精品解析：山东省青岛市市南区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023~2024学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 2024年是农历甲辰年(龙年)，为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等．下列龙的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形一边长为4，一边长为10，则等腰三角形的周长为（　　） A. 14 B. 18 C. 24 D. 18或24 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. “三角形三条高所在直线的交点在该三角形内部”是必然事件 B. 天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 C. 进行5次掷一枚质地均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此正面朝上的概率是，正面朝下的概率是 D. “两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件 5. 我国以神话中的火神“祝融”来命名中国第一辆火星车，是一次现代科学与传统文化的跨时空融合．为应对极限温度环境，“祝融”号火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表，下列选项描述不正确的是（　　） 温度T（） 100 150 200 250 导热率 K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率 B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高 C. 当温度为时， 该材料导热率为 D. 在一定温度范围内，温度每升高，该材料导热率增加 6. 如图，在和中，，，添加一个条件后，你无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，垂直平分，平分，垂直平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为，将数据用科学记数法表示为_______． 12. 现有四条线段，每条线段被抽到的可能性都相同，从中任意抽取三条线段，则能够围成三角形的概率是______． 13. 若，则______． 14. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______． 15. 如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 __． 16. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为______． 三、作图题（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知 求作：线段，使得，且点到与的距离相等． 四、解答题（本大题满分68分，共有7道题） 18. （1）计算：； （2）计算：； （3）运用乘法公式计算：； （4）先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1． （1）在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点，，的对应点分别是点，，） （2）求的面积； （3）在直线上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置． 20. 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据． 已知：如图，平分，，，求的度数． 解：， ． 平分，， ______．（______） ． ．（______） ______（______） ． （______） 21. 某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 50 100 200 400 800 1000 落在“牛奶”区域的次数 30 61 119 242 603 落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.59 0.59 0.603 （1）完成上述表格，其中______，______； （2）请估计当很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______； （3）转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 22. 如图，在中，，为边上一点，过点作，且，连接交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 23. 、两地相距，甲乙两人都从地前往地，匀速行驶．其中甲骑摩托车出发1.5小时后，乙开车出发，沿同一路线行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）两人经过______小时相遇； （2）甲、乙两人的速度分别是______和______； （3）的值为______； （4）甲乙两人均在运动过程中，甲出发多少时间时，两人相距40千米？ 24. “数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性． （1）如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______． （2）如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出、、之间的等量关系：______． （3）根据（2）中的结论进行计算．已知：，，求的值． （4）如图3，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是2024，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积． 25. 【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 2024年是农历甲辰年(龙年)，为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等．下列龙的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 2. 下列计算，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的计算法则，同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握各计算法则是解题的关键． 【详解】A. ，故该项错误； B. ，故该项错误； C. ，故该项正确； D. 不是同类项，不能合并，故该项错误； 故选：C． 3. 已知等腰三角形一边长为4，一边长为10，则等腰三角形的周长为（　　） A. 14 B. 18 C. 24 D. 18或24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系的应用；因为底边和腰不明确，分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当4是腰时，三边分别为，，，,不符合三角形的三边关系， ②当10是腰时，三边分别为，，，符合三角形的三边关系， 所以周长． 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. “三角形三条高所在直线的交点在该三角形内部”是必然事件 B. 天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 C. 进行5次掷一枚质地均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此正面朝上的概率是，正面朝下的概率是 D. “两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的意义、三角形的角平分线、中线和高、随机事件、模拟试验，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、“三角形三条高所在直线的交点在该三角形内部”是随机事件，说法错误，不符合题意； B、天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的概率要降雨，说法错误，不符合题意； C、进行5次掷一枚质地均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此正面朝上的概率是，正面朝下的概率，说法错误，不符合题意； D、“两直线被第三条直线所截，同位角相等”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 我国以神话中的火神“祝融”来命名中国第一辆火星车，是一次现代科学与传统文化的跨时空融合．为应对极限温度环境，“祝融”号火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表，下列选项描述不正确的是（　　） 温度T（） 100 150 200 250 导热率 K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率 B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高 C. 当温度为时， 该材料导热率为 D. 在一定温度范围内，温度每升高，该材料导热率增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率，原说法正确，故该选项不符合题意； B．在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高，原说法正确，故该选项不符合题意； C．∵温度每增加，导热率增加，∴当温度为时， 该材料导热率为，原说法错误，故该选项符合题意； D．∵温度每增加，导热率增加，∴在一定温度范围内，温度每升高，该材料导热率增加，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在和中，，，添加一个条件后，你无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件及各个选项运用全等三角形的判定定理进行一一判别即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、若添加，因为证明，故本选项不符合题意． B、若添加，利用即可证明，故本选项不符合题意． C、若添加，不能利用证明，故本选项符合题意． D、若添加，易得，利用即可证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理． 7. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， 大正方形的对角线长为，面积为， 阴影部分的边长为， ， (该点取到阴影部分)， 故选：A． 8. 如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当点A、P、F三点共线时，周长最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点P， ∵， ∴， 当点A、P、F三点共线时，周长最小， ∵F为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10， 故选：B． 