专题03 实数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 实数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 实数运算的实际运用 题型十 与实数运算相关的规律题 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2021九年级·浙江·专题练习）下列说法其中错误的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0． A．0 B．1 C．2 D．3 1.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 3．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）写出两个负数，使它们的差为﹣5，并写出具体算式． （2）“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明． （3）在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数，，．（任选之一） 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（22-23七年级·全国·假期作业）下列说法：的平方根与的立方根都是无理数是无限小数；是分数；若是一个数的平方，则是有理数.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（21-22七年级下·重庆铜梁·期中）有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不含根号的数一定是有理数；③负数没有平方根；④是17的平方根．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 3．（23-24七年级下·广东珠海·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩． (1)负实数集合：（    ） (2)分数集合：（    ） (3)无理数集合：（    ） 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 1．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知与互为相反数，则的值是 ． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点：    材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______； 拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？ ②若，求x的值． 【经典例题四 实数与数轴】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，用圆规以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则与点C对应的实数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点O与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数（    ）    A． B．2.2 C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上这个点重合． (1)若圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则______．（结果保留） (2)求的算术平方根．（结果保留） (3)若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：，，，．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留） 【经典例题五 实数的大小比较】 【例5】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在4.1，，，中，绝对值最小的数是（　　） A．4.1 B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记，如，若，则a的值是 ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【阅读材料】 同学们学习了完全平方公式后，发现以下结论： ∵， ∴． ∴． 【模仿练习】 （1）比较大小： _________； _________； _________（填“”，“”，或“”）； 【应用探究】 （2）如图，学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，若设为米，平方米，求的最小值． 【经典例题六 实数的混合运算】 【例6】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）计算的值为（　　） A． B． C．32 D．0 1．（2023·云南·模拟预测）计算：的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·二模）计算： ． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【经典例题七 程序设计与实数运算】 【例7】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 2．（23-24八年级上·河北邢台·期中）下图是一个无理数筛选器的工作流程图．    （1）当为9时，值为 ； （2）如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件 ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【经典例题八 新定义下的实数运算】 【例8】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：__________，_________； (2)计算：； (3)计算：． 【经典例题九 实数运算的实际运用】 【例9】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 1．（20-21七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 3．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【经典例题十 与实数运算相关的规律题】 【例10】（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 1．（21-22八年级下·全国·单元测试）用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（    ） A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数 2．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，若当时，的值记为；当时，的值记为；当时，的值记为；…．请解决下列问题： （1） ； （2） ． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 2．（23-24七年级下·河南许昌·期末）关于的叙述错误的是（    ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．是13的平方根 D．的整数部分是4 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，在数轴上，以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（    ）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知是实数，则； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 6．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是 ． 7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 8．（23-24八年级下·福建厦门·期末）阅读下列材料： 如图1，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线l垂直，在l上取点B，使，以点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点． 如图2，在图1的基础上，重复上述步骤，在数轴上画出点E，若，，其中m，n都是有理数，且，写出一组符合题意的值： ， ． 9．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 10．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如果无理数满足（其中是满足不等式的最大整数，是满足不等式的最小整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，，称为的“相邻区间” （1）无理数的“相邻区间”是 ； （2）如果，其中关于，的二元一程的一组整数解，那么的值为 ． 11．（23-24七年级下·四川广元·期末）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·河南周口·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 13．（23-24八年级下·广东江门·期末）计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，实数表示的点为，实数表示的点为．请解答下列问题： (1)若，的相反数为______，的绝对值为______； (2)若，． ①求点到点的距离； ②若点是线段的中点，则求点在数轴上所对应的数______． 15．（23-24七年级下·广东广州·期末）本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． (1)写出与的取值范围； (2)若为有理数8，求此时的值； (3)已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 实数概念理解 题型二 实数的分类 题型三 实数的性质 题型四 实数与数轴 题型五 实数的大小比较 题型六 实数的混合运算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 实数运算的实际运用 题型十 与实数运算相关的规律题 知识点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 知识点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【经典例题一 实数概念理解】 【例1】（2021九年级·浙江·专题练习）下列说法其中错误的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误； ③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误； ④因为负数有立方根，原说法错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确． ∴错误的说法有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键． 1.（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 2．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 3．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）（1）写出两个负数，使它们的差为﹣5，并写出具体算式． （2）“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明． （3）在图4×4方格中画一个面积为2或5或8（任选之一）的格点正方形（四个顶点都在方格顶点上）；并把图中的数轴补充完整，用圆规在数轴上表示相应实数，，．（任选之一） 【答案】（1）见解析，答案不唯一；（2）不正确，证明见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意和有理数的运算法则书写即可； （2）根据0乘以任何数都得0，证明说法即可； （3）首先根据题意画出面积符合要求的正方形，根据正方形的面积公式可推出边长，进而利用圆规在数轴上截取出相应长度的点即可得出对应数据． 【详解】解：（1）-8和-3，计算如下： 原式 （答案不唯一） （2）不正确；理由如下： 若有理数为0，无理数为，那么，，结果仍为有理数， ∴原说法不正确； （3）如图所示建立数轴； ①选择面积为2，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处， 则根据正方形面积公式可得：， ∴， 此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P， 则，即点P表示的数为； ②选择面积为5，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处， 则根据正方形面积公式可得：， ∴， 此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P， 则，即点P表示的数为； ③选择面积为8，如图所示，构造正方形ABCD，点A为原点处， 则根据正方形面积公式可得：， ∴， 此时，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧，与数轴交于点P， 则，即点P表示的数为； （以上任选其一作答即可，答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的运算，实数与数轴等，掌握有理数的运算法则，理解实数与数轴的关系是解题关键． 【经典例题二 实数的分类】 【例2】（22-23七年级·全国·假期作业）下列说法：的平方根与的立方根都是无理数是无限小数；是分数；若是一个数的平方，则是有理数.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数及有理数和无理数的概念逐个判断即可． 【详解】解：的平方根是的立方根是，所以错误； 无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，所以正确； 是无理数，而分数是有理数，所以错误； 例如是的平方，则是无理数．所以错误． 说法正确的有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数、有理数、无理数的概念的应用，区别有理数和无理数是解题关键． 1．（21-22七年级下·重庆铜梁·期中）有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不含根号的数一定是有理数；③负数没有平方根；④是17的平方根．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据实数的定义和有理数、无理数的概念、平方根的概念作出判断即可． 【详解】解：实数和数轴上的点一一对应，①正确； 不含根号的数不一定是有理数，例如，②错误； 任何一个实数的平方一定是非负数，所以负数没有平方根，③正确； 17的平方根是，所以是17的平方根，④正确， 故①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的定义和运算，实数分为有理数和无理数，正确掌握相关基本概念并作出判断是解答本题的关键． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 3．（23-24七年级下·广东珠海·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩． (1)负实数集合：（    ） (2)分数集合：（    ） (3)无理数集合：（    ） 【答案】(1)①③⑤⑥⑦ (2)①⑨⑩ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据负实数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，，，，是负实数， 故答案为：①③⑤⑥⑦； （2）解：由题意知，，，是分数， 故答案为：①⑨⑩； （3）解：由题意知，，，，（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数， 故答案为：②⑤⑦⑧． 【经典例题三 实数的性质】 【例3】（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）下列各组数中互为相反数的一组是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查实数的运算，实数的性质，化简各数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是相反数，不符合题意； B、与是相反数，符合题意； C、，不是相反数，不符合题意； D、与不是相反数，不符合题意； 故选B． 1．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如果，那么代数式的值是（    ） A． B．2023 C． D．1 【答案】C 【分析】根据得到，求得，代入计算即可． 【详解】∵, ∴, ∴, ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了实数的非负性，幂的运算，熟练掌握实数的非负性是解题的关键． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查实数的性质，立方根的性质，先根据两个立方根互为相反数，得到被开方数互为相反数，求出的值，整体代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴和互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点：    材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______； 拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？ ②若，求x的值． 【答案】（1）4；；（2）①介于3和4两个相邻整数之间；去绝对值等于；②或 【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法，判断无理数的范围，是解题的关键． （1）利用夹逼法确定的范围，即可得出结果； （2）①结合的范围，确定的范围，根据绝对值的意义，去绝对值即可； ②根据绝对值的意义，解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分为：； （2）①∵， ∴， ∴； 即：介于3和4之间； ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴或． 