1.1.1空间向量及其线性运算（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 一、教材分析 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用，空间向量的引入为解决空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具. 向量是既有大小又有方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面向量具有一致性，但在维数上发生了变化，空间向量是三维的，平面向量是二维的.由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、减法、数乘、数量积运算也具有一致性，当然也要注意维数的变化. 空间向量为解决立体几何问题提供了新的工具.向量让几何量带上了方向，并用符号表示，因此向量运算既是几何的运算也是数的运算.F·克莱因说：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处.初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括.”这几个“一般定理”就是向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义（物理意义），以及向量基本定理及坐标表示.用空间向量解决立体几何问题，首先要用空间向量表示立体几何问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；然后通过空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后将运算结果“翻译”成几何结论.这个“三步曲”，是立体几何中向量方法的具体化. 本节的主要内容是空间向量及其运算，可分为两部分，一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算.本节内容作为本章的起始内容，是在学生学习了平面向量的基础之上展开的，让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好了铺垫，起到承前启后的作用. 教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高相关的数学学科核心素养。 用空间向量处理某些立体几何问题，为学生提供了新的视角.在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而降低许多立体几何题目的心解答难度，而且由于近几年高考命题倾向于新教材的改革，因此善于运用空间向量来解决立体几何问题会成为高考命题的热点之一，也是应考复习中不可忽视的一个重要问题. 本节内容的学习可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，提升直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象素养. 二、学情分析 （1）学生已有“立体几何初步”的基础，学习了空间直线、平面间的平行和垂直等概念，也有了平面向量学习的基础，把向量的概念、运算从平面推广到空间并不困难，也能较容易地由平面向量的运算律推广得到空间向量对应的运算律.但是，现在研究的范围已由平面扩展到空间，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已经不只是一个平面，而是互相平行的“平面集”，这需要学生对向量有新的理解.另外，尽管在形式上空间向量的运算、运算律和平面向量一致，但因为维数发生了变化，所以它们的几何表示是不同的，这些是本节元学习的难点. 在教学中，要鼓励学生自主探究，在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上，类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法，将平面向量及其运算推广到空间.在这一过程中，要引导学生发现空间向量和平面向量的不同之处，主要是维数的变化所产生的几何表达上的变化，并验证推广过程中的合理性与严谨性，达到对空间向量及其运算的深入理解，这是突破难点的关键所在. （2）本节课在给出共线、共面向量的充要条件之后，安排了证明立体几何中四点共面的问题；在数量积运算之后，安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题等.对于这些问题，尽管学生已经有了用平面向量解决平面几何问题的经验，但是由于初次接触用空间向量解决立体几何问题，学生还缺乏利用空间向量解决立体几何问题的经验.另外，由于图形的维数增加了，也更抽象了，想到向量方法以及把空间图形的位置关系转化为向量表示，对学生来讲都是难点. 突破难点的关键是引导学生利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法，结合具体问题，从几何元素的向量表示人手，深入理解问题中相关条件的几何意义，在此基础上进行向量表示和向量运算，让学生完整经历用空间向量解决立体几何问题的过程，从中体会解决问题的基本思路和方法. （3）对于空间向量的投影，将其转化为平面向量的投影，并画出投影向量，需要较强的空间想象能力，这也是本单元的一个难点.在教学时，应类比平面向量投影的画法，借助辅助平面把空间向量投影转化为平面向量的投影. 三、教学目标 （一）课程标准要求 本内容的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，具体体现在以下两个方面： 1、经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。 2、经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。 （二）课时目标要求 1．通过类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，发展学生的数学抽象核心素养. 2．通过类比平面向量的线性运算法则与运算律推出空间向量的线性运算法则和运算律并掌握，培养学生的类比意识 3．通过合作探究，归纳得出共线向量定理与共面向量定理并理解，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，提升直观想象素养. 四、重点难点 教学重点：空间向量及其概念，空间向量的线性运算及其运算律. 教学难点：空间向量的运算律的证明,空间向量的应用. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 引例1：如图，在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？ 引例2：国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游缆结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1),游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2),那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢? 