1.5 三角形全等的判定（第3课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.5 三角形全等的判定 第三课时 利用 “ASA”定理证明三角形全等 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．探索并正确理解三角形全等的判定方法 “ASA” （角边角） ．（重点） 2．运用 “ASA”（角边角）定理判定两个三角 形全等．（难点） 一张用于教学的三角形硬纸板不小心被莉莉撕坏了，形状如下图所示，你能否制作一张与原来同样大小的新教具？且保持与原三角形一模一样吗？ 情景导入 问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 这些条件能判定两个三角形全等吗？ 1.三角形全等的判定（“角边角”定理） 新知探究 我们先拿出纸笔任意的画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？ 结论：将两个三角形放在一起 能完全重合． ∴这两个三角形全等． 画法： （1） 画A′B′=AB； （2）在A′B′的同旁画 ∠DA′B′ =∠A，∠EB′A′ =∠B，A′D，B′E相交于点C′ ． A B C A′ D B′ C′ E 活动探究 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∠A＝∠A′, AB＝A′B′， ∠B＝∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′. ∵ 两个三角形全等的判定3： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA”）． 概念归纳 课本例4 已知：如图右图，∠1=∠2，∠C=∠E，AC=AE. 求证：△ABC≌△ADE. 证明∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， 即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE 中， ∠BAC=∠DAE， AC=AE（已知）， ∠C=∠E（已知）， ∴△ABC ≌△ADE（ASA）. 课本例5 已知：如右图所示，点 B，F，E，C在同一条直线上，AB//CD， 且AB=CD，∠A=∠D. 求证：AE=DF. 分析 要证明AE=DF，可以通过证明△ABE≌△DCF来实现. 证明：AB//CD（已知）， ∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）. 在△ABE 和△DCF 中， ∵∠A=∠D（已知）， AB=DC（已知），F ∠B=∠C， ∴△ABE≌△DCF（ASA）. ∴AE=DF（全等三角形的对应边相等）. 例1.如图，点A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF. 求证：DE＝CF. 典例剖析 证明：∵AC＝BD， ∴AC＋CD＝BD＋CD， ∴AD＝BC.在△AED和△BFC中， ∴△AED≌△BFC(ASA)，∴DE＝CF. AD=BC， ∠DAB=∠CBA， AB=BA 证明：在△ABE 和△ACD 中， ∴　△ABE ≌△ACD（ASA）． ∴　AE =AD． ∠B =∠C， AB = AC ， ∠A =∠A（公共角） ， 1.如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上，AB=AC，∠B =∠C．求证 AD =AE． 练一练 如图，小明、小强一起踢球，不小心把一 块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？ 3 2 1 “角边角”定理的应用 新知探究 答：根据角边角定理带第一块就可以买到一块完全一样的玻璃了 例2.如图，为测量河宽OQ，小军站在南岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后后退到B处，这时他的视点恰好能落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离.你能帮忙算出河宽OQ吗？请说明理由. 解：根据题意知AB=PO，∠A=∠OPQ. ∵AB⊥BO，PO ⊥BQ，∠B = ∠POQ=90° 在ΔΑΒΟ 和ΔΡOQ中， ∠ A= ∠ OPQ， AB = ΡQ， ∠B=∠POQ， ∴ΔΑΒΟ≌ΔΡΟQ（ASA）. ∴BO=OQ，即河宽∠OQ为所测量的BO的长度. 典例剖析 例3. (2023山东临沂期末)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.求证:△CDF≌△BDE.   分析     利用中点性质可得BD=CD,由平行线性质可得∠DBE=∠DCF,再 由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF,即可证得结论. 典例剖析   证明     ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD, ∵BE∥CF, ∴∠DBE=∠DCF, 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(ASA). 2.已知，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，试说明AD=AE。 解 ：在△ADC和△AEB中 ∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） A E C D B O ∴△ACD≌△ABE（ASA） 练一练 16 3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边. A B C D 练一练 C 随堂练 A 随堂练 3 随堂练 随堂练 D 分层练习-基础 2. 如图,已知∠ACD=∠BDC,若用“ASA”证明△ACD≌△BDC还需添加的条件为　 (　 　) A.AD=BC　　　　 　B.AC=AD C.∠ADC=∠BCD　　　　　D.∠A=∠ADC 分层练习-基础 【解析】添加∠ADC=∠BCD,在△ACD和△BDC中, ∴△ACD≌△BDC(ASA),故选C. C 3.如图,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACF,AB=CE,则与BC相等的线段是 (　　) A.AC　　　B.AF　　　C.CF　　　D.EF 分层练习-基础 ∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠ACF+∠ECF,∠B=∠E=∠ACF, ∴∠BAC=∠ECF. 在△ABC和△CEF中, ∴△ABC≌△CEF(ASA),∴BC=EF.故选D. D 分层练习-巩固 4.