1.1.2空间向量的数量积运算(教学设计)-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2空间向量的数量积运算 一、教材分析 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用，空间向量的引入为解决空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具. 向量是既有大小又有方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面向量具有一致性，但在维数上发生了变化，空间向量是三维的，平面向量是二维的.由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、减法、数乘、数量积运算也具有一致性，当然也要注意维数的变化. 空间向量为解决立体几何问题提供了新的工具.向量让几何量带上了方向，并用符号表示，因此向量运算既是几何的运算也是数的运算.F·克莱因说：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处.初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括.”这几个“一般定理”就是向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义（物理意义），以及向量基本定理及坐标表示.用空间向量解决立体几何问题，首先要用空间向量表示立体几何问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；然后通过空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后将运算结果“翻译”成几何结论.这个“三步曲”，是立体几何中向量方法的具体化. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的数量积与平面向量的数量积一致，并且满足交换律和分配律等运算律。给出空间向量的数量积运算及其运算律后，所有空间向量所构成的向量空间进一步成为一个欧氏空间，这为用向量方法研究空间中的位置关系和度量问题奠定了基础. 空间向量的投影包括空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影等三种情况，其中前两种投影的定义与平面向量的相应投影是一致的.一般地，向量投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，是构建高维空间与低维空间联系的桥梁.空间向量的投影对研究立体几何问题有重要意义，它为后续研究各种距离问题提供普适性方法，也是本课时证明空间向量数量积分配律的基础. 本课时的学习，让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好了铺垫，起到承前启后的作用.具体将，在学习中，类比平面向量的数量积学习空间向量的数量积，将空间向量的投影转化为平面向量的投影，体现了类比、转化等思维方法.利用空间向量的数量积运算及运算律，解决一些简单的立体几何中的求长度、角度，证明垂直等问题，体现了用空间向量解决立体几何问题的向量方法，通过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。 本节内容的教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，体会平面向量和空间向量的共性和差异，提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象素养. 二、学情分析 （1）学生有平面向量学习的基础，有类比平面向量的线性运算学习空间向量的线性运算的经验,把平面向量数量积的概念推广到空间并不难，也能较容易由平面向量数量积的运算律推广得到空间向量数量积的运算律.尽管在平面向量的学习中已经积累了一些用向量法解决几何问题的经验，但学生还缺乏利用空间图形解决立体几何问题的经验，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示对学生来讲都是难点.突破难点的关键是引导学生利用平面向量解决平面几何问题的经验，结合具体问题，从几何量的向量表示入手，深入理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示. 教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面在教学中，要鼓励学生自主探究，在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上，类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法，将平面向量及其运算推广到空间.在这一过程中，要引导学生发现空间向量和平面向量的不同之处，主要是维数的变化所产生的几何表达上的变化，并验证推广过程中的合理性与严谨性，达到对空间向量及其运算的深入理解，这是突破难点的关键所在. （2）对于空间向量的投影，将其转化为平面向量的投影，并画出投影向量，需要较强的空间想象能力，这也是本节课的一个难点.在教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面向量的投影. 三、教学目标 （一）课程标准要求 本内容的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，进一步体会并经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程；了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. （二）课时目标要求 1．能类比平面向量的数量积的定义，给出空间向量的夹角概念与数量积的定义，会计算两个向量的数量积，发展学生的数学抽象，数学运算核心素养； 2．通过类比平面向量数量积的几何意义，得到空间向量数量积的几何意义，能将空间向量投影转化为平面向量投影，并画出投影向量，发展学生的数学抽象素养； 3．能将平面向量数量积的匀运算律推广到空间向量，并体会与实数运算律的联系与区别，能用空间向量数量积运算及运算律解决简单的立体几何问题. 四、重点难点 教学重点：空间向量数量积的概念及几何意义，运算律. 教学难点：空间向量的投影. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 一、问题引入，提出概念 G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.如果想解决这些问题，必须要有强大的数学工具! 问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题? 问题2:在必修中我们已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法以及数乘运算，那么空间向量中，什么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题? 追问：空间向量有数量积吗?为什么?是怎样的? 【设计意图】空间向量的数量积运算不是凭空产生的，引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容。同时，激活学生已有学习经验和知识储备，在例证中发现本质：任意两个空问向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积本质上就是平面向量的数量积. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题3：前面我们学习了空间向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，空间向量的线性运算与平面向量完全一致.在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，你能类比平面向量数量积的运算，得出空间向量的数量积相关知识？请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格. 平面 空间（学生填空） 夹角 对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,. 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，． 特例:当时,则. 如果，那么向量，互相垂直，记作． 数量积 两个非零向量,则叫.做的数量积,记作,即 . 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即 ． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0． 特例:. 由向量的数量积定义，可以得到： ；． 也记作． 师生活动：首先让学生回忆平面向量数量积运算的内容和学习过程，师生共同画出上述表格，确定表格的表头、并完成与平面向量数量积相关的部分，然后独立思考并完成空间向量数量积部分，师生共同对表格进行完善.在完成表格的过程中，教师应引导学生注意对两个非零向量的方向之间关系的辨析，进而明确空间向量夹角的范围.. 【设计意图】通过完成表格这种形式，使得类比学习更为生动直接，进一步让学生体会平面向量到空间向量的推广是“平行”推广.师生共同画出表格的过程也体现了从平面向量到空间向量的研究内容和方法的类比。 问题4：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况. 提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影 师生活动：学生独立思考后，通过合作交流，得出结论. 