1.1.2空间向量的数量积运算（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.1.2空间向量的数量积运算 基础巩固 1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ） ①；②；③；④． A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据向量的平方等于模的平方即可求得①正确；利用平面向量数量积的结合律可判断②③，利用平面向量数量积为常数可判断④不正确. 【详解】①是向量模的计算公式，命题正确；②是向量数乘运算的结合律，命题正确；，③命题正确；与向量共线，与向量共线，④命题不正确．不正确的只有1个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的概念及运算律，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 2．在棱长为2的正方体中，（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 3．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A．60° B．120° C．30° D．90° 【答案】B 【分析】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得． 【详解】 所以． 所以． 故选：B 4．若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：B. 5．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据空间向量线性运算法则用，，表示出，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】解：，， ． 又，，， 所以，，， 所以 ， 所以. 故选：A． 6．（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 7．（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（ ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用数量积的定义和运算律，结合图形，即可求解. 【详解】因为底面ABCD，所以垂直于平面内的任何一条直线， 因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形， A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 故选：BD 8．如图，正方体的棱长为1，设，，，则 ， ， ． 【答案】 【分析】依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】解：依题意，，两两互相垂直，所以， 所以，， 故答案为：；； 9．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】 空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 10．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．    【答案】/ 【分析】根据向量线性运算，将转化为，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】. 故答案为：. 11．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【答案】(1)， (2) (3)垂直 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得， . （2）解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得， 则. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得； 则， 所以与垂直． 能力提升 12．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 13．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A． B．133 C． D．61 【答案】A 【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可． 【详解】因为，，， 所以 故选：A． 14．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D. 【详解】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确； 选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，， 平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确； 选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确； 选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误. 故选：D. 15．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】试题分析：：∵， ∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形 考点：向量运算 16．（多选）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 【答案】BC 【分析】根据体积公式即可求解A，根据平面中两点距离最小即可求解B，根据线线垂直可得线面垂直，进而求解C，根据数量积的运算律即可求解D. 【详解】对于A,连接相交于，故 ，，A错误； 对于B，因与均是边长为1的正三角形，故可将沿翻折， 使其与共面，得到菱形，则，B正确； 对于C，由且,平面, 故平面，平面，， 若，平面,则平面， 故，知M与C重合，AM与BC的夹角为，C正确； 对于D，，， 由于平面，故平面， 平面，故 （与的夹角为钝角），D错误． 故选：BC. 17．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）    A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误. 故选：CD   【点睛】 18．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】由，求得，再利用在上的投影向量定义求解. 【详解】∵是单位向量，∴． ∵，∴， 化简得，即， ∴在方向上的投影向量是， 故答案为：. 19．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】先算出内切球的半径，（为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算． 【详解】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为， 由题意，，是直径的两端点，可得，， 则， 当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为， 则的最大值为， 故答案为：． 20．已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据空间向量的线性运算法则，由此能求出结果． （2）由．，，由此能求出的长度． 【详解】解：（1） ． （2）． ，， ，，设，，； ， 的长度为． 【点睛】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 21．如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 22．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． 【答案】 【分析】由求出，再由求解即可. 【详解】 ∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用向量的减法运算以及数量积运算得出，进而求出异面直线OA与BC的夹角的余弦值． 拓展延伸 23．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 24．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（ ） A．3 B．5 C．9 D．21 【答案】B 【分析】由条件可知点在平面上，并且由几何意义可知平面，利用数量积的几何意义求的不同取值的个数. 【详解】条件“且”，说明点在平面上，而说明为平面的中心，此时平面，由向量数量积的几何意义，在的投影有5种情况：0、、，∴数量积的不同取值的个数是5， 故选：B． 【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型. 试卷第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2空间向量的数量积运算 基础巩固 1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ） ①；②；③；④． A．0 B．3 C．2 D．1 2．在棱长为2的正方体中，（ ） A． B． C．2 D．4 3．已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A．60° B．120° C．30° D．90° 4．若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为1，设，，，则 ， ， ． 9．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 10．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．    11．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 能力提升 12．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 13．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ） A． B．133 C． D．61 14．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ） A． B． C． D． 15．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 16．（多选）如图，正八面体棱长为1，M为线段上的动点（包括端点），则（ ） A． B．的最小值为 C．当时，AM与BC的夹角为 D． 17．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）    A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 18．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ． 19．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是 ． 20．已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度； 21．如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 22．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． 拓展延伸 23．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 24．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（ ） A．3 B．5 C．9 D．21 试卷第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$