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，她坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与的水平距离为，当她荡到与的水平距离为的处，，此时小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和性质．通过证明，得出、，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、， ∴， ∵点B与地面距离为， ∴点E到地面的距离为， ∴， ∴点D到地面的距离为：， 小丽距离地面的高度为：． 故选：A． 10. 如图，在中，，垂直平分，平分，垂直平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，，最后根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ， 垂直平分，平分， ，， 在和中， ， ∴， ，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又垂直平分，， ∴， 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为，将数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 现有四条线段，每条线段被抽到的可能性都相同，从中任意抽取三条线段，则能够围成三角形的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式、三角形三边关系，熟练掌握概率公式、三角形三边关系是解答本题的关键．根据题意可得出所有等可能的结果以及能够围成三角形的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从中任意抽取三条线段，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，共4种， 其中能够围成三角形的结果有：，，，，，，共2种， 能够围成三角形的概率是． 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法是解题的关键． 由，可得，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15. 如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 是的中点，， ，， 又， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：12． 三、作图题（本题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知 求作：线段，使得，且点到与的距离相等． 【答案】 如图，线段即为所求；       【解析】 【分析】本题主要考查了作图复杂作图，平行线的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先作，可得的平行线，然后作的角平分线，与交于点，即为所求． 【详解】略 四、解答题（本大题满分68分，共有7道题） 18. （1）计算：； （2）计算：； （3）运用乘法公式计算：； （4）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）7（2）（3）1（4）；3 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值以及实数的运算、整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘法运算法则分别化简，进而得出答案； （2）直接利用单项式乘单项式运算法则、单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案； （3）利用平方差公式将原式变形，进而得出答案； （4）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ， 当，时， 原式． 19. 如图，的三个顶点分别在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形方格的边长均为1． （1）在图中画出关于直线成轴对称的图形；（点，，的对应点分别是点，，） （2）求的面积； （3）在直线上有一点，使得的值最小，请在图中标出点的位置． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3）如图所示. 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称，割补法求面积，利用轴对称求最短路径； （1）根据轴对称的性质找出的对应顶点的位置，顺次连接即可； （2）利用割补法计算即可； （3）根据轴对称求最短路径的方法可知，连接与的交点即为点的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 连接与交于点P，则， ∴， ∴点A、P、共线时，的值最小，即的值最小， ∴图中点即为所求． 20. 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据． 已知：如图，平分，，，求的度数． 解：， ． 平分，， ______．（______） ． ．（______） ______（______） ． （______） 【答案】；角平分线定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：，， ． 平分，， ，（角平分线定义） ， ，（同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）， ， （对顶角相等）． 故答案为：；角平分线定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等． 21. 某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 50 100 200 400 800 1000 落在“牛奶”区域的次数 30 61 119 242 603 落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.59 0.59 0.603 （1）完成上述表格，其中______，______； （2）请估计当很大时，频率将会在一个常数______附近摆动，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是______； （3）转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】（1）0.605；472 （2）0.6；0.6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“牛奶”的概率约是0.6； （3）可根据获得“面粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“面粉”区域的扇形的圆心角． 【小问1详解】 ；， 故答案为：0.605；472； 【小问2详解】 估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6， 故答案为：0.6；0.6； 【小问3详解】 ， 所以表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是． 22. 如图，在中，，为边上一点，过点作，且，连接交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 理由如下： 在和中 ， ∴是等腰三角形， （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，则，根据等腰三角形三线合一即可得到结论； （2）由平行线的性质得到，由等边对等角得到，由三角形内角和定理得到，再由等腰三角形三线合一即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等腰三角形， 23. 、两地相距，甲乙两人都从地前往地，匀速行驶．其中甲骑摩托车出发1.5小时后，乙开车出发，沿同一路线行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示． （1）两人经过______小时相遇； （2）甲、乙两人的速度分别是______和______； （3）的值为______； （4）甲乙两人均在运动过程中，甲出发多少时间时，两人相距40千米？ 【答案】（1）6 （2）60；80 （3）60 （4）4h或8h 【解析】 【分析】题主要考查一次函数的应用，根据图象得出有用信息是解题的关键． （1）甲乙两人的距离相距时，两人相遇； （2）根据图象和速度路程时间，即可求得； （3）表示乙到达地时，两人之间的距离，即甲走的路程； （4）分“在甲乙相遇之前，两人相距40千米和在甲乙相遇之后且乙未到达目的地”两种情况进行分类讨论即可． 【小问1详解】 由图象可知，两人经过6小时相遇． 故答案为：6． 【小问2详解】 甲的速度为， 乙的速度为 ． 故答案为：60；80． 【小问3详解】 ． 故答案为：60； 【小问4详解】 ①在甲乙相遇之前，两人相距40千米时，甲出发的时间为， ， 解得：； ②在甲乙相遇之后且乙未到达目的地，两人相距40千米时，甲出发的时间为， ， 解得：； 综上所述：甲乙两人均在运动过程中，甲出发或时，两人相距40千米． 24. “数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性． （1）如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______． （2）如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出、、之间的等量关系：______． （3）根据（2）中的结论进行计算．已知：，，求的值． （4）如图3，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是2024，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4）8100 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图1中各个部分面积之间的关系即可得出答案； （2）用代数式图2中各个部分面积，由各个部分面积之间的关系即可得出答案； （3）利用（2）的结论，代入计算即可； （4）设长方形的长，宽，由题意可知，，由进行计算即可． 【小问1详解】 解：图1中大正方形的边长为，因此面积为，组成大正方形的四个部分的面积和为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图2中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长为，宽为的长方形面积为， 所以有， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ，， ， ； 【小问4详解】 解：设长方形的长，宽，则，即， 由于长方形的面积是2024，即， 四边形和四边形都是正方形， 正方形的边长为， 正方形的面积 ． 25. 【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $