专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1) (2)； (3)． 5．计算（直接写出结果）: (1)_______ (2)_________ (3)___________ (4)_______ (5)___________ (6)__________ (7)____________ (8)_________ (9)______________ (10)_______________ (11)____________ (12)_______________ 6．计算并直接写出结果： (1)　　； (2)　　； (3)　　； (4)　　． 7．直接写出结果： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．（23-24七年级上·福建泉州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1) (2) 13．（23-24七年级上·吉林白城·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）计算： (1)； (2)． 15．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2) 16．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）计算： (1) (2) 17．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 19．（23-24七年级上·广东肇庆·阶段练习）计算 (1) (2) 20．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 22．（23-24七年级上·广东佛山·期中）计算： 23．（23-24七年级上·广东中山·期中）计算： 24．（23-24七年级上·海南海口·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 25．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 26．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 27．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (1) (2) 28．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 30．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 32．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 33．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 34．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 35．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 36．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 37．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)． (2)． 38．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (3)； (4)． 39．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算 (1) (2) 40．（23-24七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 42．（2023九年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 44．（22-23七年级上·辽宁本溪·期中）计算 (1) (2) 45．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)−； (2)； (3)； (4)； (5)． 46．（21-22七年级上·辽宁本溪·期末）计算：． 47．（23-24九年级上·吉林松原·期中）计算： 48．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 49．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：． 50．（21-22六年级下·黑龙江大庆·期中）阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 52．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 53．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 54．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算 (1)； (2)． 55．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 56．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（23-24六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 58．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 59．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 60．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 62．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 63．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)若 ，求b的值； (2)化简： ； ． 64．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 65．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．    66．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）计算：（    ）； （2）若，求m的值； （3），请直接写出所有符合条件的整数m． 67．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）a，b，c在数轴上的位置如图，则：    (1)填空：______，______，______． (2)化简：． 68．（2023七年级上·全国·专题练习）有理数、、在数轴上的位置如图所示：    (1)比较、、的大小（用“”连接）； (2)化简． 69．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)判断正负，用“”或“”填空： ___________0， ___________ 0， __________0， ___________0． (2)化简：． 70．（22-23七年级上·湖南湘潭·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 72．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 73．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：． 74．（21-22七年级上·河南焦作·期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 75．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) 76．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 77．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）简便计算 (1)； (2)． 78．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2) (3) (4) 79．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 80．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）简便计算： (1) (2) 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 102．（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 103．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 105．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 106．（21-22七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 107．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 108．（23-24七年级上·广东湛江·期中）对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 109．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 110．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 4．计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．计算（直接写出结果）: (1)_______ (2)_________ (3)___________ (4)_______ (5)___________ (6)__________ (7)____________ (8)_________ (9)______________ (10)_______________ (11)____________ (12)_______________ 【答案】(1)0 (2)12 (3) (4) (5)1000 (6) (7)10 (8)8 (9)2 (10)4 (11) (12)26 【分析】本题主要考查有理数的加减法法则，掌握运算法则是解题的关键. （1）利用互为相反数的两个数的和为0可得答案； （2）利用绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可； （3）利用同号的两数相加的运算法则计算即可； （4）利用一个数与0相加得原数可得答案； （5）把减法化为加法，再计算即可； （6）把减法化为加法，再计算即可； （7）利用同号的两数相加的运算法则计算即可； （8）把减法化为加法，再计算即可； （9）先计算绝对值，再计算即可； （10）利用绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可； （11）利用绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可； （12）利用绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； （10）解：； （11）解：； （12）解：； 6．