专题1.4 基本不等式及其应用（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题1.4 基本不等式及其应用 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·模拟预测）设,,且,则下列结论正确的个数为（   ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北唐山·二模）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁·三模）已知正实数a，b，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 11．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 13．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 14．（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 15．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·湖北武汉·二模）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C． D．的最小值为2 19．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 20．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 21．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ． 22．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 . 23．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 24．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 25．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 2．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 7．（2015·福建·高考真题）若直线过点，则的最小值等于 A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2014·福建·高考真题）要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 9．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2020·山东·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 11．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 12．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 13．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ． 14．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 . 15．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 基本不等式及其应用 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出运用交集定义求出即可. 【详解】，，则 故选:C. 2．（2024·四川南充·模拟预测）设,,且,则下列结论正确的个数为（   ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①②直接使用基本不等式,结合对数指数运算,即可判断；③构造函数,利用导数研究其单调性和值域,将转化为,即可判断；④构造函数,利用导数研究其最大值,结合适度放缩,即可判断. 【详解】因为,故可得,当且仅当取得等号； ①，错误； ②,当且仅当时取得等号，正确； ③令,, 故在单调递增,,即当,； ,又,即,解得,故； 故,也即，正确； ④令,则, 故当时,,单调递增；当时,,单调递减； 故的最大值为；由C可知,,则，正确； 故选：C. 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 4．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 5．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以，可得： ， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值8. 故选：D. 6．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 7．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 8．（2024·河北唐山·二模）已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由长方体的体积求出，再由基本不等式可求出，再由球的表面积公式计算得到答案. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为， 所以长方体的体积为，解得：， 设长方体的外接球的半径为， 所以，即， 即，当且仅当时取等， 所以， 所以其外接球表面积的最小值为. 故选：C. 9．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 10．（2024·辽宁·三模）已知正实数a，b，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可. 【详解】取，满足，但， 故“”推不出“”， 因为，当且仅当“”时取等， 当时，， 所以，即，因为， 所以，所以能推出. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 11．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，根据的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决. 【详解】因为，所以， 对于A项：， 当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误； 对于B项：因为，所以， ，当时取得等号，此时，故B错误； 对于C项：因为，所以，所以， 于是等价于，等价于， 构造函数，， 所以在上单调递增； 所以恒成立，所以不等式成立，故C正确； 对于D项：根据B选项的分析，， 则，即， 当时取得等号，此时，故D错误. 故选：C 12．（2024·安徽·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据条件，将所求式子变形利用基本不等式求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即，即时等号成立. 故选：A. 13．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义与对数运算可得，结合奇函数的定义域可得，在利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】若为奇函数，则， 所以， 则，整理得， 又因为，奇函数的定义域满足， 即，结合可得，即， 故 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值. 故选：B. 14．（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用基本不等式及取等号的条件，可得，，即可求出结果. 【详解】由题意可得，平方得， 当且仅当，即，时取得等号， 故取得最小值时，. 故选：A. 15．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】由中点和三等分点得到，结合，，得到， 由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值. 【详解】因为为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，则， 而，，三点共线，所以，即， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：B． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数，利用导数可证得，由此即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，在这里，所以严格来说有，故B正确； 对于C，，在这里，所以严格来说有，故C正确； 对于D，，而， 定义，则， 从而单调递增，所以， 所以，故D正确. 故选：ABCD. 18．（2024·湖北武汉·二模）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为2 C． D．的最小值为2 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，A正确; 对于B，或，因为不知道和的大小关系，B错误； 对于C，若，则，而 ，但是与的大小不能确定，故C错误； 对于D，，当且仅当，即取等号，D正确. 故选：AD 19．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D. 【详解】对于A，由及，得，所以，A正确． 对于B，由及，得，所以．同理可得． 又，所以，所以，B正确． 对于C，由及，得，所以，得， 所以，得，C错误． 对于D，由，得．由，得． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ABD． 20．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD． 【详解】∵，∴ 即，∴，A正确； 由基本不等式知：，当且仅当时等号成立 又，∴ ∴即,当且仅当时等号成立； 已知 ,故，B正确; 令，，C错误； 令，，分母为零无意义，D错误． 故选：AB． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 21．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用“1”的变形，结合基本不等式即可求解. 【详解】， 当，即，联立，得到时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9 22．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】由题，所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离和配凑. 23．（2024·上海徐汇·二模）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 24．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】令，，从而可得，，再根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】令，，则，，且，， 所以，． 又，所以 ， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故答案为：12 25．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 2．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 3．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 4．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误， 故选：B. 6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由得,,, 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确. 如图所示,易知, 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误. 故选C. 【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 7．（2015·福建·高考真题）若直线过点，则的最小值等于 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C． 考点：基本不等式. 8．（2014·福建·高考真题）要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【答案】C 【详解】设长方体底面边长分别为，则， 所以容器总造价为， 由基本不等式得，， 当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C. 考点：函数的应用，基本不等式的应用. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 9．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 10．（2020·山东·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 11．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 13．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 14．（2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为 . 【答案】. 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 15．（2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$