专题1.5 一元二次函数、方程与不等式（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题1.5 一元二次函数、方程与不等式 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·三模）已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 5．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 9．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（20-21高二下·浙江嘉兴·期末）设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高一上·湖北武汉·阶段练习）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 13．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 14．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 15．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 16．（19-20高一·浙江·期末）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．3 D． 17．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数，若对任意，则（    ） A．当时，恒成立 B．当时，恒成立 C．使得成立 D．对任意，，均有恒成立 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 18．（2024·辽宁丹东·一模）已知集合，，若，则的取值范围是 ． 19．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 20．（21-22高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 . 21．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知函数是定义在R上的减函数，若对恒成立，则实数a的取值范围为 ． 22．（2020·浙江·模拟预测）已知不等式对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围为 . 23．（2019·浙江·模拟预测）关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 . 24．（19-20高二上·河南焦作·期末）已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是 ． 25．（18-19高三下·江苏淮安·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则的最大值是 . 1．（2018·全国·高考真题）已知集合，则 A． B． C． D． 2．（2019·全国·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 3．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2015·安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 8．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 9．（2014·江苏·高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 10．（2012·福建·高考真题）已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 一元二次函数、方程与不等式 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、两种情况讨论，确定集合，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，符合， 当时，由，解得， 所以， 因为，所以，解得. 综上可得的取值范围为. 故选：D 2．（2024·河南·三模）已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和等比数列的通项公式可得，解之即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 3．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得. 【详解】由可得或，则， 又，故. 故选：B. 4．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可. 【详解】，则，且，解得， 则集合， 则 故选：B. 5．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，求得的单调区间，作出的图象，分类讨论求得的解集，结合图象可得的取值范围为. 【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，， 所以的递增区间为，递减区间为和， 作出图象如图所示： 当时，由，可得， 由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 由图象可知，不存在整数点满足条件， 当时，由，可得， 又， ，， 由的递增区间为，所以， 所以要使有三个整数解，则， 所以关于的不等式有且仅有三个整数解， 则的取值范围为. 故选：A. 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指数函数的单调性解集合得：，再利用求根式函数定义域解集合得：，最后利用并集求出结果即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A. 7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 8．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，，得，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，， 所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项. 故选：A. 9．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 11．（20-21高二下·浙江嘉兴·期末）设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知时的开口向上且值域，则问题转化为在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的取值范围. 【详解】∵，即开口向上且， 由恒成立，即在上恒成立， ∴当时，即，由二次函数的性质，显然成立； 当时，有两个零点，则只需满足，解得，故； 综上，的取值范围是. 故选：B 12．（21-22高一上·湖北武汉·阶段练习）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 13．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】 对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 14．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 15．（2021·福建宁德·模拟预测）已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可． 【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R， 则，解得 又，， 故选：CD． 16．（19-20高一·浙江·期末）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】AB 【解析】首先由条件可知命题的否定是真命题，参变分离后，转化为最值问题求的取值范围. 【详解】由条件可知，是真命题， 即，即， 设 等号成立的条件是，所以的最小值是， 即，满足条件的有AB. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是写出特称命题的否定，第二个关键是参变分离，转化为函数的最值求参数的取值范围. 17．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数，若对任意，则（    ） A．当时，恒成立 B．当时，恒成立 C．使得成立 D．对任意，，均有恒成立 【答案】AD 【分析】二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数的对称轴为. 因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线， 对于A选项，当时，，关于直线对称， 所以恒成立，所以A选项正确； 对于B选项，当，若，则不等式可化为， 所以； 若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误； 对于C选项，因为，所以， 所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误； 对于D选项，， 所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确， 故选：AD. 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 18．（2024·辽宁丹东·一模）已知集合，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，则有，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则不等式无解， 所以，解得. 故答案为：. 19．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 20．（21-22高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得原命题的否定，再根据二次函数在区间上恒成立，列出不等式，求解即可. 【详解】原命题的否定为：“任意的，使得”为真命题， 令，则要满足题意，只需且， 即且，解得，即实数的取值范围是：. 故答案为：. 21．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知函数是定义在R上的减函数，若对恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由恒成立结合函数的单调性可得恒成立，再根据三个二次的关系可得，由此可得实数a的取值范围. 【详解】由题意易知恒成立，即恒成立，所以，得． 故答案为：. 22．（2020·浙江·模拟预测）已知不等式对任意的实数x均成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】即恒成立，设，则，令，即在时恒成立，即，根据二次函数在闭区间上的最值的特点可得，的最大值一定为或，所以只需，从而得出答案. 【详解】由可得. 令，则，令，， 即在时恒成立，即. 由开口向上的二次函数的图象和性质知，当时，的最大值一定为或. 所以，解得或. 故答案为： 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题、二次函数的图象和性质、三角函数的有界性、换元法的应用，考查化归与转化思想及数形结合思想,属于中档题. 23．（2019·浙江·模拟预测）关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，则由得，则关于的不等式对任意恒成立等价于关于的不等式对任意恒成立.分别讨论当，当和当的情况下一元二次不等式的恒成立问题，依次求出t的范围最后再求并集即可. 【详解】设，则由得， 则关于的不等式对任意恒成立等价于关于的不等式对任意恒成立. 当时，不等式为，即①， 令，要使①对任意恒成立， 则有解得； 当时，不等式为，即②， 令，对称轴，且开口向上， 则在上单调递增，要使②对任意恒成立， 则有，解得，所以； 当时，设， 易得当时，取得最小值， 则由不等式对任意恒成立得， 所以. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 【点晴】本题考查不等式恒成立问题、二次函数的性质.含绝对值的不等式恒成立问题的常用解法：（1）对参数的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号；（2）将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解. 24．（19-20高二上·河南焦作·期末）已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可. 【详解】解：且，即解得，即 因为在区间上恒成立， 解得即 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题. 25．（18-19高三下·江苏淮安·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】设，则，，计算得到，再验证等号成立得到答案. 【详解】设，则，， 即恒成立，设， 则，解得. 现在验证，存在使等号成立，，则， 此时，对称轴为，故. 满足条件，故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 1．（2018·全国·高考真题）已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式得， 所以， 所以可以求得，故选B. 点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 2．（2019·全国·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 【答案】A 【分析】先求出集合A，再求出交集． 【详解】由题意得，，则．故选A． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 3．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系. 【详解】由，可得，即； 由，可得或，即； ∴是的真子集， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 4．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 5．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 6．（2015·安徽·高考真题）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据图象，由确定，求导后，确定有两个不相等的正实数根，结合函数单调性，韦达定理即可求出答案. 【详解】由图象可知， 有两个不相等的正实数根，且在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 综上：，，，. 故选：A 7．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 8．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 9．（2014·江苏·高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的都有成立， ，解得， 所以实数的取值范围为． 【考点】二次函数的性质． 10．（2012·福建·高考真题）已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】（0,8） 【详解】因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立． ∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8， 故答案为（0，8） 考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$