计算并直接写出结果： (1)　　； (2)　　； (3)　　； (4)　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果； （4）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 【详解】（1）解：原式， 故答案为:； （2）原式， 故答案为：； （3）原式， 故答案为：； （4）原式， 故答案为： 7．直接写出结果： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)4 (5) (6)3 【分析】（1）本题考查相反数，根据相反数定义直接求解即可得到答案； （2）本题考查有理数加法运算，根据互为相反的两个数的和为0求解即可得到答案； （3）本题考查有理数减法的运算，根据减法法则直接求解即可得到答案； （4）本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义直接求解即可得到答案； （5）本题考查有理数乘法的运算，根据异号两数相乘符号得负，再把绝对值相乘即可得到答案； （6）本题考查有理数除法的运算，根据同号两数相除，符号得正，再把绝对值相除即可得到答案 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）0除以任何数都为0； （2）根据有理数的除法法则计算； （3）根据有理数的除法法则进行计算； （4）换算成小数进行计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．（23-24七年级上·福建泉州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的四则混合运算法则以及运算律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 12．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的，先算括号里面的；熟练掌握有理数的混合运算步骤是解本题关键． （1）根据有理数的混合运算顺序，即可得出答案； （2）根据有理数的混合运算顺序，即可得出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解：． 13．（23-24七年级上·吉林白城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算，再，即可求解； （2）先计算乘方，再计算乘除，即可求解． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算． （1）先计算除法再计算减法即可得到本题答案； （2）先计算括号内的，再计算除法最后计算加法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 15．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算，掌握有理数混合运算法则是关键． （1）先算乘法，再算加减，即可解答； （2）先算乘方，再算除法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【详解】（1）解：                      ； （2）解：                      16．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可． （1）计算绝对值，利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）先算乘方，再利用有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 17．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，乘除混合运算， （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 19．（23-24七年级上·广东肇庆·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据有理数的加减法，先把减法化为加法，再运用有理数的加法法则计算，可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法，先把除法化为乘法，再运用有理数的乘法法则计算，可以解答本题． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键， （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减乘除混合运算法则计算即可； （3）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21．（23-24七年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． （1）用加法的交换律和结合律，把正数、负数分别结合，再计算即可； （2）按从左向右的顺序计算即可； （3）先把能凑成整数的加数结合再进行简便计算即可． （4）把后面的两个数交换位置再进行简便计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 22．（23-24七年级上·广东佛山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，掌握将减法统一为加法，运用有理数的加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解： ． 23．（23-24七年级上·广东中山·期中）计算： 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 24．（23-24七年级上·海南海口·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减的运算法则计算即可． （2）根据有理数加减的运算法则计算即可． （3）根据有理数加减的运算法则和加法交换律、结合律计算即可． （4）根据有理数加减的运算法则和加法交换律、结合律计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 （4）原式． 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，牢记有理数加减运算的法则和运算律是解题的关键． 25．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)17 (3) 【分析】（1）利用有理数的加减法则及绝对值的性质进行计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查绝对值及有理数的加减法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 26．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）打开括号即可求解； （2）利用有理数加法运算法则即可求解； （3）利用有理数加减运算法则即可求解； （4）利用加法结合律即可求解； （5）打开括号即可求解； （6）将小数化成分数，利用结合律即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．关键是掌握相关运算法则和运算律． 27．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用加法结合律即可求解； （2）利用加法结合律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算．注意掌握相关运算律． 28．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再根据有理数的简便运算，即可求解； （2）先去括号，再正数与正数相加，负数与负数相加，即可求解； （3）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解； （4）把小数化成分数，先去括号，再同分母分数想加减，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了去括号，有理数的加减法，解题关键是熟练掌握去括号的方法及有理数加减法法则． 29．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)0 (2) (3) (4)0 (5) 【分析】先化简符号，计算绝对值，再算加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值的意义，将有理数的加减混合运算统一成加法并利用加法的运算律解答是解题的关键． 30．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)15 (5) (6) 【分析】（1）打开括号，利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）先通分，即可求解； （3）先化简绝对值，再进行计算； （4）打开括号，利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （5）打开括号，利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （6）打开括号，适当组合，利用有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 【点睛】本题主要考查了有理数的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 (5)3 (6)． 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先写成没有括号的和的形式，再从左向右计算即可； （2）运用加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先统一成乘法，再计算即可； （4）先统一成乘法，再计算即可； （5）运用乘法分配律进行简便计算即可； （6）运用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 32．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：． 【答案】3 【分析】先确定符号，再把除法化为乘法，根据有理数乘法法则计算． 本题主要考查了有理数的乘法、除法，掌握有理数乘法、除法法则，符号的确定是解题关键． 【详解】解：原式 ． 33．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ． 34．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)0 (3)3 (4) 【分析】 本题考查了有理数加减混合运算，乘除混合运算． （1）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）利用减法法则变形，同分母结合后，相加即可得到结果； （3）利用除法法则变形，根据乘法法则计算即可得到结果； （4）利用除法法则变形，根据乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 35．（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)6 (2) (3)0 (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （3）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （4）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算； （5）根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 36．