通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系. 问题1：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题？ 师生活动 学生阅读章引言，师生共同归纳. 追问1 你能举几个空间向量的例子吗？ 师生活动 师生共同举例说明，联想用平面向量解决物理问题的方法，体会平面向量推广到空间向量的必要性. 追问2 你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本节课我们将学习哪些内容、用到哪些研究方法. 师生活动 从类比平面向量的研究方法、研究过程和研究框架出发，明确本单元的研究主题和研究框架. 教师总结：在本节的学习中，我们要注意利用类比的方法进行研究，研究内容主要有：空间向量的概念、运算；体会推广的合理性和严谨性；利用空间向量表示空间中的几何元素并解决共面的立体几何问题. 【设计意图】通过情境创设，体会学习本章内容的必要性，从而激发学生的学习热情和求知欲望.通过继续追问，引导明确本单元的学习内容和学习方法，从而体会和构建学习的“先行组织者”. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题2: 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示． 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量，平面向量的大小叫做长度或模 表示 印刷体用a，b，c，···表示；书写用，，表示；几何表示用有向线段表示，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或.长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的起点与终点重合．模为1的向量叫做单位向量． 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 即看大小又看方向 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 师生活动:首先让学生回忆平面向量的概念，师生共同画出表格并完成表格的左侧部分，然后通过小组合作，完成表格右侧部分. 空间向量的相关概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)． 空间向量用字母❶，，，…表示．空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示． ❶印刷体用合体，书写用， 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模． 如图1.1-1，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． 如图1.1-1 与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量(zerovector)，记为． 当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量叫做单位向量(unitvector)． 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为． 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)． 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)． 【设计意图】类比平面向量引入空间向量及其相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量.通过完成表格这种形式，使得类比学习更为直接，让学生体会平面向量到空间向量推广的必要性和合理性. 追问： 从空间向量的相等概念出发，你对共线向量、平行向量有什么认识？任给两个向量，它们一定共面吗，为什么？ 在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 师生活动 教师引导学生共同归纳出以下几点体会： 第一，空间向量是自由的，可以将它们在空间中进行平移； 第二，因为向量可以平移，所以共线向量和平行向量本质相同； 第三，空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内； 第四，涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用. 【设计意图】引导学生体会和经历空间任意两个向量都可以转化为同一平面内的向量，为学习空间向. 问题3：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算．你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 数乘 当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. 空间向量的运算法则： 定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5)： （1）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，． 师生活动 首先让学生回忆平面向量的加、减、数乘运算，画出表格并完成表格的左侧部分，然后通过小组合作，完成表格右侧部分，最后通过全班交流完善表格. 【设计意图】 师生共同画出并完成表格的过程体现了从平面向量到空间向量研究内容和方法的类比. 追问 向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？ 师生活动 学生经过思考后，得出结论“向量的线性运算的结果，与向量起点的选择无关”. 【设计意图】 让学生思考向量线性运算的结果是否与表示向量的有向线段的起点的选择有关，进一步让学生理解“向量是自由的” 问题4：类比平面向量的研究过程，我们知道，定义了一种运算就要研究它的运算律．你能类比平面向量线性运算的运算律猜想空间向量线性运算的运算律吗？ 师生活动 教师提出问题，结合平面向量线性运算的运算律，学生不难得到空间向量线性运算的运算律： 空间向量的线性运算满足以下运算律(其中)： 交换律：； 结合律：，； 分配律：，． 追问：你能证明这些运算律吗？ 师生活动 请学生根据加法和数乘的定义完成运算律（1）、（3）以及（2）中的证明，并在课堂上展示、交流.对于”的证明，先让学生独立思考、解决，然后再组织学生交流，从中体会与平面向量的异同. 如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? 可以发现，，一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 问题5:有了空间向量的线性运算及其运算律，我们就可以通过向量运算研究空间向量的位置关系.对于空间向量的位置关系，你能提出哪些问题？得出哪些结论？ 师生活动 学生独立思考、小组讨论后进行全班交流，教师帮助梳理后得出： （1）因为空间任意两个向量都共面，所以对于空间中两个向量的位置关系，平面向量中的有关结论在空间向量中仍然成立.