第一章 空间向量与立体几何 单元知识点及常见题型讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.空间向量的概念 (1)两个特征:_大小_,_方向_. (2)向量的模(长度):指的是向量的_大小_,也可看作表示向量的有向线段的长度. (3)表示法:①几何表示法:空间向量用_有向线段__表示; ②字母表示法:用字母表示,若向量的起点是A,终点是B, 可记作a.也可记作,其模记为|a|或||_. 2.几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意方 0 0 单位向量 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量:-a，的相反向量: 相等向量 相同 相等 a=b 3.向量的加法、减法 空间向量的运算 加法  =+=a+b 减法  =-=a-b 加法运算律 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 空间向量的数乘运算 1.实数λ与空间向量a的乘积是一个向量　　　 ①λ>0 方向相同 ②λ=0，λa=0,其方向是任意的 ③λ<0 方向相反 ④λa的模是a的模的|λ|倍 2.平行(共线)向量: (1)平行(共线)向量:表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系:互相平行或重合,方向相同或相反 充要条件：对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb 推论：对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式=+ta,向量a为直线l的方向向量或在直线l取向量=a,则 =+t (2)共面向量：平行于同一个平面_的向量 充要条件：向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)使p=xa+yb 推论：点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 =x+y或对空间任意一点O,有 =+x+y 类型一 共线向量 1.判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在惟一实数λ使a＝λb；②若存在惟一实数λ，使a＝λb，则a∥b. (2)判断向量共线的关键：找到实数λ. 2.三点共线与直线平行的判断 (1)线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a，b平行，还要证明直线上有一点不在另一条直线上. (2)三点共线：证明三点A，B，C共线，只需证明存在实数λ，使=λ 或=λ 即可． 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且A1E=2ED1,F在对角线A1C上,且A1F=FC .求证:E,F,B三点共线. 类型二 共面向量 P，A，B，C四点共面的四种充要条件 (1)存在有序实数对(x，y)，使得=x+y (2)对于空间任意一定点O，有=+x+y (3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得=x+y+z (其中x+y+z=1). (4) // 空间向量的数量积运算 1. 空间向量的夹角<a,b> ，范围是[0,π]，<a,b>=则a,b互相垂直,记为a⊥b 注：数量积不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0. 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a与b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b> (2)数量积的运算律: 结合律：(λa)·b=λ_a·b_=a·(λb) 交换律：a·b = b·a 分配律:a·(b+c) = a·b+a·c (3)空间两向量的数量积的性质 垂直：若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0. 共线：同向:则a·b=|a|·|b| 反向:则a·b=-|a|·|b| 模 ：a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2 , |a|=, |a·b|≤|a|·|b| 夹角：θ为a,b的夹角,则cosθ= 类型一 数量积的计算 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1(棱长为1),A1C1∩B1D1=O,求·= 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·= 类型二 利用数量积求夹角或模 1.已知空间四面体OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,则向量与向量所成角的余弦值为 　　　　. 2.在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，| |＝6，则向量的模为多少？ 类型三 利用数量积解决垂直问题 例.已知|a|＝3|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝_____． 1.2空间向量的正交分解及其坐标表示 1.空间向量 (1)条件:i,j,k是空间三个两两垂直_的向量. (2)结论:对空间任一向量p,存在一个有序实数组{x,y,z},使得p=xi+yj+zk,我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量. 2.空间向量基本定理 (1)条件:向量a,b,c不共面. (2)结论:对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc. 3.基底 (1){a,b,c}是空间的一个基底的条件:a,b,c不共面_. (2)基向量:空间的一个基底{a,b,c}中的向量a,b,c叫做基向量. (3)单位正交基底:向量e1,e2,e3为有公共起点O_且两两垂直的单位向量 4.空间直角坐标系 (1)原点:以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点. (2)方向:分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴正方向. (3)坐标:若向量p=xe1+ye2+ze3,则把x,y,z称作向量p在单位 正交基底e1,e2,e3下的坐标.记作p=_(x,y,z). 注：(1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底. (3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则p的坐标为(x,y,z). 类型一 用基底表示向量 用基底表示向量的技巧 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底、结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a,=b,=c. E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示 , (2)若 ＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 1.3空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示:设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)空间向量的坐标运算: 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa (λa1,λa2,λa3) 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 (2)空间向量平行和垂直的条件: ①平行:a∥b(b≠0)⇔a=λb 当b的坐标b1,b2,b3全不为0时, a∥b⇔ ②a⊥b⇔_a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. (3)两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式： ①模：|a|＝，|b|＝； ②夹角：cos〈a，b〉＝ ③向量的坐标及两点间的距离公式： 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 ＝(x2-x1,y2-y1,z2-z1), ||=. 