高一分班选拔考试卷01（自主招生强基考试）-【学情调研】2024年高一数学秋季开学考试（安徽专用）

2024年高一数学秋季开学考试（安徽专用） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的倍，结果提前小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接、、，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则为等边三角形；④若，则.其中正确的是（    ）      A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 4．如图，在四边形中，，，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 5．在凸四边形中，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 6．与实数最接近的整数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，在轴上方，平行于轴的直线与反比例函数和的图象分别交于、两点，连接，过点作交轴于点，若平行四边形的面积为12，则（    ）      A．12 B．-12 C．6 D．-6 8．在中，，点是平面内一动点，且，连，则长的最大值是（    ）. A．8 B．9 C．10 D．11 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．且 D．不等式的解集是 10．在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为（    ） A．   B．     C．   D．   11．方程的两根为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于 . 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为、、、，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，重复操作依次得到点，则点的坐标为 .    14．关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，且，则的值是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 16．（15分）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是弧上不与、重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点.    (1)求证：； (2)若，且点是弧的中点，求的长度； (3)在（2）的条件下，求阴影部分面积.（结果保留）. 17．（15分）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．    (1)求该反比例函数的关系式； (2)设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求的周长和的值； ②对于常数m，当时，求x轴上的点M的坐标，使得． 18．（17分）如图，等腰两腰分别交于点D，E，点A在外，点B，C在上（不与D，E重合），连结．已知，设． (1)若，求的度数； (2)若，求的值； (3)设的周长分别为，求证：． 19．（17分）（1）【问题发现】如图1，在中，为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转得到，连结，则线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）【探究证明】如图2，在和中，，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为，当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 试卷第18页，共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学秋季开学考试（安徽专用） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】化简式子，再由为正整数求出取值范围即可得解. 【详解】， 又为正整数， ， 则表示的值的点落在段②. 故选：B 2．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的倍，结果提前小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是．根据根据“提前小时完成任务”列出方程并解答． 【详解】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的倍，即， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 即甲打字员原计划完成此项工作的时间是小时； 故选：C． 3．如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接、、，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则为等边三角形；④若，则.其中正确的是（    ）      A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用相似得到①②正确，根据等腰直角三角形的性质得到④正确，当时不成立，③错误，得到答案. 【详解】对①：，且，则，同理， 故，，，即，正确； 对②：，且，则，同理， 故，，，即，正确； 对③：，，则为等边三角形， 若为等边三角形，则，， 则为等边三角形，当时不成立，错误； 对④：，则，正确； 故选：C. 4．如图，在四边形中，，，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建直角△AEB、直角△DFC、矩形AEFG，利用勾股定理求出AE、EB、DF、CF，然后求出AG，即可求得BC. 【详解】过点A作AE垂直于BC的延长线于点E，过点D作DF垂直于BC的延长线于点F，过点A作AG垂直于FD于点G，如图所示， ，，，，, ，，， ，， 易知四边形为矩形，则，， 在直角△AGD中，， 又，. 故选：B 5．在凸四边形中，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】如图，作的外接圆圆O，当且仅当三点共线时，取到最大值，结合即可求解. 【详解】如图，， 所以是直角三角形，， 作的外接圆，为圆心， 延长，取，则， 所以点在以为直径的圆上，故为等边三角形， 当且仅当三点共线时，取到最大值. 此时，为的中点， 所以，故，又， 所以. 故选：C 6．与实数最接近的整数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据无理数的估算可得，再比较与的大小得出答案. 【详解】因为，所以，即， ， 因为，所以， 所以， 即， 所以与实数最接近的整数是3. 故选：B. 7．如图，在轴上方，平行于轴的直线与反比例函数和的图象分别交于、两点，连接，过点作交轴于点，若平行四边形的面积为12，则（    ）      A．12 B．-12 C．6 D．-6 【答案】B 【分析】设，，，计算得到答案. 【详解】设，，则，即. 故选：B. 8．在中，，点是平面内一动点，且，连，则长的最大值是（    ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】延长到点，使，连，画出图形后找到的轨迹即点在以为直径的圆上（与在直线同侧），再利用圆上的点到点的距离最大值求出即可. 【详解】 要使长取到最大，则点与点位于直线两侧. 延长到点，使，连，则， 于是点在以为直径的圆上（与在直线同侧）， 设圆心为，则， 当三点共线时，长取到最大，最大值为， 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．且 D．不等式的解集是 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于不等式的解集是， 所以，B选项正确， 且，即，则， 所以，A选项正确， ，C选项错误， 不等式，即， 即，无解，D选项错误. 故选：AB 10．在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】BCD 【分析】根据二次函数的性质研究的图象，利用导数研究函数的性质及图象，从而得出答案． 【详解】由已知得，， 函数的图象为开口向上的抛物线，与轴在和处相交， 的图象是“型曲线”，当时有和两个极值点， 当时单调递增，且的图象与轴交于点． 