具体的，平面向量共线的充要条件也是空间向量共线的充要条件，当然要注意维数的不同. （2）对于空间的三个向量，可以有共线、共面和不共面三种位置关系，因此可以研究的问题是：三个向量共线、共面和不共面的充要条件分别是什么？ 追问1 :你能类比平面向量共线的充要条件，给出空间向量共线的充要条件并进行证明吗？ 师生活动 学生独立思考后给出命题：对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使并证明． 追问2 设是一个非零向量．空间中与平行的直线有多少条？要使平行于向量的直线唯一确定，还需要增加什么条件？ 师生活动 学生独立思考、作答，教师帮助学生归纳得出结论：平行于向量的直线有无数条.要确定空间一条直线l，除了以向量为l的方向，还需要一个点． 如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 设计意图 通过问题引导学生在定义向量线性运算的基础上，发现利用向量线性运算可以研究哪些位置关系，并将向量共线的充要条件由平面向量推广到空间向量，明确空间向量共线的充要条件是立体几何中证明点共线和线平行的重要依据，认识直线的方向向量概念，为后续建立直线的参数方程奠定. 问题6：类比平面内两个向量共线的充要条件，你能研究一下三个空间向量共线或共面的充要条件吗？ 追问1：如果三个空间向量共线，那么它们的方向是什么关系？ 追问2：如果三个不共线向量共面，那么它们有什么关系？ 师生活动：教师引导学生回顾平面向量基本定理，并将平面向量基本定理置于空间，通过讨论得出： (1)如果三个空间向量共线，那么它们的方向相互平行，由平行的传递性可得，它们两两共线，所以可以转化为两个向量共线的问题 (2)设，，是平面内的三个不共线向量，不妨设与不共线. 如果是内的一个向量，那么存在唯一的有序实数对,使； 反之，如果,那么向量与向量，共面. 因此，三个不共线的空间向量共面的充要条件是： 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使. 追问3：你有兴趣研究一下三个向量不共面的充要条件吗？这是一个具有挑战性的问题，哪些同学敢于迎接挑战？请你们课下研究一下. 设计意图：通过类比平面向量共线的充要条件，得出空间向量共面的充要条件.通过追问1和2，引导学生对三个向量的位置关系分类讨论，培养思维的严谨性；通过追问3，给学有余力的学生拓展创新思维空间.在此过程中，发展学生的类比思维，提升空间想象能力，发展直观想象、逻辑推理素养. 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面． 师生活动：欲证，，，四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式． 证明：因为， 所以，，，． 因为四边形是平行四边形， 所以． 因此 ． 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点， 从而，，，四点共面． 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法． 变式练习： . 因为，，， 所以， 所以与、共面． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：空间向量的有关概念 1．（1）给出下列命题： ①若||＝||，则＝或＝－； ②若向量是向量的相反向量，则||＝||； ③在正方体中，＝； ④若空间向量满足，则. 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】对于①，由||＝||可知的长度相等，方向没有确定，故①错误； 对于②，根据相反向量的定义知||＝||，故②正确； 对于③，如图，在正方体中，， 而，则，故③正确； 对于④，因空间向量是自由向量，故由可得：.故④ 正确. 故答案为：②③④. （2）．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有 ；与向量相反的向量有 .(要求写出所有适合条件的向量) 【答案】 ，， ，，， 【详解】解：因为多面体ABCD­A′B′C′D′为平行六面体， 所以与向量相等的向量有，，， 与向量相反的向量有，，， 故答案为：，，；，，， 题型二：空间向量的线性表示 2．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量、、表示向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，则， 因为，则， 因此，. 故选：A. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题7：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： (1)空间向量线性运算的定义、运算律是什么？与平面向量的线性运算有什么联系与区别？ (2)空间向量共线的充要条件是什么？直线的方向向量如何确定？如何利用向量解决平行和共线问题？ (3)空间三个向量共面的充要条件是什么？与平面向量基本定理有什么联系？能解决立体几何中的哪些问题？ (4)我们是如何开展本节内容的学习的，重点用到了哪些思想方法，接下来我们要学习空间向量的哪些内容？ (5)两个向量，不共线，那么向量与向量，不共面的充要条件是什么？你能自主探究一下吗？ 师生活动：学生独立思考、回答，教师帮助学生归纳总结. (1)空间向量的运算可以通过类比平面向量的运算，将平面向量的运算推广到空间得到空间向量运算的定义及运算律，但要注意维数的变化.例如，空间向量加法结合律的证明与平面向量加法结合律的证明就有较大的不同； (2)因为向量是自由的，所以两个空间向量共线等价于两个平面向量共线，要注意的是向量的维数不同；两条直线平行，本质上就是它们的方向相同，所以要证明两条直线平行，只要证明它们的方向向量共线； (3)三个向量共面是空间中三个向量的一种特殊位置，这种特殊的位置可以用平面向量基本定理来刻画，向量共面的充要条件可以解决空间中的共面、平行等问题； (4)本节课的学习中，类比平面向量研究空间向量是基本的思想方法，空间向量的研究框架应建立在平面向量的基础上，同时类比的过程要注意空间与平面的不同之处，接下来还会研究空间向量的数量积、空间向量的坐标表示以及空间向量解决立体几何问题等内容； (5)向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.因此，向量与向量，不共面的充要条件就是不存在有序实数对,使得.还可以鼓励学生进一步自主探究，查阅资料，了解三个空间向量线性无关的概念. 设计意图：通过问题引导学生复习本节课所学知识，进一步体会类比平面向量学习空间向量的思想方法、体会平面向量与空间向量的异同. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第5~6页练习第1、2、3、4、5题 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量的后续研究内容及方法. 环节七 板书设计 1.1.1 空间向量机器线性运算 1.空间向量的相关概念 例1. 2. 空间向量的线性运算及运算律 3. 空间向量共线与共面的充要条件 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$