宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高二下学期暑假自主复习数学练习卷（四）

银川一中2023/2024学年度(下)高二暑假自主复习练习卷（四） 数 学 试 卷 命题教师： 1. 单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案. 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以，所以，解得， 2．【答案】D 【分析】根据题意可知圆心和半径，求圆心到直线的距离，结合垂径定理分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，所以所截线段的长度为. 3． 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，所以. 4． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得，化解得， 因为直线与椭圆相切，所以， 化简整理得，所以. 5． 【答案】D 【分析】由累加法可得，利用裂项相消求和法求出，即可得解. 【详解】依题意，，，，， 则由累加法得，，因此， 而满足上式，即，则， 所以，. 6． 【答案】C 【分析】由题意可知点在以为圆心的圆周角为的劣弧上运动两点除外），取的中点，连接，求出点的轨迹方程，求出直线与圆相切时的值，再结合图形可求得结果. 【详解】由及，得点在以为圆心的圆周角为的劣弧上运动两点除外），. 如图，取的中点，连接，则，， 所以，所以点， 所以点的轨迹方程为.由，解得. 当直线过点时，， 结合图形，由点的轨迹与直线有两个公共点，得，而只有， 7． 【答案】C 【分析】结合导数分析函数的性质，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求出范围. 【详解】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，求导得， 由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减， 当时，取得极大值，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根， 所以实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 8． 【答案】D 【分析】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 令，则恒成立， 所以当时，，即， 又在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即，可得，， 所以，，所以，， 即所以，，即 . 【点睛】思路点睛：先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，是解决本题的关键. 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9． 【答案】ACD 【分析】令代入已知，求出，判断A；求出，判断B；根据的关系结合等比数列定义判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由于，令，则，A正确； 对于B，令，则，则，B错误； 对于C，当时，，则， 即，则，而， 故数列为首项为，公比为的等比数列，C正确； 对于D，由C可知，即， 故，D正确， 10． 【答案】AD 【分析】由题意先推理得到，再分别运用随机变量的数学期望、方差公式计算化简，比较即得，. 【详解】因既成等差数列也成等比数列，则有， 将①代入②中，化简整理得，，则有， 回代入①，可得，由分布列可知，故得，. 依题意，，, 故，故A正确，B错误； ， 而 可得，，则得,故D正确，C错误. 11．【答案】ABD 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．【答案】108 【分析】分①每个班抽一名学生，②其中两个班抽一名学生，另外一个班抽两名学生两种情况讨论，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意，①若每个班抽一名学生，则有种抽法； ②若其中两个班抽一名学生，另外一个班抽两名学生，则有种抽法； 综上可得不同的抽选方法数为种. 13【答案】 【分析】依题意入射角，设折射角为，求出，即可求出点坐标，再求出所在直线的倾斜角，即可求出斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】如图，入射角，设折射角为，，， 则，， 所以，则，， 所以，且.该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，则其所在直线的斜率为 ， 直线的方程为，整理得. 14．【答案】 【分析】根据“倒戈函数”定义可得，转化为有解问题，构造函数，令，则，利用导数求出的值域可得答案. 【详解】∵是定义在上的“倒戈函数”，∴存在满足， ∴，∴， 构造函数，，因为，单调递增， 所以问题转化为与有交点，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ∴在处取极大值，即最大值为， 又， ， 所以函数取得最小值，即， 又∵，∴，∴.则实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据题目中“倒戈函数”的定义写出关于实数的表达式，然后转化为有解问题. 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用，和等比数列的定义可得答案； （2）法一：利用错位相减求和可得答案；法二：设，求出，可得，可得可得答案. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，整理得， 数列是以1为首项，3为公比的等比数列，； （2）法一：， ①，②， ①②得； 法二：，设， 且，解得，， 即，其中， ，. 16．【答案】(1)0.8186(2)分布列见解析，；选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好，理由见解析 【分析】（1）先求出7个地方的人均得分，进而，利用原则和正态曲线的性质计算即可求解； （2）①可能的取值为元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②由①知，即可下结论. 