【经典例题四 实数与数轴】 【例4】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，数轴上点A与点B表示的数互为相反数，若点A表示的数是，用圆规以B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则与点C对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，实数与数轴，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握相反数，实数与数轴，数轴上两点之间的距离是解题的关键． 由题意知，点B表示的数是，则，点C对应的实数是，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，点B表示的数是， ∴， ∴点C对应的实数是， 故选：C． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点O与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数（    ）    A． B．2.2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示等知识．根据勾股定理求出，根据题意即可求解． 【详解】解：在中，， ∴原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上这个点重合． (1)若圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上的点A恰好与点B重合，设点B对应的实数是b，则______．（结果保留） (2)求的算术平方根．（结果保留） (3)若圆从数轴上A点开始滚动，向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：，，，．当圆结束运动时，点A运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3)的单位长度， 【分析】本题考查数轴、正负数的意义、算术平方根， （1）根据题意得，向右滚动一周，即向右滚动个单位长度，即可求解； （2）先把代入求值，即可求解； （3）根据正负数的意义求解即可． 【详解】（1）解：∵半径为1个单位长度的圆的周长为， ∴向右滚动一周，即向右滚动个单位长度， ∵点A从向右滚动一周与B重合， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的算术平方根为； （3）解：由题意得，点A运动路程为（周）， 即个单位长度， ∵， ∴点A向左滚动一周，即的单位长度， ∴此时，点A表示的数为． 【经典例题五 实数的大小比较】 【例5】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若实数满足，则，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：A． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在4.1，，，中，绝对值最小的数是（　　） A．4.1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值，实数大小比较．熟练掌握求一个数的绝对值，实数大小比较法则，是解决问题的关键． 求出与和绝对值，而后统一比较大小． ，，然后比较各数的大小即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则绝对值最小的数是． 故选：C． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记，如，若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，理解题意是解题的关键． 先估算的取值范围，即可得出的取值范围，从而求出的值，继而求出的值，从而得出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）【阅读材料】 同学们学习了完全平方公式后，发现以下结论： ∵， ∴． ∴． 【模仿练习】 （1）比较大小： _________； _________； _________（填“”，“”，或“”）； 【应用探究】 （2）如图，学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，若设为米，平方米，求的最小值． 【答案】（），，；（）的最小值为． 【分析】（）直接计算即可比较大小； 直接计算即可比较大小； （）根据三角形面积的计算方法得出，利用即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，实数的比较大小，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， 故答案为：； ∵，； ∴， ∵，。 ∴， 故答案为：；； （）中，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为． 【经典例题六 实数的混合运算】 【例6】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）计算的值为（　　） A． B． C．32 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数运算、运用平方差公式进行运算等知识，熟练掌握平方差公式是解题关键．首先根据平方差公式计算，在根据乘法运算律进行计算，然后求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 1．（2023·云南·模拟预测）计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用零指数幂、绝对值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 2．（2024·山东泰安·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先将算术平方根，立方根，0次幂，绝对值，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算： （1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： 【经典例题七 程序设计与实数运算】 【例7】（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】本题以程序计算考查实数的运算，将代入计算，再判断即可． 【详解】解：将代入计算，第一次：， 进行第二次计算， 第二次：， ∴输出结果， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北邢台·期中）下图是一个无理数筛选器的工作流程图．    （1）当为9时，值为 ； （2）如果输入值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的满足的条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数和算术平方根下的流程图运算， （1）将代入，根据流程图的运算规则运算即可； （2）根据负数没有算术平方根，即可解答， 熟知负数没有算术平方根是解题的关键． 【详解】解：（1）解：将代入，，不是无理数，进行第二次计算， 为无理数，故输出为； （2）负数没有算术平方根， 输入的满足的条件为， 故答案为：；． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 【经典例题八 新定义下的实数运算】 【例8】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 当均为整数时，； 当不为整数时，， ∴，④正确； 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：__________，_________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，1 (2) (3)i 【分析】此题考查了实数新定义运算问题的解决能力，关键是能根据定义和实数的运算方法进行准确计算． （1）把化为，把化为，再结合进行计算； （2）根据复数的乘法法则变形可得，再结合进行计算； （3）根据可知，，，……，则：中含有504个和一个，据此化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，1； （2）解： ； （3）解：∵， ，……， ∴ ． 【经典例题九 实数运算的实际运用】 【例9】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 1．（20-21七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 3．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 【经典例题十 与实数运算相关的规律题】 【例10】（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 1．（21-22八年级下·全国·单元测试）用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（    ） A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数 【答案】C 【分析】通过实数的分母有理化对每项化简，再根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法求出大于3时，即可得答案． 【详解】解：第一个数是1，第二个是，前两项和为； 第三个数是，前三项和为， 第四个数是，前四个数的和为； 第五个数是，前五个数的和为满足条件； 所以可以把这些数加起来，至少要5个数和才大于3， 故选：C 【点睛】本题属于探究类题型，主要是考察实数的化简和对计算器的使用，难度一般. 2．