1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.1.1空间向量及其线性运算 基础巩固 1．（24-25高一上·全国·假期作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（21-22高二上·北京昌平·期末）已知平行六面体中，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）如图，三棱锥中，分别是棱的中点，点在线段上，且，设，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 6．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）已知空间中四个点，计算 . 8．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 9．（20-21高二·全国·单元测试）如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 10．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3)． 能力提升 11．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 12．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 13．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 14．（2024高三·全国·专题练习）已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是（   ） A．2 B． C． D． 15．（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 16．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，． (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 17．（2022高二上·全国·专题练习）已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 拓展延伸 18．（2023高二·全国·专题练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 19．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在四棱台中，，，则的最小值为 . 试卷第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1空间向量及其线性运算 基础巩固 1．（24-25高一上·全国·假期作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 2．（21-22高二上·北京昌平·期末）已知平行六面体中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算算出答案即可. 【详解】 故选：B 3．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 4．（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）如图，三棱锥中，分别是棱的中点，点在线段上，且，设，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形关系，利用向量的加减法和数乘运算可得，由此可得结果. 【详解】， . 故选：D. 5．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 6．（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：ABCD. 7．（22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）已知空间中四个点，计算 . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则计算即可. 【详解】由向量的加法法则知 ； 故答案为： . 8．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 9．（20-21高二·全国·单元测试）如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，    （1）； （2）； （3）； （4）存在实数，，使得． 则其中正确的结论是 ．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）． 【答案】（1）（3） 【分析】（1）由于是线段的中点，可得； （2）取的中点，连接，．而，即可判断出； （3）利用，，及（1）即可得出； （4）由于、分别是线段、的中点，，可得与平面不平行，得出不存在实数，，使得． 【详解】解：（1）是线段的中点，，正确； （2）取的中点，连接，．则，因此不正确； （3），因此正确； （4）、分别是线段、的中点，， 与平面不平行， 不存在实数，，使得． 综上可得：只有（1）（3）正确． 故答案为：（1）（3）．    10．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析； (3)，图见解析； 【分析】（1）利用空间向量的加法法则进行计算； （2）利用空间向量的减法法则进行计算； （3）利用空间向量的数乘运算法则和加法法则进行计算. 【详解】（1），如图： （2），如图： （3）因为E是线段AB的中点，，所以，， 所以，如图： 能力提升 11．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 12．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 13．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】延长交于点，连接交于，连接，取的中点，连接，得到四边形所求裁面，再利用平行的相似比得到为上靠近的三等分点即可． 【详解】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 14．（2024高三·全国·专题练习）已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定三角形的位置以及形状，利用球的半径表示棱锥的底面边长与棱锥的高，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的半径，从而可得结果. 【详解】正三棱锥的外接球的球心满足， 说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形， 设球的半径为，根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面的距离为球的半径， 由正弦定理有底面三角形的边长为， 棱锥的底面正三角形的高为， 正三棱锥的体积为，解得， 则此三棱锥外接球的半径是． 故选：D. 15．（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合空间向量的基本定理，得到在平面内存在一点，使得，得到，即可求解. 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 16．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的运算可得，即可证明B，E，G，F四点共面； （2）根据题意，由棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，． 又，所以 ． 故B，E，G，F四点共面． （2）由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 17．（2022高二上·全国·专题练习）已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值． 【答案】 【分析】分别用基底和表示出,根据四点共面得出的值. 【详解】是等边三角形，是的重心， 如图，延长交于点，则为的中点，， 故 ， 设， 则， 四点共面，，即， 又，，， ，． 拓展延伸 18．（2023高二·全国·专题练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 【答案】 【分析】先构造和平面平行的截面，再根据空间向量共面确定点的轨迹形状，再求其长度. 【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，， 由面，面，则面， 同理可证面，，面， 所以面面，    所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又， 所以点在侧面，故的轨迹为线段， 因为，，所以. 故答案为： 19．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在四棱台中，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值. 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故答案为：. 试卷第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$