1.1.2空间向量的数量积运算（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量 的数量积运算 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 2 3 4 引入新知 G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力,一些别致的建筑和设计令人印象深刻!设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型,都会遇到许多立体几何问题,比如建筑的地面垂不垂直,要不要垂直?构成建筑的部件长度是多少?彼此成多少角度比较合适等等.怎么样才能解决这些问题呢,必须有强大的数学工具! 学习新知 追问：空间向量有数量积吗?为什么?是怎样的? 问题2：我们已经学习了平面向量,并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用.我们还学习了空间向量的加法、减法、数乘运算,那么空间向量中,怎么样的运算能支持判断垂直问题,计算长度、角度问题? 问题1：在所学的数学工具中,哪些可以用来研究垂直问题,计算长度、角度问题? 追问（1）：学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？ 问题3：我们已经学习过平面向量的数量积运算，你能类比平面向量，给出空间向量的数量积运算的定义吗？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 学习新知 追问（2）：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？ 平面向量的夹角 空间向量的夹角 b a . O B α A b a . O B α A 学习新知 追问（3）：平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 平面向量的数量积 空间向量的数量积 证明垂直关系 求线段长度 求夹角大小 学习新知 追问（4）：在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？ 平面向量的投影 两个非零向量a，b， ＝a， ＝b，过A和B分别做 在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到 ，称上述变换为向量a向向量b的投影， 叫向量a在向量b上的投影向量. ＝|a|cos〈a，b〉 b a A B D C A1 B1 b a . O N M M1 学习新知 空间向量的投影 如图1.1-11(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量 的投影，得到与 向量共线的向量 ， ，向量 称为向量 在向量上 的投影向量． A B (1) (2) (3) 图1.1-11 学习新知 如图1.1-11(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，得到向量 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角． A B (1) (2) (3) 图1.1-11 空间向量的投影 学习新知 追问（5）：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 空间向量的数量积满足如下的运算律： （交换律）； , ； （分配律）. 请同学们课后给出运算律的证明 学习新知 1.对于三个均不为0的数 ，若 ，则 ．对于向量 ， ， ，由 ，你能得到 吗？如果不能，请举出反例． 设 是非零向量，且 ，求证： O B C A 思考 学习新知 思考 2. 对于三个均不为0的数 ，若 ，则 (或 )．对于向量 ， ，若 ，能不能写成 （或 ）的形式？ 3. 对三个不为0的数 ,有 ,对于向量 , , , 成立吗？为什么? 2. 不能！因为没有定义向量的除法运算. 3. 不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c 和 a(b·c) 分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律. 应用新知 A B C D 应用新知 A B C D 应用新知 规律方法 (1)已知向量的模和夹角 利用 并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积 先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． 求数量积的两种情况及方法 应用新知 变式训练1：在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则·()=　　　　　.  如图，连接AG并延长，与BC交于点D，连接OG， ∵点G是底面△ABC的重心， ∴) =[()+()] =. 应用新知 变式训练1：在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则·()=　　　　　.  应用新知 l m n g 分析 应用新知 l m n g 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 M 能力提升 题型一 空间向量数量积的运算 例题 M 应用新知 方法总结 空间向量数量积运算的求解方法 利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. 利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. 利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. 步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式; 利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; 代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 能力提升 题型二 利用数量积求解距离，角度等几何元素 例题 能力提升 例题 题型二 利用数量积求解距离，角度等几何元素 能力提升 例题 题型二 利用数量积求解距离，角度等几何元素 应用新知 方法总结 1．求空间向量的模有两种方法 2．向量夹角与异面直线所成角 应用新知 方法总结 能力提升 例题 题型二 利用数量积求解距离，角度等几何元素 能力提升 例题 题型二 利用数量积求解距离，角度等几何元素 应用新知 规律方法 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直． 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第10页习题第8，10题。 拓展作业：证明空间向量数量积的运算律。  作业答案 8. 用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． 作业答案 作业答案 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 解：（1） ； 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，．求： （1） ；（2）的长（精确到0.1）． （2） ，所以． 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，．求： （1） ；（2）的长（精确到0.1）． ∴·() =()·() = =×22+×32+×12=. 答案 要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与 平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由， ，得到，那么就能解决此问题． 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线， 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． ，上取非零向量，，，． 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 因为直线与相交，所以向量，不平行． 所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 因为，，所以． 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． ，，求：（1）；（2）；（3）． 1． 如图，正方体的棱长为1，设， 解： （1）； （2）； （3）． 2. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G 分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解：四面体ABCD的所有棱长都等于a， ， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 任意两条棱所在直线的夹角为， 2. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G 分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． （1） ； （3）； （2）； 2. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G 分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． （4） ，则直线BD与直线BC所成角就是 直线EF与直线BC所成角，又， ； 2. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G 分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． （5） ，则直线AC与直线AB所成角就是 直线FG与直线BA所成角， ； 2. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G 分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． （6）取BD中点M，连接AM，CM， 则，， 平面ACM，又平面ACM，， ，， 2. 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G 分别是棱AB，AD，DC的中点．求：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 又，，， 可知， . 3.如图，在正三棱柱中， ( ). A.60° B.90° C.105° D.75° 解析：设，则．，， ． ．与所成的角为90°．故选：B 若，则与所成角的大小为 4. 如图，在平行六面体中，， ，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 解：（1）； （2）， ，所以，即的长为； 4. 如图，在平行六面体中，， ，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． （3）， ，即的长为. ， 一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其实质是转化为数量积求解；二是坐标法，即利用公式|a|＝. (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值： 求证：. 5.如图，空间四边形中，. 解析：∵，∴. ∵，∴. ∴（1） 同理:由得（2） 求证：. 5.如图，空间四边形中，. 由（1）－（2）得 ∴， ∴，∴，∴. 解：已知：平面，是平面的斜线，且， 平面于点，且．求证： 证明：如图，，且， ，， ，． 又，，， ，，． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 证明：设，，， 分别为，的中点， ， 又，分别是，的中点， ， ，∴四边形是平行四边形． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 又在和中， ，，， ，． ， 又，， ，，． 又，， ，∴四边形为矩形． $$