1.3.2空间向量运算的坐标表示（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 高二上学期 1 1、掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示； 2、能借助空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题； 3、掌握空间向量的长度、夹角公式和空间两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的立体几何问题. 4、通过本节学习提升数学运算和逻辑推理素养； 重点：空间中向量线性运算和数量积运算的坐标表示 难点：运用这些公式解决简单的立体几何问题 学习目标 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 学习目标 已知 _______________________. _______________________. __________________________. ________________________. _______________________. _____________________. 类比 . cos<,>== 平面向量坐标运算 空间向量坐标运算 新知生成 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设为空间的一个单位正交基底，则， ，所以. 利用向量数量积的分配律以及 得 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的，例如，我们有： 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 新知生成 已知 ___________________ 当时，_________________ ___________________ 类 比 平面向量共线与垂直判定 空间向量共线与垂直判定 新知生成 思考：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 如图建立空间直角坐标系， 设，是空间中任意两点， 则. 于是. 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 新知探究 教材P21 练习 1、已知，，求： (1) (2) (3) (4) 2、已知，，且⊥，求的值. 练习：已知，，，，，且//，求的值. 解：，所以. 解：法一：因为//，所以，则， 解得. 法二：因为//，所以，解得. 3、在轴上求一点，使点到点(1,0,2)和到点(1,-3,1)的距离相等. 教材P21 练习 解：设，因为， 所以 所以，解得， 所以 例题：如图，在正方体中，分别是，的中点.求证：. A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则所以. 又，，所以. 所以. 所以，即. 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 典例精析 例题：如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长. (2)求与所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则点. 于是. 典例精析 解：(2)由已知得，，， 所以， 所以 所以 所以，与所成角的余弦值是. 例题：如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，分别在棱，上，，. (1)求的长. (2)求与所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 典例精析 教材P21 练习 4、如图，正方体的棱长为，点分别在上，，求的长. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以. 所以. 教材P21 练习 5、如图，在正方体中，是的中点，求与所成角的余弦值. 解：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以 所以. 所以 所以与所成角的余弦值为. 一、空间向量坐标运算 ● ● ● ●. ●cos<,>== ● ● 课堂小结 专练：建系写点坐标 解：取、中点、，所以， 由题意为等腰三角形，所以且， 在中，，所以， 所以，所以平面， 以为原点，、、所在直线为轴，建系如图， 则 专练：建系写点坐标 解：建系如图， 则 专练：建系写点坐标 则，， 由题意，， 易证得，，，取中点， 所以，，，所以，， 专练：建系写点坐标 专练：建系写点坐标 专练：建系写点坐标 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 (2021·新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q ­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2， QD＝QA＝eq \r(5)，QC＝3． (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值． 练习：已知正四棱锥V­ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BE⊥VC，则∠DEB的余弦值为________． (2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD， O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积． 解：由题意AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB． 以O为原点，OB，OA所在直线为x，z轴，在面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建系． 证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC． 因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行于BB1的垂线为z轴， EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝3，BE＝eq \r(5)，所以AE＝2， 所以E(0,0,0)，C(eq \r(5)，0,0)，A(0,2,0)，B(－eq \r(5)，0,0)， B1(－eq \r(5)，0,2eq \r(7))，A1(0,2，eq \r(7))，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))． 练习：如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1． (2021·浙江高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形， ∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝eq \r(15)，M，N分别为BC，PC的中点， PD⊥DC，PM⊥MD． 解：证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1， 且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM． 又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM． 因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM． 因为PM⊥MD，PM⊥DC，所以PM⊥平面ABCD．连接AM，则PM⊥AM． 因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM＝eq \r(7)，又PA＝eq \r(15)，所以PM＝2eq \r(2)． 又CD⊥DM，过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD． 故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建系， 则A(－eq \r(3)，2,0)，P(0,0,2eq \r(2))，C(eq \r(3)，－1,0)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，\r(2)))， $$