1.1.1 空间向量及其线性运算（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 导学案 一、学习目标 1．通过类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，发展学生的数学抽象核心素养. 2．通过类比平面向量的线性运算法则与运算律推出空间向量的线性运算法则和运算律并掌握，培养学生的类比意识 3．通过合作探究，归纳得出共线向量定理与共面向量定理并理解，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，提升直观想象素养. 二、重点难点 重点：空间向量及其概念，空间向量的线性运算及其运算律. 难点：空间向量的运算律的证明,空间向量的应用. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 引例1：如图，在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？ 引例2：国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游缆结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1),游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2),那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢? 通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系. 问题1：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题？ 追问1 你能举几个空间向量的例子吗？ 追问2 你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本节课我们将学习哪些内容、用到哪些研究方法. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题2: 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示． 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量，平面向量的大小叫做长度或模 表示 印刷体用a，b，c，···表示；书写用，，表示；几何表示用有向线段表示，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的起点与终点重合．模为1的向量叫做单位向量． 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 即看大小又看方向 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 空间向量的相关概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)． 空间向量用字母❶，，，…表示．空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示． ❶印刷体用合体，书写用， 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模． 如图1.1-1，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． 如图1.1-1 与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量(zerovector)，记为． 当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量叫做单位向量(unitvector)． 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为． 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)． 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)． 追问： 从空间向量的相等概念出发，你对共线向量、平行向量有什么认识？任给两个向量，它们一定共面吗，为什么？ 问题3：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算．你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 数乘 当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. 空间向量的运算法则： 定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5)： （1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，． 追问 向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？ 问题4：类比平面向量的研究过程，我们知道，定义了一种运算就要研究它的运算律．你能类比平面向量线性运算的运算律猜想空间向量线性运算的运算律吗？ 空间向量的线性运算满足以下运算律(其中)： 交换律：； 结合律：，； 分配律：，． 追问：你能证明这些运算律吗？ 如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? 可以发现，，一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 问题5:有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以通过向量运算研究空间向量的位置关系.对于空间向量的位置关系，你能提出哪些问题？得出哪些结论？ 追问1 :你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗？ 追问2 设是一个非零向量．空间中与平行的直线有多少条？要使平行于向量的直线唯一确定，还需要增加什么条件？ 如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 问题6：类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗？ 追问1：如果三个空间向量共线，那么它们的方向是什么关系？ 追问2：如果三个不共线向量共面，那么它们有什么关系？ 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面． 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法． 变式练习： . 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量的有关概念 1．（1）给出下列命题： ①若||＝||，则＝或＝－； ②若向量是向量的相反向量，则||＝||； ③在正方体中，＝； ④若空间向量满足，则. 其中正确命题的序号是 ． （2）．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有 ；与向量相反的向量有 .(要求写出所有适合条件的向量) 题型二：空间向量的线性表示 2．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量、、表示向量是（  ） A． B． C． D． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题7：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)空间向量线性运算的定义、运算律是什么？与平面向量的线性运算有什么联系与区别？ (2)空间向量共线的充要条件是什么？直线的方向向量如何确定？如何利用向量解决平行和共线问题？ (3)空间三个向量共面的充要条件是什么？与平面向量基本定理有什么联系？能解决立体几何中的哪些问题？ (4)我们是如何开展本节内容的学习的，重点用到了哪些思想方法，接下来我们要学习空间向量的哪些内容？ (5)两个向量，不共线，那么向量与向量，不共面的充要条件是什么？你能自主探究一下吗？ (1)空间向量的运算可以通过类比平面向量的运算，将平面向量的运算推广到空间得到空间向量运算的定义及运算律，但要注意维数的变化.例如，空间向量加法结合律的证明与平面向量加法结合律的证明就有较大的不同； (2)因为向量是自由的，所以两个空间向量共线等价于两个平面向量共线，要注意的是向量的维数不同；两条直线平行，本质上就是它们的方向相同，所以要证明两条直线平行，只要证明它们的方向向量共线； (3)三个向量共面是空间中三个向量的一种特殊位置，这种特殊的位置可以用平面向量基本定理来刻画，向量共面的充要条件可以解决空间中的共面、平行等问题； (4)本节课的学习中，类比平面向量研究空间向量是基本的思想方法，空间向量的研究框架应建立在平面向量的基础上，同时类比的过程要注意空间与平面的不同之处，接下来还会研究空间向量的数量积、空间向量的坐标表示以及空间向量解决立体几何问题等内容； (5)向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.因此，向量与向量，不共面的充要条件就是不存在有序实数对,使得.还可以鼓励学生进一步自主探究，查阅资料，了解三个空间向量线性无关的概念. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第5~6页练习第1、2、3、4、5题 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 导学案 一、学习目标 1．通过类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，发展学生的数学抽象核心素养. 2．通过类比平面向量的线性运算法则与运算律推出空间向量的线性运算法则和运算律并掌握，培养学生的类比意识 3．通过合作探究，归纳得出共线向量定理与共面向量定理并理解，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，提升直观想象素养. 