类型一 用空间向量的坐标运算求点的坐标 例：已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若=,则C的坐标是 类型二坐标形式下的平行与垂直 例：已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值.(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值. 类型三 向量夹角与长度的计算 1.已知A点的坐标是(-1，-2，6)，B点的坐标是(1，2，-6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是( ) A.0 B. C. D. 2.已知a＝(5，3，1)，b＝(-2，t，- )，且a与b的夹角为钝角．则t的取值范围为________． 1.4空间向量的应用 方向向量：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 法向量：垂直于平面的向量 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内所有的向量. (2)一个平面α的法向量有无数多个，且它们相互平行. 利用待定系数法求平面法向量的步骤 ①设法向量：设平面的法向量为n=(x,y,z) ②选向量：在平面内选取两个不共线向量， ③列方程组：由n=0，n=0列出方程组，并解方程组 ④赋非零值：取x,y,z的其中一个为非零值（常取或-1） ⑤得结论：得到平面的一个法向量 两直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 证明两直线平行的步骤 ①建立空间直角坐标系， ②求出两直线的方向向量如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)， ③证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 直线和平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 利用空间向量证明线面平行的步骤： ①建立空间直角坐标系 ②求直线的方向向量 ③求平面的法向量 ④证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为0. 平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 注：证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. 证明面面平行步骤： ①建立空间直角坐标系 ②分别求出这两个平面的法向量 ③证明这两个法向量平行 两直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 证明线线垂直的步骤： ①建立空间直角坐标系 ②求出两直线的方向向量 ③计算两向量的数量积为0. 直线和平面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 用向量法证明线面垂直的步骤： ①建立空间直角坐标系 ②求出直线的方向向量 ③求出平面的法向量 ④证明方向向量与法向量平行 平面和平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 向量法证明面面垂直的步骤： ①建立空间直角坐标系 ②分别求出两个平面的法向量 ③证明两个法向量的数量积为0 点到直线的距离 设直线l的方向向量为a,A是直线l上的定点，P是l外一点，=b，则点P到直线l的距离d2=|b|2-||2 求d。（b，a是向量） 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u（模为1的向量）. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d＝计算点到直线的距离. 点到平面的距离 已知平面a的法向量是n，A是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点P到平面a的距离d=|| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点组成的向量. (4)法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 两条异面直线所成的角(两异面直线所成角的范围是(0，] 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|| 直线和平面所成的角(线面角的范围为[0，]) 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝|| 两平面夹角的计算(两平面的夹角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].) 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|| 1.已知为直线l的方向向量，分别为平面a，的法向量不重合)那么下列说法中正确的有(    ) A. B. C. D. 2.已知直线l的方向向量，平面a的法向量，若，，则向量(y-x,y,x)=          ． 3.已知，直线l的一个方向向量为(a,2,1)，平面a的一个法向量为，则实数a的值为          ． 4.如图,AE⊥平面ABCD，CF//AE,AD//BC．AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2 (1)求证：BF//平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； (3)若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长． 5.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点． (1)求直线AD与平面PBC的距离； (2)若，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值． 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1BC的中心求证： (1)EF//A1B (2)EF//平面A1BD (3)平面B1EF//平面A1BD． 7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,，F分别是底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心求证： (1)AC1⊥平面A1BD (2)EF//平面A1BD (3)平面B1EF//平面A1BD 8如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，三角形PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E,F,G、分别是线段PA、PD、CD的中点． (1)求证：面EFG⊥面PAB； (2)求异面直线EG与BD所成的角； (3)求点A到面EFG的距离． 9如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2． (1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE； (2)求二面角E-BC-F的正弦值； (3)求直线AD到平面EBC的距离． 10如图所示的几何体P-ABCDE中，三角形ABP和AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，AB⊥AE，AB//CE，AE//CD，CD=CE=2AB=4，M为PD的中点． (1)求证：CE⊥PE； (2)求二面角M-CE-D的大小； 学科网（北京）股份有限公司 $$