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法运算进行计算即可求解； （4）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律进行计算即可求解； （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数，运用乘法分配律计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2）解： 38．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下列各题： (1); (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． （2）先把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答． （3）先进行乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先把除法化为乘法，再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）先把除法转化为除法，然后根据乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先把除法转化为除法，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．（23-24七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；；；；． (2)；；． 【分析】（1）根据乘方的意义进行计算即可； （2）根据乘方的意义进行计算即可． 【详解】（1）解：；；；；． （2）解； ；；． 【点睛】本题考查了乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 42．（2023九年级·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． 43．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方和括号里的运算，然后计算括号外的除法，最后运算减法即可． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是就解题的关键． 44．（22-23七年级上·辽宁本溪·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法的分配律，可使运算简便； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可解题． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算律及运算顺序是解决本题的关键． 45．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)−； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)-1 (3)0.0625 (4) (5) 【分析】（1）-（5）根据有理数的乘方计算法则求解即可. 【详解】（1）解： （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 46．（21-22七年级上·辽宁本溪·期末）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 47．（23-24九年级上·吉林松原·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 48．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算，解题的关键熟知各种运算法则． 根据乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】 49．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可. 【详解】解： ； 50．（21-22六年级下·黑龙江大庆·期中）阅读计算： 阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ， ； (2)通过上述验证，归纳得出： ； (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2) (3) 【分析】（1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 52．（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算减法即可； （2）先计算小括号里的，再计算乘除，最后计算减法即可； （3）先计算小括号，再计算中括号，即可求解； （4）先计算除法，并运用乘法分配律将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 53．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先去括号，然后计算加减法即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可即可； （3）先算乘方，再算乘除法即可； （4）先算乘除法，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 54．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先算乘方和括号内的数，再算乘法，最后算加减即可； （2）根据乘方分配律计算即可． 【详解】（1）解：， 原式 （2） 55．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）原式利用减法法则变形，然后利用加法交换律和结合律计算即可得到结果； （2）原式利用乘法分配律解题即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律的逆运算即可得到结果； （4）原式先运算乘方和括号，然后乘除，最后加减计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 56．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4)8 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的加法解答； （2）根据有理数的减法解答； （3）根据有理数的乘除法运算法则解答； （4）根据有理数的乘方，有理数的乘除法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式． 57．（23-24六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)11 (3) (4) 【分析】（1）根据交换律和有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先利用乘法分配律进行计算，再根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （4）先计算括号里的，再计算乘方，然后计算乘法，最后再计算有理数的减法即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）． 解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加法交换律、有理数的乘法分配律、有理数的加减混合运算、含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 58．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算即可； （2）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可； （3）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 59．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)5 (6) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）先把减法改为加法计算即可； （3）利用有理数的乘除法则计算即可； （4）先乘除再加减计算即可； （5）利用乘法对加法的分配律计算即可； （6）先算乘方，再算括号里面的运算，再算乘法，最后算括号外面的减法． 掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 60．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）先去括号，然后计算减法即可得到答案； （3）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 【答案】或． 【分析】本题主要考查解绝对值方程，分、、三种情况去绝对值，解一元一次方程即可． 【详解】解：（1）当时，有，得； （2）当时，有，无解； （3）当时，有，得． 所以方程的解为或． 62．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 63．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且． (1)若 ，求b的值； (2)化简： ； ． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，结合数轴，得到，根据，求得或，结合点b在原点的左侧，确定即可． （2）根据数轴，比较大小，确定正负后化简即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴或， ∵点b在原点的左侧， ∴． （2）∵， ∴， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴上比较数的大小，绝对值的化简，熟练掌握性质和化简绝对值是解题的关键． 64．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）化简下列各数： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 【答案】①8；②；③；④3.8 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 65．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．    【答案】 【分析】利用数轴可得，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值，解题的关键是根据数轴确定． 66．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）计算：（    ）； （2）若，求m的值； （3），请直接写出所有符合条件的整数m． 【答案】（1）16；（2）或；（3），，0，1，2，3，4． 【分析】（1）根据绝对值的意义进行计算即可； （2）根据绝对值的意义得出或，求出m的值即可； （3）根据，，三种情况化简绝对值，进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴或， 解得：或； （3）当时，， 解得：； 当时，， ∴的任意整数都符合题意， 即，，1，2，3时，； 当时，， 解得：； 综上分析可知，符合条件的整数m的值为，，0，1，2，3，4． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 67．