二、重点难点 重点：空间向量及其概念，空间向量的线性运算及其运算律. 难点：空间向量的运算律的证明,空间向量的应用. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 引例1：如图，在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？ 引例2：国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游缆结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1),游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2),那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢? 通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系. 问题1：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题？ 追问1 你能举几个空间向量的例子吗？ 追问2 你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本节课我们将学习哪些内容、用到哪些研究方法. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题2: 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示． 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量，平面向量的大小叫做长度或模 表示 印刷体用a，b，c，···表示；书写用，，表示；几何表示用有向线段表示，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的起点与终点重合．模为1的向量叫做单位向量． 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 即看大小又看方向 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 空间向量的相关概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)． 空间向量用字母❶，，，…表示．空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示． ❶印刷体用合体，书写用， 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模． 如图1.1-1，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． 如图1.1-1 与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量(zerovector)，记为． 当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量叫做单位向量(unitvector)． 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为． 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)． 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)． 追问： 从空间向量的相等概念出发，你对共线向量、平行向量有什么认识？任给两个向量，它们一定共面吗，为什么？ 在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 问题3：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算．你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 数乘 当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. 空间向量的运算法则： 定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5)： （1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，． 追问 向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？ 问题4：类比平面向量的研究过程，我们知道，定义了一种运算就要研究它的运算律．你能类比平面向量线性运算的运算律猜想空间向量线性运算的运算律吗？ 空间向量的线性运算满足以下运算律(其中)： 交换律：； 结合律：，； 分配律：，． 追问：你能证明这些运算律吗？ 如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? 可以发现，，一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 问题5:有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以通过向量运算研究空间向量的位置关系.对于空间向量的位置关系，你能提出哪些问题？得出哪些结论？ 追问1 :你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗？ 追问2 设是一个非零向量．空间中与平行的直线有多少条？要使平行于向量的直线唯一确定，还需要增加什么条件？ 如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 问题6：类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗？ 追问1：如果三个空间向量共线，那么它们的方向是什么关系？ 追问2：如果三个不共线向量共面，那么它们有什么关系？ 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面． 证明：因为， 所以，，，． 因为四边形是平行四边形， 所以． 因此 ． 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点， 从而，，，四点共面． 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法． 变式练习： . 因为，，， 所以， 所以与、共面． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量的有关概念 1．（1）给出下列命题： ①若||＝||，则＝或＝－； ②若向量是向量的相反向量，则||＝||； ③在正方体中，＝； ④若空间向量满足，则. 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】对于①，由||＝||可知的长度相等，方向没有确定，故①错误； 对于②，根据相反向量的定义知||＝||，故②正确； 对于③，如图，在正方体中，， 而，则，故③正确； 对于④，因空间向量是自由向量，故由可得：.故④ 正确. 故答案为：②③④. （2）．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有 ；与向量相反的向量有 .(要求写出所有适合条件的向量) 【答案】 ，， ，，， 【详解】解：因为多面体ABCD­A′B′C′D′为平行六面体， 所以与向量相等的向量有，，， 与向量相反的向量有，，， 故答案为：，，；，，， 题型二：空间向量的线性表示 2．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量、、表示向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，则， 因为，则， 因此，. 故选：A. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题7：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)空间向量线性运算的定义、运算律是什么？与平面向量的线性运算有什么联系与区别？ (2)空间向量共线的充要条件是什么？直线的方向向量如何确定？如何利用向量解决平行和共线问题？ (3)空间三个向量共面的充要条件是什么？与平面向量基本定理有什么联系？能解决立体几何中的哪些问题？ (4)我们是如何开展本节内容的学习的，重点用到了哪些思想方法，接下来我们要学习空间向量的哪些内容？ (5)两个向量，不共线，那么向量与向量，不共面的充要条件是什么？你能自主探究一下吗？ (1)空间向量的运算可以通过类比平面向量的运算，将平面向量的运算推广到空间得到空间向量运算的定义及运算律，但要注意维数的变化.例如，空间向量加法结合律的证明与平面向量加法结合律的证明就有较大的不同； (2)因为向量是自由的，所以两个空间向量共线等价于两个平面向量共线，要注意的是向量的维数不同；两条直线平行，本质上就是它们的方向相同，所以要证明两条直线平行，只要证明它们的方向向量共线； (3)三个向量共面是空间中三个向量的一种特殊位置，这种特殊的位置可以用平面向量基本定理来刻画，向量共面的充要条件可以解决空间中的共面、平行等问题； (4)本节课的学习中，类比平面向量研究空间向量是基本的思想方法，空间向量的研究框架应建立在平面向量的基础上，同时类比的过程要注意空间与平面的不同之处，接下来还会研究空间向量的数量积、空间向量的坐标表示以及空间向量解决立体几何问题等内容； (5)向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.因此，向量与向量，不共面的充要条件就是不存在有序实数对,使得.还可以鼓励学生进一步自主探究，查阅资料，了解三个空间向量线性无关的概念. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第5~6页练习第1、2、3、4、5题 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$