专题04 二次根式重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 二次根式重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 题型六 二次根式的乘法 题型七 二次根式的除法 题型八 二次根式的乘除混合运算 题型九 最简二次根式的判断 题型十 已知最简二次根式求参数 题型十一 同类二次根式 题型十二 二次根式的加减运算 题型十三 二次根式的混合运算 题型十四 分母有理化 题型十五 已知字母的值化简求值 题型十六 已知条件式化简求值 题型十七 比较二次根式的大小 题型十八 二次根式的应用 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识点五、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点六、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 1．（19-20九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 2．（20-21八年级上·四川·阶段练习）若，则 ． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）当时，求值． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 1．（21-22七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若存在，则可化简为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·云南文山·一模）当代数式有意义时，实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）若实数满足，则的立方根为 ． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）若x、y都是实数，且，求的平方根； （2）已知，求的值． 【经典例题四 利用二次根式的性质化简】 【例4】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C．0 D． 2．（23-24八年级下·四川广元·期末）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 1．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若设的整数部分为，小数部分为，则 3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【经典例题六 二次根式的乘法】 【例6】（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 1．（2024·重庆·模拟预测）估计的值应在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算的结果为 ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 【经典例题七 二次根式的除法】 【例7】（23-24九年级下·河北沧州·期中）计算，则□中的数为（    ） A． B． C．3 D．6 1．（2024·重庆开州·二模）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）计算的结果为 ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题八 二次根式的乘除混合运算】 【例8】（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2021八年级上·全国·专题练习）计算： 已知，，则= ，= ． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）（1）； （2）． 【经典例题九 最简二次根式的判断】 【例9】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2020·江苏无锡·模拟预测）二次根式、、、、、中，最简二次根式的概率是 ． 3．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： (1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 【经典例题十 已知最简二次根式求参数】 【例10】（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 1．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（    ） A．2021 B． C．2025 D． 2．（20-21八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则 3．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 【经典例题十一 同类二次根式】 【例11】（23-24八年级下·山东威海·期末）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南·阶段练习）若可以合并为一项，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·重庆巴南·期中）若最简二次根式与可以合并，则 ． 3.（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． (2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 【经典例题十二 二次根式的加减运算】 【例12】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）化简计算： ． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十三 二次根式的混合运算】 【例13】（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·云南文山·模拟预测）如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【经典例题十四 分母有理化】 【例14】（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各数中，与互为倒数的是（    ） A． B．2 C． D． 1．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）关于的方程的解是 ． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【经典例题十五 已知字母的值化简求值】 【例15】（23-24八年级下·河南周口·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·海南海口·期末）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D．5 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【经典例题十六 已知条件式化简求值】 【例16】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 1．（20-21七年级上·湖南郴州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（22-23八年级下·山东临沂·阶段练习）已知，求 ． 3．（23-24八年级下·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【经典例题十七 比较二次根式的大小】 【例17】（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 3.（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【经典例题十八 二次根式的应用】 【例18】（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． (1)求当时， 的最小值； (2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）与计算结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·重庆·模拟预测）设，则实数的值应在（    ） A．14和15之间 B．15和16之间 C．16和17之间 D．17和18之间 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）当，时，代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D．2 4．（2024·云南文山·模拟预测）如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 5．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 7．（23-24八年级下·河北保定·期末）若，则 ． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 10．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算 (1) (2) 13．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 14．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 15．