1.1.2 空间向量的数量积运算（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2空间向量的数量积运算 导学案 一、学习目标 1．能类比平面向量的数量积的定义，给出空间向量的夹角概念与数量积的定义，会计算两个向量的数量积，发展学生的数学抽象，数学运算核心素养； 2．通过类比平面向量数量积的几何意义，得到空间向量数量积的几何意义，能将空间向量投影转化为平面向量投影，并画出投影向量，发展学生的数学抽象素养； 3．能将平面向量数量积的匀运算律推广到空间向量，并体会与实数运算律的联系与区别，能用空间向量数量积运算及运算律解决简单的立体几何问题. 二、重点难点 重点：空间向量数量积的概念及几何意义，运算律. 难点：空间向量的投影 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 一、问题引入，提出概念 G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.如果想解决这些问题，必须要有强大的数学工具! 问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题? 问题2:在必修中我们已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法以及数乘运算，那么空间向量中，什么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题? 追问：空间向量有数量积吗?为什么?是怎样的? 环节二：回顾旧知，学习新知 问题3：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，你能类比平面向量数量积的运算，得出空间向量的数量积相关知识？请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格. 平面 空间（学生填空） 夹角 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 特例:当时,则. 数量积 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 . 特例:. 问题4：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况. 提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影 追问1：如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？你能用向量,向量表示出投影向量吗？ 图1.1-11(1) 追问2：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗? 图1.1-11(2) 追问3：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 图1.1-11(3) 问题5：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？ 追问：你能证明这些运算律吗？ 问题6：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？ 追问1：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 追问2：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 环节三：根据新知，简单应用 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求： 图1.1-12 （1）； （2）的长（精确到0.1）． 例3. 如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 思考：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？ 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量数量积的运算 1．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）． 第1题图 2.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素 （一）利用数量积求解角度问题. 2．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60° B．90° C．105° D．75° （二）利用数量积求解距离问题. 3.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离． 题型三：利用数量积运算及其运算律证明几何关系问题. 4. （1）如图，正方体 （1）求和的夹角； （2）求证． （2）如图，空间四边形中，.求证：. 环节五：凝练升华，课堂小结 课堂小结 1. 空间向量的夹角 (1) 两向量的夹角是唯一确定的 (2) 夹角范围 (3) 特殊夹角及对应两向量的位置关系 2. 空间向量的数量积的定义与几何意义 3. 空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的方法。 4. 空间向量数量积的运算律。 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第10页习题第8、10题 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法. 巩固作业答案： 8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2空间向量的数量积运算 导学案 一、学习目标 1．能类比平面向量的数量积的定义，给出空间向量的夹角概念与数量积的定义，会计算两个向量的数量积，发展学生的数学抽象，数学运算核心素养； 2．通过类比平面向量数量积的几何意义，得到空间向量数量积的几何意义，能将空间向量投影转化为平面向量投影，并画出投影向量，发展学生的数学抽象素养； 3．能将平面向量数量积的匀运算律推广到空间向量，并体会与实数运算律的联系与区别，能用空间向量数量积运算及运算律解决简单的立体几何问题. 二、重点难点 重点：空间向量数量积的概念及几何意义，运算律. 难点：空间向量的投影. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 一、问题引入，提出概念 G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.如果想解决这些问题，必须要有强大的数学工具! 问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题? 问题2:在必修中我们已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法以及数乘运算，那么空间向量中，什么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题? 追问：空间向量有数量积吗?为什么?是怎样的? 环节二：回顾旧知，学习新知 问题3：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，你能类比平面向量数量积的运算，得出空间向量的数量积相关知识？请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格. 平面 空间（学生填空） 夹角 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，． 特例:当时,则. 如果，那么向量，互相垂直，记作． 数量积 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 . 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即 ． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 特例:. 由向量的数量积定义，可以得到： ；． 也记作． 问题4：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况. 提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影 追问1：如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？你能用向量,向量表示出投影向量吗？ 图1.1-11(1) 追问2：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗? 图1.1-11(2) 图1.1-11(3) 问题5：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？ ，； (交换律)； (分配律)． 追问：你能证明这些运算律吗？ 问题6：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？ 追问1：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 追问2：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 环节三：根据新知，简单应用 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求： 图1.1-12 （1）； （2）的长（精确到0.1）． 解：（1）， ； （2） ， 所以． 例3. 如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 分析：要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题． 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，． 因为直线与相交，所以向量，不平行． 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 因为，（为什么?），所以． 所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 思考：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？ 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量数量积的运算 1．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）． 第1题图 解：（1）； （2）； （3）． 2.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，， （1）； （2）； （3）； （4），则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角， 又，； （5），则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角， ； （6）取BD中点M，连接AM，CM， 则，，平面ACM， 又平面ACM，， ，， 又，，， 可知， . 题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素 （一）利用数量积求解角度问题. 2．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60° B．90° C．105° D．75° 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B （二）利用数量积求解距离问题. 3.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义即可计算； （2）由平方即可求解； （3）由即可求解. 【详解】（1）； （2）， ， ，即的长为； （3）， ， ，即的长为. 4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，根据可求. 【详解】连接，，， ，，， ，， 即C，D两点间的距离为. 题型三：利用数量积运算及其运算律证明几何关系问题. 4. （1）如图，正方体 （1）求和的夹角； （2）求证． 解：设，，， ∵正方体的棱长为， ，且，，． ， ， 又，， ． 又，． 与的夹角为60°． （2）证明：由（1）知，， ， ，． （2）如图，空间四边形中，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直. 试题解析：∵，∴. ∵，∴. ∴（1） 同理:由得（2） 由（1）－（2）得 ∴， ∴， ∴， ∴. 环节五：凝练升华，课堂小结 课堂小结 1. 空间向量的夹角 (1) 两向量的夹角是唯一确定的 (2) 夹角范围 (3) 特殊夹角及对应两向量的位置关系 2. 空间向量的数量积的定义与几何意义 3. 空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的方法。 4. 空间向量数量积的运算律。 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第10页习题第8、10题 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法. 巩固作业答案： 8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． 8．解析：已知：平面，是平面的斜线，且，平面于点， 且．求证：． 证明：如图，，且，，， ，． 又，，，，，． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 10．证明：设，，，分别为，的中点， ， 又，分别是，的中点，， ，∴四边形是平行四边形． 又在和中，，，， ，． ， 又，，，，．又，，，∴四边形为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$