 五、空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量的有关概念及线性运算 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 2．给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心．若．则 ． 5．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．在正四面体中，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，分别是的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 考点02 共线向量定理的应用 8．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 9．已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 10．在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 12．如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 13．如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 考点03 共面向量及应用 14．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（    ） A．四点P、A、B、C不一定共面 B．四点P、A、B、C必共面 C．四点O、P、B、C必共面 D．无法判断 15．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 17．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ． 18．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； 19．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 考点04 空间向量的数量积 20．已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（    ）组. A．3 B．2 C．1 D．0 21．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 22．如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 24．（多选）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 25．某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 26．已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 考点05 利用空间向量的数量积求夹角 27．已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 28．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 29．如图，已知正方体，设，，，则 .    30．在四面体中，，，，，则 ． 31．把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为 ． 32．已知点P为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ． 33．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 考点06 利用空间向量的数量积求线段长度 34．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 35．沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 36．如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（    ）    A． B． C． D． 37．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 38．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 . 39．如图，在矩形中，，将沿折起到的位置，使得平面与平面的夹角为，则，之间的距离为 ． 考点07 利用空间向量的数量积证明垂直 40．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 41．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 42．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 43．设ABCD是空间四边形，求证：． 基础试炼 一、单选题 1．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2．有下列命题： ①若与平行，则与所在的直线平行； ②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面； ③若、、两两共面，则、、一定也共面； ④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（    ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 5．在三棱锥中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．已知是正方体，以下正确命题有（    ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 三、填空题 9．如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则 ． 10．如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为 .    四、解答题 11．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 12．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 高阶突破 1．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 3．（多选）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（    ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 4．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 5．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 6．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版2019） 第01讲 空间向量及其运算 学习目标： 1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其运算律. 2．掌握空间向量共线共面的充要条件及其应用. 3．掌握空间向量的夹角的概念，数量积的定义、性质、运算律. 4．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.，能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 重点难点： 重点：理解空间向量的概念 难点：掌握空间向量的运算及其应用 一、空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 三、共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 四、空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 五、空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 考点01 空间向量的有关概念及线性运算 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在空间中，单位向量唯一.( ) （2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移.( ) （3）在空间中，互为相反向量的两个向量必共线.( ) （4）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) 【答案】 错误 正确 正确 正确 【详解】（1）单位向量的方向是任意的，故（1）错误； （2）在空间中，任意向量都可以平移，故（2）正确； （3）在空间中长度相等，方向相反的向量，叫相反向量，是共线的，故（3）正确； （4）相等向量方向相同，长度相等，当起点相同时，终点一定相同，故（4）正确. 故答案为：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）正确. 2．给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】 对于①，，故①为真命题； 对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题． 故假命题的个数为4. 故选：C 3．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】    对于①，，，， 与是一对相反向量，①正确； 对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， , 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 4．如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心．若．则 ． 【答案】/ 【详解】 连接， 因为E，F分别是上底面和侧面的中心，所以E，F分别是的中点， 所以， ， 所以，又， 所以，则. 故答案为：. 5．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 6．在正四面体中，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，． 故选：C． 7．在平行六面体中，分别是的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由空间向量加法运算可知，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：C    考点02 共线向量定理的应用 8．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则解得： 故选：A. 9．已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【答案】A 【详解】因为且，则存在实数，使得，即， 又因为，，不共面，则，解得. 故选：A 10．在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， 所以有，因此， 故选：C 11．如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 12．如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 13．如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 考点03 共面向量及应用 14．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（    ） A．四点P、A、B、C不一定共面 B．四点P、A、B、C必共面 C．四点O、P、B、C必共面 D．无法判断 【答案】B 【详解】由，整理可得， 则，故、、、共面， 故选：B. 15．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线 可得，解之得 故选：D 16．