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，若当时，的值记为；当时，的值记为；当时，的值记为；…．请解决下列问题： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，实数的运算，根据题意，求出，得到规律即可得到答案，根据运算，得到从第三项开始值均为，即（其中为正整数）是解决问题关键． 【详解】解：（1）， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）由（1）知，从第三项开始值均为，即（其中为正整数）， ， 故答案为：（1）；（2）． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 1．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 2．（23-24七年级下·河南许昌·期末）关于的叙述错误的是（    ） A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点 C．是13的平方根 D．的整数部分是4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B；根据平方根的性质对C进行判断；根据，可得出可判断出D是否正确． 【详解】解：A．面积为13的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意； B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意； C．是13的平方根，说法正确，不符合题意； D．∵，∴，整数部分是3，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，，，在数轴上，以原点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴交于点D，则点D表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，即在数轴上表示无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理计算出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：D． 4．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（    ）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知是实数，则； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数，掌握实数的分类以及全体实数和数轴上的点是一一对应关系是解决本题的关键． 根据有理数、无理数、实数的定义即可解答． 【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，例如：是无理数，故错误； ②是一个正数，故错误； ③已知是实数，则，正确； ④全体实数和数轴上的点是一一对应，正确． 所以正确的有2个． 故选：B． 5．（23-24七年级下·四川泸州·期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 6．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先用夹逼法估算，再根据点M，N表示两个连续整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵点M，N表示两个连续整数， ∴点N表示的数是4， 故答案为：4． 7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，掌握已知新运算法则是解题关键．根据已知新运算，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：23． 8．（23-24八年级下·福建厦门·期末）阅读下列材料： 如图1，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线l垂直，在l上取点B，使，以点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点． 如图2，在图1的基础上，重复上述步骤，在数轴上画出点E，若，，其中m，n都是有理数，且，写出一组符合题意的值： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得，从而可得，即，再根据m，n都是有理数，且，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵m，n都是有理数，且， ∴，． 故答案为：；（答案不唯一）． 9．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴和勾股定理，根据题意，可得，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则，即可得出结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数为，，垂足为，且， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ∴， ∴点表示的数为． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·北京丰台·期末）如果无理数满足（其中是满足不等式的最大整数，是满足不等式的最小整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，，称为的“相邻区间” （1）无理数的“相邻区间”是 ； （2）如果，其中关于，的二元一程的一组整数解，那么的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键．（1）根据“相邻区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“相邻区间”；（2）根据“相邻区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值． 【详解】（1）解：； 故为的“相邻区间” 故答案为： （2）为无理数的“相邻区间”且且为整数 符合条件的和的值有：①，；②，； 当，， 则 代入可得： 当，，则 代入可得： 故答案为：或 11．（23-24七年级下·四川广元·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握乘方、算术平方根、立方根的定义是解题关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先化简绝对值、算术平方根、立方根，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．（23-24七年级下·河南周口·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（）先进行立方根，化简绝对值，算术平方根运算，再进行加减运算即可； （）根据平方根的定义，进行求解即可； 本题考查了考查了实数运算和平方根的概念，正确化简各数和正确理解平方根的概念是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （） 或 或． 13．（23-24八年级下·广东江门·期末）计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 【答案】（1），0，6，；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：，0，6，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；用字母表示为：； （3）解：①当时，， ； 故答案为：； ②； 故答案为：． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，实数表示的点为，实数表示的点为．请解答下列问题： (1)若，的相反数为______，的绝对值为______； (2)若，． ①求点到点的距离； ②若点是线段的中点，则求点在数轴上所对应的数______． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及实数的运算，熟练掌握数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及实数的运算是解题的关键． （1）根据相反数与绝对值的意义可进行求解； （2）①根据数轴上的两点距离可直接进行求解； ②设点在数轴上所对应的数为，则，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：的相反数， ， ； 故答案为： ；； （2）解：①由题意得：． ②设点在数轴上所对应的数为， 则， 解得：， ∴点在数轴上所对应的数为． 15．（23-24七年级下·广东广州·期末）本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． (1)写出与的取值范围； (2)若为有理数8，求此时的值； (3)已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 【答案】(1) (2)29 (3) 【分析】本题考查了实数的运算与性质，理解题意是关键； （1）根据被开方数非负可确定a的取值范围，根据算术平方根非负可确定b的取值范围； （2）由，即可确定b的值，从而可确定a的值； （3）由a的值可得b的值，然后代入等式中，根据x、y为有理数即可求得x、y的值． 【详解】（1）解：由于， 则； （2）解：， ； ∵，即， ∴， 即； （3）解：， 则， 整理得：， ∴， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$