对于A，由二次函数图象可知，但三次函数图象与轴的交点在轴上方，故A不正确； B项图中两条曲线符合时的情况； C项图中两条曲线符合时的情形； D项图中两条曲线符合时的情况． 故选：BCD. 11．方程的两根为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】构造二次函数，结合二次函数的性质即可判断 【详解】由题意，构造二次函数 则即为二次函数与轴的两个交点的横坐标 对称轴为，故C，D错误； 由于 故，故A，B正确 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于 . 【答案】18 【分析】利用数形结合，可知大圆O的圆心一定在三个圆心的等腰三角形底边高线上，各边线段容易由两圆相外切可得长度，从而利用勾股定理可以解得半径. 【详解】 如图，若圆B和圆C的半径为8，圆A的半径为9，则三角形是等腰三角形， 要使大圆O的纸片的半径最小，只需这个大圆O的纸片与三个小圆形纸片均内切， 由图可知圆心O在高线上，则设圆O的最小半径大小为， 由图形可知：， ，再利用勾股定理得： ，解得. 故答案为： 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为、、、，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，点绕点旋转180°得点，重复操作依次得到点，则点的坐标为 .    【答案】 【分析】计算各点坐标，得到周期为，则，得到答案. 【详解】根据题意：，，，，，， 周期为，则，故坐标为. 故答案为：. 14．关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，且，则的值是 . 【答案】 【分析】由题得到韦达定理，结合已知得，解方程，再检验即得解. 【详解】由题得，（） 所以，且， 所以. 所以， 整理得， 当时，不满足，所以舍去. 当时，. 满足（）. 故答案为：5 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； (3)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意得二次项系数不为0且判别式大于0，列出不等式即可求解. （2）由题意首先得到，，再结合均为整数，即可得的值，分类讨论解一元二次方程即可求解. （3）结合韦达定理以及判别式大于0，解一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解，则，解得且， 所以的范围是 . （2）依题意：（否则方程没有两个实数根），且有， ， ， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． （3），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，∴． 所以的取值范围为． 16．（15分）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，点是弧上不与、重合的任意一点，连接交于点，连接并延长交于点.    (1)求证：； (2)若，且点是弧的中点，求的长度； (3)在（2）的条件下，求阴影部分面积.（结果保留）. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，可得证； （2）过F作于H，应用等弧所对的圆周角相等得，则，求出，则，可求出DF的长； （3）根据阴影面积为扇形与三角形面积的差求解. 【详解】（1），， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， . （2）过作于，如图，    点是弧的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， 即， ， ； （3）阴影部分面积 . 17．（15分）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．    (1)求该反比例函数的关系式； (2)设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求的周长和的值； ②对于常数m，当时，求x轴上的点M的坐标，使得． 【答案】(1)； (2)①，；②，. 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析始中即可求得反比例函数的关系式； （2）①根据对称性求得点的坐标进而求得线段的长度即可求得△A′BC的周长和sin∠BA′C的值； ②根据题意当对常数m分类讨论，当时及时分别求得满足条件的点M的坐标即可. 【详解】（1）设反比例函数的关系式， ∵点在反比例函数的图象上， ∴, ∴反比例函数的关系式； （2）①过点C作于点D，    当时，， ∴点B的坐标为．． 当时，，解得， ∴点A的坐标为，， ∵点A关于y轴的对称点为A′， ， ∵轴，点， ∴OC=1，PC=2，BC=2， ∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1， ∴A′B=，A′C=， ∴△A′BC的周长为，    ∵ BC•A′O=A′B•CD，BC•A′O=A′B•CD， ∴2×3=×CD，即CD=， ∵CD⊥A′B， ∴∠BA′C=； ②当时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点Q，连接BQ，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H．    ∵CQ是⊙E的直径，∴∠QBC=90°． ∴， ∵∠BMC=，∠BMC=∠BQC， ∴点M在⊙E上，由点M在x轴上， ∴点M是⊙E与x轴的交点， ∵EG⊥BC，BG=GC=1，OG=2． ∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°， ∴四边形OGEH是矩形． ∴EH=OG=2，EG=OH． ∵，EH＞EC， ∴⊙E与x轴相离， ∴x轴上不存在点M，使得∠BMC=； ②当m=2时，EH=EC，⊙E与x轴相切， 当切点在x轴的正半轴上时，    ∴点M与点H重合， ∵EG⊥OG，GC=1，EC=m， ∴， ∴ ， ∴点M的坐标为； 当切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为． 综上所述：当时，满足要求的点M不存在；当时，满足要求的点M的坐标为和. 18．（17分）如图，等腰两腰分别交于点D，E，点A在外，点B，C在上（不与D，E重合），连结．已知，设． (1)若，求的度数； (2)若，求的值； (3)设的周长分别为，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）通过三角形的角度换算即可； （2）通过，，即可得面积的比值； （3）通过得，通过得，故，即可求取值范围. 【详解】（1）， ， ， ， 的度数. （2）， ， ， ， . 设，则， . 四边形是圆内接四边形， , ， ， , , ， , . （3）由（2）可得， ， ， ， 由（2）可得， ， ， ． 19．（17分）（1）【问题发现】如图1，在中，为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转得到，连结，则线段与的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）【探究证明】如图2，在和中，，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为，当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）;（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【分析】（1）借助全等三角形的的判定定理可得，再利用其性质定理推导即可得； （2）作出相应辅助线，借助全等三角形的的判定定理可得，再利用其性质定理推导即可得； （3）作出相应辅助线，借助相似三角形的的性质定理可得，再借助相似三角形的判定定理可得，从而得到，再利用角度之间的关系进行转换，结合勾股定理计算即可得； 【详解】（1）在中，， ， ，即， 在和中，，， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接，        ∵在和中，， ， ， ； （3）如图3，过A作，            由题意可知， ，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 试卷第18页，共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$