（23-24八年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算.请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算： ； (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 题型六 二次根式的乘法 题型七 二次根式的除法 题型八 二次根式的乘除混合运算 题型九 最简二次根式的判断 题型十 已知最简二次根式求参数 题型十一 同类二次根式 题型十二 二次根式的加减运算 题型十三 二次根式的混合运算 题型十四 分母有理化 题型十五 已知字母的值化简求值 题型十六 已知条件式化简求值 题型十七 比较二次根式的大小 题型十八 二次根式的应用 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识点五、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点六、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 1．（19-20九年级·浙江杭州·期末）已知，那么的值是（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 【答案】C 【分析】先根据平方差公式，可得=1，进而即可求解． 【详解】∵ = = =1， ∴=． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的值，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 2．（20-21八年级上·四川·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴2x-1=0或2x-1=1， 解得：或1． 故答案为或． 【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）当时，求值． 【答案】． 【分析】首先化简为，化简为，然后代入x的值求解即可． 【详解】∵， = = = =． 【点睛】此题考查了根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握根式的化简方法． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 1．（21-22七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 2．（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）若关于的方程存在整数解，求正整数所有可取的值． 【答案】正整数m的所有可取的值为1和8． 【分析】本题考查了方程的整数解问题．令从而使得用y表示m的代数式不含根式，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，必为整数， 设，则， 则． ∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除， ∴y的值为1，2，5，10， ∴对应的m的值为8，1，，． ∵m为正整数， ∴m的值为1，8， ∴正整数m的所有可取的值为1和8． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若存在，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，，即，根据，作答即可． 【详解】解：由题意知，∵存在， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 1．（2024·云南文山·一模）当代数式有意义时，实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，则， 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）若实数满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，再得出y的值，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：∵根据二次根式有意义的条件，得： 解得，； ∴代入原式， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）若x、y都是实数，且，求的平方根； （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）387 【分析】（1）根据，得，得到，继而得到，解答即可； （2）根据，，得到，变形被求式解答即可． 本题考查了二次根式的性质，平方根，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 得， 解得， 故， 故的平方根为； （2）解：根据题意，得， ， 故， 故 ． 【经典例题四 利用二次根式的性质化简】 【例4】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ∴ 故选：D． 2．（23-24八年级下·四川广元·期末）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，根据点在数轴上的位置，得到，进而得到式子的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）利用二次根式的运算法则计算即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 1．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若设的整数部分为，小数部分为，则 【答案】/ 【分析】本题考查了复杂二次根式的化简，以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．先把化简后求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】 ， 所以，代入得 ． 3．（23-24八年级下·山东滨州·期中）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 【经典例题六 二次根式的乘法】 【例6】（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根的乘法运算．先对二次根式进行化简，再根据乘法分配律利用二次根式乘法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 1．（2024·重庆·模拟预测）估计的值应在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，先将原式化简为，再估算出的取值范围，即可得出的取值范围．熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．也考查了二次根式的乘法和性质． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∴， 即． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，逆用积的乘方以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算，二次根式的加减混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算，二次根式的加减混合运算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算求解即可； （2）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题七 二次根式的除法】 【例7】（23-24九年级下·河北沧州·期中）计算，则□中的数为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据除数等于被除数除商成为解题的关键. 根据除数等于被除数除商列式计算即可. 【详解】解：∵， ∴□中的数为. 故选A. 1．（2024·重庆开州·二模）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，无理数的估算，理解算术平方根的意义，首先计算再根据算术平方根的意义得进而得由此可得的值在4和5之间，据此可得出答案，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解： 即 的值在4和5之间， 的值在4和5之间， 故选：B． 2．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】// 【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与除法，掌握相关法则和公式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【经典例题八 二次根式的乘除混合运算】 【例8】（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（2021八年级上·全国·专题练习）计算： 已知，，则= ，= ． 【答案】 1 10 【分析】根据平方差公式和二次根式的加法计算即可求解． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：1；10． 【点睛】考查了平方差公式，二次根式的加法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的除法、二次根式的乘法、绝对值，再计算二次根式的加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【经典例题九 最简二次根式的判断】 【例9】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、是最简根式，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，解题的关键是能准确理解并运用最简二次根式的概念和二次根式的性质． 