（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）a，b，c在数轴上的位置如图，则：    (1)填空：______，______，______． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置可知，，，，进一步分析以及的符号即可； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据、、在数轴上的位置可知，，， ，，， （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，掌握正数的绝对值等于正数，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． 68．（2023七年级上·全国·专题练习）有理数、、在数轴上的位置如图所示：    (1)比较、、的大小（用“”连接）； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在数轴上确定、、的位置，利用数轴上的数右边的数总是大于左边的数，从而确、、的大小关系，得出最后结果； （2）首先根据、、的位置得到，，，然后再把 化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴的位置可知：， ， ； （2）解：，，， ，，， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 69．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)判断正负，用“”或“”填空： ___________0， ___________ 0， __________0， ___________0． (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据数轴可得，从而即可得到答案； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：根据数轴可得：， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可得：，，，， ， ． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，，是解题的关键． 70．（22-23七年级上·湖南湘潭·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： 【答案】 【分析】先确定单字母的正负性，再确定字母差的正负性，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴==． 【点睛】本题考查了数轴上的有理数的大小比较，绝对值的化简，熟练掌握大小比较的原理，准确实施化简是解题的关键． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数运算，熟练掌握有理数乘法运算律是解决问题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可得到答案； （2）根据乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （4）逆用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 73．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数乘法运算律，利用有理数乘法分配律简化运算即可得到答案，熟记有理数乘法分配律是解决问题的关键． 【详解】解： ． 74．（21-22七年级上·河南焦作·期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4) 【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）利用乘法分配律的逆运算求解即可； （4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键． 75．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律进行计算，得到答案． （2）分析式子中的每一项，得到，由此得到答案． （3）先把除法转化成乘法，再利用乘法的分配律进行计算，得到答案． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 76．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． （10）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 77．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）简便计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律．熟练掌握有理数的混合运算，乘法运算律是解题的关键． （1）先将带分数化成整数与分数的差，然后利用乘法运算律计算求解即可； （2）利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 78．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)12 (3) (4)0 【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律求解； （2）将除法转换为乘法，利用乘法分配律求解； （3）将变形为，利用乘法分配律求解； （4）利用乘法分配律求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及简便运算，解题的关键是掌握加法交换律、加法结合律、乘法分配律等运算规律． 79．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式， ， ， ，以上解题方法叫做拆项法． 拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相加，从而达到简便运算的目的．仿照上面的方法，计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． （2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ． 80．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)25 【分析】本题主要考查了运用简便方法进行有理数混合运算： （1）将变形为，然后再运用分配律进行计算即可得到答案； （2）将原式变形为，再逆用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数的相关概念求解即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数，所以． 因为x与y互为倒数，所以． 因为的绝对值和倒数均是它本身，所以． 因为n的相反数是它本身，所以． 所以 ． 【点睛】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，绝对值的含义，乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用代入法求解代数式的值是解本题的关键． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值，根据题干描述列式计算即可． 【详解】解：由题意，得． 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值和代数式求值，正确得到，或是解题的关键． 【详解】解∶ ∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，且， 由题可知，或．· 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为18或． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出以及e的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4或 (2)8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可； （2）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 当时，原式； 当时，原式． 所以的值为4或； （2）当时，原式； 当时，原式． 所以的值为8． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算；利用相反数，倒数性质求出，，，则，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意可得，1，， ∴． ∴ =1+1+0-1 =1． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），或3；（2）的值是或 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为， ，，，即， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式的值是或3． （2），， ， ， ，． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值是或． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键． （1）根据材料提示可得，即可求解； （2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解； （3）根据材料提示可得，依次类推即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得，， ∴是第个数， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 102．（23-24七年级上·四川达州·期中）定义一种运算：，求 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 103．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 【答案】 【分析】本题考查了新运算，求代数式的值；根据新定义进行计算即可． 【详解】解：                    ． 104．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 105．（23-24七年级上·河北邢台·期末）对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1)2 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ ． 106．（21-22七年级上·河北石家庄·期中）定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 107．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 108．（23-24七年级上·广东湛江·期中）对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)10 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 109．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 110．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$