(2021湖南衡阳中考)如图,点A、B、D、E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF. 证明　∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE, ∵BC∥EF,∴∠CBA=∠FED, 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(ASA). 5.如图，点D，A，C在一条直线上，AB//CE，AB=CD，∠B=∠D， 求证：ΔΑBC△CDE. 证明：∵AB//CE，∴∠BAC=∠DCE. 在△ABC和△CDE中， ∠B=∠D， AB=CD， ∠BAC= ∠DCE， ∴ΔΑBC≌ΔCDE（ASA）. 分层练习-基础 6.如图，∠ADB= ∠CDB，∠ABD=∠CBD，则直接判定△ABD≌△CBD的依据是（ ） A.“SSS” B."SAS” C."SSA” D."ASA" D 分层练习-基础 分层练习-基础 7.如图，AC，BD相交于点O，AO=DO，AB⊥AC，CD⊥BD，则AB与CD 的数量关系是（ ） A.一定相等 B.可能相等也可能不相等 C.一定不相等 D.增加条件后，它们相等 A 8.[南京中考]如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B= ∠C，求证：BD=CE. 证 明：在 △ABE和 △ACD 中， ∠A= ∠A， AB=AC， ∠B=∠C， ∴ΑΒΕ≌ΔΑCD（ASA）∴AΕ=AD. ∴AB-AD=AC-AE，即 BD=CE. 分层练习-巩固 9.元元沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语CD，其具体信息汇集如下：如图，AB//OH//CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥ CD，垂足为D，AB= 18 m. 请根据上述信息求标语CD的长度. 分层练习-巩固 解：∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO. ∵OD⊥CD，∴∠CDO= 90°， ∴∠ΑΒO=90°，∴OΒΙAΒ. ∵相邻的两平行线间的距离相等，∴OD=OB. 在△ABO和△CDO中， ∠ABO=∠CDO OB=OD， ∠AOB= ∠COD， ∴ΔΑBO≌ΔCDO（ASA）， ∴AB=CD=18 m，即标语CD的长度为18 m. 分层练习-巩固 10.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现. A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 分层练习-巩固 解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ， 所以AB=A'B'，∠ABD=∠A'B'D'. 因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'. 在△ABD和△A'B'D'中， ∠ADB=∠A'D'B'，∠ABD=∠A'B'D'，AB=AB， 所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'. 发现：全等三角形对应边上的高也相等. A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 夹边 ∠B＝∠E或AB//DE 课堂反馈 判定条件 全等三角形的定义 SSS SAS ASA 边和角分别对应相等,而不是分别相等。 两个三角形全等 特别注意： 关键： 找符合要求的条件 课堂小结 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件，不能判定这两个三角形全等的是(　　) A．AC＝DF　　　　 B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F 2．两个三角形如果具备下列条件：①三条边对应相等；②两条边及其夹角对应相等；③两条边和其中一边的对角对应相等；④两个角和一条边对应相等；⑤三个角对应相等．那么一定能判定两个三角形全等的是(　　) A．①②④ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 3．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝8 cm，则BD＝ cm. 4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD. 证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD，在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，∴△ABC≌△ABD(ASA)，∴AC＝AD. 1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(　　) A．SSS　　 B．SAS C．AAS　　 D．ASA 11．在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D. (1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD＝AC＋BD； (2)当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 解：(1)在图①中，∵在△AOB中，∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，在△ACO和△ODB中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠ACO＝∠ODB,∠OAC＝∠BOD, AO＝OB))，∴△ACO≌△ODB(AAS)，∴OC＝BD，AC＝OD，∴CD＝AC＋BD； (2)CD＝BD－AC，如图②，在△AOB中，∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，在△ACO和△ODB中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠ACO＝∠ODB,∠OAC＝∠BOD,AO＝OB))，∴△ACO≌△ODB(AAS)，∴OC＝BD，AC＝OD，∴CD＝OC－OD＝BD－AC，即CD＝BD－AC. 用“ASA”判定两个三角形全等 有两角和它们的 对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)． 1. 如图，欲证△ABC≌△DFE，已知∠A＝∠D，AB＝DE，根据“ASA”还需要的条件是 . $$