根据最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；且被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式和二次根式的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：A、，选项A不符合题意； B、是最简二次根式，选项B符合题意； C、，选项C不符合题意； D、，选项D不符合题意， 故选：B． 2．（2020·江苏无锡·模拟预测）二次根式、、、、、中，最简二次根式的概率是 ． 【答案】 【分析】根据最简根式的定义可得最简根式的个数，再根据概率公式随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案． 【详解】解：由题可知：＝，＝，＝，＝＝， 最简根式有，， ∴最简二次根式的概率是＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义及概率公式，根据二次根式的定义判断出最简二次根式的个数是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： (1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)、 (2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； (3)乘法分配律 (4)见解析 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可； （4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 、是最简二次根式， 故答案为：、 （2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； 故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； （3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （4）解： ． 【经典例题十 已知最简二次根式求参数】 【例10】（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 1．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（    ） A．2021 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，即被开方数相同，即，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴． 解得． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 2．（20-21八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可； （2）①根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：二次根式有意义， ， 解得； （2）解：①， 与能合并，并且是最简二次根式， ， 解得； ②由①可得． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【经典例题十一 同类二次根式】 【例11】（23-24八年级下·山东威海·期末）下列各式中，化简后能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意；     B．与不能合并，故本选项不符合题意；         C．与不能合并，故本选项不符合题意；         D．与能合并，故本选项符合题意．     故选：D． 1．（23-24八年级下·河南·阶段练习）若可以合并为一项，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别，把每个选项的值代入二次根式，若化简后与是同类二次根式，则可以合并，否则不能，据此即可求解，掌握同类二次根式的含义是解题的关键． 【详解】解：、当时，，与不是同类二次根式，不能合并； 、当时，，与不是同类二次根式，不能合并； 、当时，，与是同类二次根式，可以合并； 、当时，，与不是同类二次根式，不能合并； 故选：． 2．（22-23八年级下·重庆巴南·期中）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键． 3.（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． (2)若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法对，理由见详解 【分析】本题考查了根据二次根式的性质，二次根式加减混合运算． （1）根据二次根式的性质运算即可； （2）二次根式加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：嘉嘉的说法对，理由如下： 依题意，得， ，与是同类项， 故嘉嘉的说法对． 【经典例题十二 二次根式的加减运算】 【例12】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和二次根式的加减法法则，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的加减法法则是解题的关键．利用二次根式的性质和二次根式的加减法法则及二次根式的乘法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，不符合题意； C、，故不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； 故选：A． 1．（23-24八年级下·浙江金华·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可判断求解，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 故选：． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）化简计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，掌握合并同类二次根式的法则，准确化简各数是解题关键． 先化简二次根式，然后合并同类二次根式． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，绝对值化简，负整数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再利用二次根式的加减法运算法则计算得出答案； （2）先化简二次根式，利用完全平方公式去掉括号，再计算加减即可得出答案； （3）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题十三 二次根式的混合运算】 【例13】（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质，二次根式的乘法、二次根式的加法运算计算，逐一进行判断即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不可以进行合并，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 1．（2024·云南文山·模拟预测）如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先对二次根式进行化简，再利用夹逼法求出化简后结果的取值范围，据此即可判断求解，利用夹逼法求出化简后结果的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值所对应的点可能落在点处， 故选：． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是将所求式子利用完全平方公式分解，再整体代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，， ； ． 【经典例题十四 分母有理化】 【例14】（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各数中，与互为倒数的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，分母有理化，掌握有理化因式的确定是解题的关键． 根据互为倒数的数乘积为1，得，然后进行分母有理化即可； 【详解】互为倒数的数乘积为1， ， 故选：A． 1．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【详解】解：∵． ∴A.,不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 故选C． 2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）关于的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解一元一次方程，先利用分母有理化进行化简计算，然后再按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答．掌握二次根式的分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， 验证： ， 故答案为：； （3） ． 【经典例题十五 已知字母的值化简求值】 【例15】（23-24八年级下·河南周口·期中）已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 1．