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 17．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】1 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数m，n，使得， 则， 则，解得． 故答案为：1 18．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； 【答案】证明见解析 【详解】因为，， 所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量， 因为有公共点，有公共点， 所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面. 19．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 考点04 空间向量的数量积 20．已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（    ）组. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】若向量，，均为非零向量，则向量，，共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线的有0组或3组，故A和D错误； 若其中一个为零向量，则另外两个向量一定不共线，则，零向量和另外两个向量组成两组共线向量，故B错误. 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 故选：C 21．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 22．如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等边中，因为，可得的高为， 所以， 在直角中，可得， 又因为分别为的中点，可得， 在中，可得， 所以. 故选：B. 23．如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 24．（多选）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 则两两夹角为，， 所以， 对于A，，正确； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，正确； 对于D，因为， 所以，错误. 故选：AC 25．某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 【答案】-1 【详解】设圆锥底面圆的圆心O，则， 则圆锥的高， ， 当垂直于过P点的母线时，长最小，即为， 故的最小值为， 故答案为：-1 26．已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 【答案】 【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1， 当点在正方体的面的中心时，取得最小值1； 当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以； 故 ， 所以的最大值是，最小值是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解. 考点05 利用空间向量的数量积求夹角 27．已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即与的夹角为． 故选：D． 28．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 所以， 又，， 所以，而， ， 综上，直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D 29．如图，已知正方体，设，，，则 .    【答案】 【详解】设正方体的棱长为1，且， 由， 所以，又， ，又， 所以. 故答案为： 30．在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 又，，所以， 所以. 又，所以． 故答案为： 31．把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】由于,所以, 不妨设正方形的边长为2，则,, , 所以, 故 , 所以, 故答案为：    32．已知点P为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ． 【答案】0 【详解】取线段的中点E，则，， 因为，所以P在以A为球心的正方体内部的球面上，    所以，， 当A、P、E三点共线时，取最小值， 此时，此时， 所以，所以与的夹角为，则夹角余弦值为0， 故答案为：0 33．已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. 考点06 利用空间向量的数量积求线段长度 34．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 35．沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：，且， 不妨设，则， 可得， 即，所以此三个力的合力的大小为. 故答案为：. 36．如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 同理可得，，， 所以丝线缠一圈的长度为， 故选：A 37．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. （2）由（1）得， 所以， ，即． 38．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 . 【答案】 【详解】由已知，，,， 所以 ， 所以, 故答案为： 39．如图，在矩形中，，将沿折起到的位置，使得平面与平面的夹角为，则，之间的距离为 ． 【答案】或 【详解】作，，垂足分别为E，F，因为，则， 所以，所以，同理， 则，所以， 因为平面与平面的夹角为，所以与的夹角为或， 因为，，， 所以 ． 若与的夹角为，则，所以， 所以； 若与的夹角为，则， 所以，所以． 故P，C之间的距离为或． 故答案为：或． 考点07 利用空间向量的数量积证明垂直 40．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 41．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴． 42．已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】根据题意，有， 根据余弦定理，有， 从而， 故即， ， . 命题得证． 43．设ABCD是空间四边形，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为 ， 所以 ．    基础试炼 一、单选题 1．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 2．有下列命题： ①若与平行，则与所在的直线平行； ②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面； ③若、、两两共面，则、、一定也共面； ④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：①若向量，平行，则向量，所在的直线平行或重合，因此①不正确； ②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，是共面向量，因此②不正确； ③若三个向量，，两两共面，则向量，，不一定共面， 可能是空间三个不共面的向量，如空间直角坐标系中轴、轴、轴方向上的单位向量，因此③不正确； ④若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点， 但是直线可以平行平面，则与、共面，故④错误． 故选：A 3．给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于A：模长相等方向未知不能确定向量相等，A选项错误； 对于B：模长相等都是1，方向未知不能确定向量相等，B选项错误； 对于C：满足， 但是不满足，C选项错误； 对于D：在正方体中，且方向相同，D选项正确. 假命题个数为3. 故选：C. 4．已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（    ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【详解】因为，则， 即，即，所以共面， 又因为它们有公共点，所以点、、、共面. 故选：B. 5．在三棱锥中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知的， 所以， 所以， 故选：C. 6．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ． 又，，， 所以，，， 所以 ， 所以. 故选：A． 二、多选题 7．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：ABD 8．已知是正方体，以下正确命题有（    ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 【答案】AB 【详解】对于A中，由空间向量的运算法则，可得： ，所以A正确； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，所以， 所以向量与所成的角为，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得， 该正方体的体积为，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】因为M、G分别是BC、CD的中点，所以. 所以. 在中，. 由余弦定理得：. 在中， . 所以. 故答案为：. 10．如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为 .    【答案】或 【详解】，两边平方得， ， 因为，，，线段都垂直于直线，平面与平面的夹角为， 所以或， 即或. 故答案为：或 四、解答题 11．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 12．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 高阶突破 1．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 2．（多选）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【详解】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 3．（多选）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（    ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 【答案】BC 【详解】对于A,连接相交于，故 ，，A错误； 对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折， 使其与共面，得到菱形，则，B正确； 对于C，由且,平面, 故平面，平面，， 若，平面,则平面， 故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确； 对于D，，， 由于平面，故平面， 平面，故 （与的夹角为钝角），D错误． 故选：BC. 4．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    5．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 【答案】 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 6．已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为 ， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为 故答案为：，．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$