【设计意图】：明确问题，培养空间想象力. 追问1：如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？你能用向量,向量表示出投影向量吗？ 师生活动：如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 图1.1-11(1) 追问2：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗? 师生活动：学生独立完成后在课堂上展示、交流，最后教师总结. 类比空间向量向向量的作投影的过程，只需将向量与直线平移到同一个平面内，然后作出投影向量，如图1.1-11(2)． 图1.1-11(2) 追问3：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处. 师生活动: 如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 图1.1-11(3) 【设计意图】：结合平面向量的投影，理解空间向量投影的概念，画图表示空间向量向向量的投影、向直线的投影、向平面的投影，使学生进一步体会空间向量和平面向量的内在联系. 问题5：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？ 师生活动：教师提出问题，结合平面向量数量积的运算律，学生不难得到空间向量的数量积满足如下的运算律： ，； (交换律)； (分配律)． 追问：你能证明这些运算律吗？ 师生活动：请学生根据数量积的定义证明运算律(1)和(2),并在课堂上展示、交流.对于(3)的证明，可以在课堂上组织学生进行小组合作探究，也可以留给学生课下完成(具体证明方法可参见前面相应内容). 【设计意图】：将平面向量数量积运算的运算律推广到空间，进一步完备空间向量的运算体系. 问题6：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？ 师生活动：教师提出问题，让学生联想数的乘法，提出空间向量的数量及运算的一些性质,并分组交流讨论，具体地，可引导学生讨论下面的问题. 追问1：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？ 师生活动: 教师提出问题, 引导学生通过小组合作、讨论等, 举出反例. 例如, 任意取三个不共面的向量，是一个数与向量作数乘, 是一个数与向量作数乘, 而不在同一个方向上, 所以与不可能相等. 教师进而指出，空间向量的数量积运算满足的运算律和实数的运算律有很多相似之处，但也有区别，如向量数量积运算不满足“结合律”，也就是说，向量不可以“连乘”. 追问2：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例． 师生活动：教师可以引导学生结合长方体中的反例说明上述结论不成立, 并进一步指出, 若 向量都垂直于向量, 则成立, 但向量的方向可能不同, 所以不一定成立. 追问3：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？ 师生活动：师生共同完成追问3后，教师小结：向量没有除法运算，不可以在等式两边同时除以一个非零向量，这与实数运算不一样. 【设计意图】：通过对向量数量积运算和运算律与实数乘法运算和运算律的对比分析，使学生明确向量运算与实数运算的联系与区别，更好地建构空间向量的运算体系，为后续使用空间向量及其运算解决立体几何问题奠定基础. 环节三：根据新知，简单应用 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求： 图1.1-12 （1）； （2）的长（精确到0.1）． 解：（1）， ； （2） ， 所以． 师生活动：学生根据向量数量积的定义独立完成. 由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决． 设计意图：通过例题让学生体会如何计算两个空间向量的数量积，以及利用数量积计算向量的模，进而得到线段的长度，加深对向量数量积概念的理解，并熟悉其运算律. 例3. 如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 师生活动：教师首先引导学生分析问题的条件和所证明结论的本质，得出证明的基本思路： 分析：要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题． 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，． 因为直线与相交，所以向量，不平行． 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 因为，（为什么?），所以． 所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 思考：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？ 【设计意图】：通过层层递进的问题引导学生用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理，学生初步体会向量方法的威力. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量数量积的运算 1．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）． 第1题图 解：（1）； （2）； （3）． 2.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，， （1）； （2）； （3）； （4），则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角， 又，； （5），则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角， ； （6）取BD中点M，连接AM，CM， 则，，平面ACM， 又平面ACM，， ，， 又，，， 可知， . 题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素 （一）利用数量积求解角度问题. 2．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（） A．60° B．90° C．105° D．75° 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B （二）利用数量积求解距离问题. 3.如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义即可计算； （2）由平方即可求解； （3）由即可求解. 【详解】（1）； （2）， ， ，即的长为； （3）， ， ，即的长为. 4. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，根据可求. 【详解】连接，，， ，，， ，， 即C，D两点间的距离为. 题型三：利用数量积运算及其运算律证明几何关系问题. 4. （1）如图，正方体 （1）求和的夹角； （2）求证． 解：设，，， ∵正方体的棱长为， ，且，，． ， ， 又，， ． 又，． 与的夹角为60°． （2）证明：由（1）知，， ， ，． （2）如图，空间四边形中，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直. 试题解析：∵，∴. ∵，∴. ∴（1） 同理:由得（2） 由（1）－（2）得 ∴， ∴， ∴， ∴. 环节五：凝练升华，课堂小结 课堂小结 1. 空间向量的夹角 (1) 两向量的夹角是唯一确定的 (2) 夹角范围 (3) 特殊夹角及对应两向量的位置关系 2. 空间向量的数量积的定义与几何意义 3. 空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的方法。 4. 空间向量数量积的运算律。 【设计意图】：通过问题引导学生复习本节课所学知识，包括空间向量数量积运算的概念、运算律、空间向量的投影等，进一步体会类比平面向量学习空间向量的方法.结合对平面向量解决简单几何问题的回顾，让学生体会用空间向量解决立体几何问题的基本思考方法，为后续归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲''做准备. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第10页习题第8、10题 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法. 巩固作业答案： 8．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． 8．解析：已知：平面，是平面的斜线，且，平面于点， 且．求证：． 证明：如图，，且，，， ，． 又，，，，，． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 10．证明：设，，，分别为，的中点， ， 又，分别是，的中点，， ，∴四边形是平行四边形． 又在和中，，，， ，． ， 又，，，，． 又，，，∴四边形为矩形． 环节七 板书设计1.1.2 空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 例2.. 2. 空间向量的数量积运算及运算律 例3 3.空间向量数量积的应用 （1）求距离，角度； （2）证明空间垂直关系 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$