（22-23九年级上·海南海口·期末）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】直接将代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式的结构是关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次根式化简求值，结合完全平方公式整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 【详解】（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十六 已知条件式化简求值】 【例16】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 1．（20-21七年级上·湖南郴州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】将代入代数式，然后根据二次根式混合运算法则进行化简计算． 【详解】解：当时， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 2．（22-23八年级下·山东临沂·阶段练习）已知，求 ． 【答案】 【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可． 【详解】解： 将代入得： ∴（负值舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值． 3．（23-24八年级下·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式， （1）由已知得，，然后将分解因式为，再整体代入计算即可； （2）将转化为，再整体代入计算即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2） ． 【经典例题十七 比较二次根式的大小】 【例17】（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 1．（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键． （1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解； （2）通过比较与1的大小即可求解； （3），，比较被开方数的大小即可； 【详解】解：①， ； 故答案为： ； ②； ； 故答案为： ； ③，，且； ； 故答案为： ； 3.（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十八 二次根式的应用】 【例18】（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：D． 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2， ∴它们的边长分别为：和， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为， ∴阴影部分的面积为； 故选：B． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积为， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长为，重叠部分边长为， 空白部分的长为， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故答案为：10 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号． (1)求当时， 的最小值； (2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）利用题目中的结论进行计算即可得出答案； （2）设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用题目中的公式即可求得最小值． 【详解】（1）， ， 的最小值为2； （2）设花圃的长为米，宽为米，则，，， 根据题目的结论可得：， 篱笆至少需要． 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）与计算结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2024·重庆·模拟预测）设，则实数的值应在（    ） A．14和15之间 B．15和16之间 C．16和17之间 D．17和18之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算，无理数估算，熟练掌握二次根式样运算法则是解题的关键． 先根据二次根式运算法则计算器出，再估算其大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：C． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）当，时，代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，将，代入代数式，利用平方差公式、二次根式性质计算即可得到答案，熟练掌握平方差公式、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 4．（2024·云南文山·模拟预测）如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先对二次根式进行化简，再利用夹逼法求出化简后结果的取值范围，据此即可判断求解，利用夹逼法求出化简后结果的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值所对应的点可能落在点处， 故选：． 5．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 6．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·河北保定·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式组求出x的值是解题关关键． 先根据二次根式有意义的条件列出不等式组可得x的值，进而求得y的值，然后代入即可解答． 【详解】解：由题意可知，解得：，则， 所以． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了方程的整数解问题，由题意，令，则，可得，由m是正整数，且整数，推出时，，时，，由此即可解决问题．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令从而使得用表示的代数式不含根式是解题的关键． 【详解】解：由题意，令，则， ∴， ∵m是正整数，且整数， ∴时，， 时，， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 10．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得，由此可求最值． 【详解】解：，时，， ， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先运算二次根式的乘除，然后合并同类二次根式． （2）首先计算完全平方，然后再利用平方差进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）按照二次根式的性质、绝对值的运算计算，然后合并即可； （2）按照完全平方公式和二次根式的乘法计算，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）人教版初中数学教科书八年级下册第页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为，，，则可求得其面积．，其中为半周长，即；若一个三角形的三边长，，分别为，，，请利用该公式求该三角形面积． 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的运算，平方差公式，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先将，，分别代入，求出值，再将，，，值分别代入，根据二次根式的运算和平方差公式计算即可． 【详解】解：当若一个三角形的三边长，，分别为，，时， 代入，可得， 再将，，，分别代入中， 可得， 即， 解得， 答：该三角形面积为． 14．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【详解】（1）∵； ； ； ； ； （2）； ； ； ； ； （3）由（）可得， ． 15．（23-24八年级下·山东聊城·期末）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算.请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算： ； (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求 的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据分母有理化的步骤逐项化简，再把分母提出来，括号内合并再计算即可求解； （）先对进行分母有理化，再求出和，代入到中计算即可求解； （）设，，则，利用完全平方公式由可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了分母有理化、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或（不合，舍去）， ∴． 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