【详解】（1）样本中各地的人均得分分别为 ， 所以7个地方的平均分为， 即，所以. ， ， 所以； （2）①：由题意，得出的话费可能的取值为元， 得50元的情况为低于平均值，概率为； 得100元的情况为有1次机会获得100或2次机会获得50元， 概率为； 得150元的情况为有1次机会获得100和1次机会获得50元， 概率为； 得200元的情况为有2次机会都获得100元，概率为， 50 100 150 200 所以的分布列为： 故； ②：由①知， 所以小李应选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好. 17.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可. 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即，所以. （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3），则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 18． 【答案】(1)(2) 的取值范围为. 【分析】（1）由题可得，解方程即可得到答案； （2）设，联立，消去得，由于与的右支交于，两点，双曲线的渐近线方程为，可得，以及，解不等式可得的取值范围； 【详解】（1）由已知得，解得， 所以的方程为. （2）①设，，则， 联立，消去得， 则，，解得，且. 又与的右支交于，两点，的渐近线方程为， 则，即，所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（1）直线与双曲线一支相交于两点，可利用韦达定理、根的判别式以及直线斜率与渐近线斜率的关系进行求解； （2）证明直线过定点，可利用向量平行关系进行证明. 19． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定的定义，利用导数证明不等式和恒成立即可. （2）由“分割函数”定义得恒成立，借助导数及二次函数性质求解即得. （3）利用导数求出函数的极值，再利用“分割函数”的定义确定图象的切线及切点横坐标范围，然后求出直线被函数图象所截弦长，利用不等式性质及导数求出最大值即得. 【详解】（1）设，则，当时，在上单调递增，当时，在单调递减，则在处取得极大值，即为最大值， 即，则当时，； 设，则，当时，在上单调递咸， 当时，在上单调递增，则在处取得极小值，即为最小值， 即，则当时，，于是当时，，所以函数为函数与在上的“分割函数”. （2）因为函数为函数与在上的“分割函数”， 则对，恒成立， 而，于是函数在处的切线方程为， 因此函数的图象在处的切线方程也为，又， 则，解得，于是对恒成立， 即对恒成立，因此，解得， 所以实数的取值范围是. （3）对于函数， 当和时，，当和时，， 则为的极小值点，为极大值点， 函数的图象如图， 由函数为函数与在区间上的“分割函数”， 得存在，使得直线与函数的图象相切， 且切点的横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则消去y得，则， 于是 令，则， 当且仅当时，，所以在上单调递减，， 因此的最大值为，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 试卷第12页，共12页 试卷第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川一中2023/2024学年度(下)高二暑假自主复习练习卷（四） 数 学 试 卷 命题教师： 1. 单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．圆被直线所截线段的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．已知离散型随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前2023项和为（   ） A． B． C． D． 6．已知点，动点满足，若点的轨迹与直线有两个公共点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 10．已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示， 若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（    ） A．点和均在上 B．点的纵坐标的最大值为 C．的最大值与最小值之和为3 D． 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．2024年某市高考数学科目采用新试卷结构，我校高三年级将对来自三个班级的9名学生（每个班级3名学生）做一项围绕适应新试卷结构的调研，并再抽选其中的若干名学生做访谈，要求每个班级至少有一名学生被抽中，且任意两个班级被抽中的学生人数之和至多为3，则不同的抽选方法数为 . 13．光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 14．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知数列的前项和为，且. (1)求实数的值和数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．（15分）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 17．（15分）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 18．（17分）已知双曲线的焦距为，点在C上． (1)求C的方程； (2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.求的取值范围； 19．（17分）如果三个互不相同的函数，，在区间上恒有或，则称为与在区间上的“分割函数”． (1)证明：函数为函数与在上的分割函数； (2)若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数的取值范围； (3)若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 试卷第2页，共3页 高二数学试卷 第2页(共3页) 学科网（北京）股份有限公司 $$