1.4 二次函数的应用（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 在日常生活和生产实际中，二次函数的性质有着许多应用. 在商品买卖交易过程中，追求利润最大化是商家的永恒的追求. 若你是商场经理，该如何定价才能使你们商场获得最大的利润呢？ 情景导入 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日生产的产品全部售出.已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),每只售价为P(元),且R,P与x的表达式分别为R=500+30x,P=170-2x. (1)当日产量为多少时,每日获利为1750元? (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少? 情景导入 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润是 元. 18000 6000 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 1.利润问题中的数量关系 新知探究 6 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如价格调整，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元， 2.如何定价利润最大 新知探究 如何定价才能使利润最大？ 7 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即y=-10x2+100x+6000. 6000 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 9 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+20x y=(20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)， 即：y=-20x2+100x+6000. 6000 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 ③涨价多少元时利润最大，是多少？ 当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6125元. y=-20x2+100x+6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应如何定价能使利润最大了吗? ★求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本” 或“总利润=单件利润×销售量”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 概念归纳 12 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 选择什么量设未知数呢？ 销售利润=单件利润×销售量 遇到有关销售利润的问题，常用相等关系是？ 典例剖析 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? x 单件利润为：(x－10)元 降价后的销售量为： 件 y =－5000(x－12)2+20000 故厂家批发单价为12元时，获利最多，为20000元. 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 每件T恤衫降价a元 y 单件利润为：(13－a－10)元 降价后的销售量为： 件 =－5000(a－1)2+20000 故厂家批发单价为12元时，获利最多，为20000元. 13－1=12（元）， 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 你还有其他设未知量的方法吗？ 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件 10 元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件 ，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意多经销 500 件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？ 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日生产的产品全部售出.已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),每只售价为P(元),且R,P与x的表达式分别为R=500+30x,P=170-2x. (1)当日产量为多少时,每日获利为1750元? (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少? 我们回到最初的问题，现在你能做出解答了吗？ 解:(1)依题意得 (170-2x)x-(500+30x)=1750, 解得x1=45(不合题意,舍去),x2=25. 即当日产量为25只时,每日获利为1750元. (2)设y=(170-2x)x-(500+30x)=-2x2+140x-500=-2(x-35)2+1950. 即当日产量为35只时,可获得最大利润1950元. 1. 天天商店购进一批单价为8元的笔记本，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件.经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 练一练 解：设销售价定为x元，每天所获销售利润为y元， 则y=（x-8）[100-10(x-10)]=-10x²+280x-1600 =-10（x-14）²+360. ∵x≥10，且100-10（x-10）＞0， ∴10≤x＜20. ∴当x=14时，y最大=360. 因此，将销售价定为14元时，才能使每天所获销售利润最大，最大利润是360元. 2. 在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值.例如，在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位:cm)是: 6.5 5.9 6.0 6.7 4.5 那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数 y=(x－6.5)2+(x－5.9) 2+(x－6.0) 2 +(x－6.7) 2+(x－4.5) 2 为最小值的x值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度. 练一练 解：整理，的y=5x²-59.2x+178.2， 因此，大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm. 当x= - =5.92时，y有最小值. D A 随堂练 C 10 60500 随堂练 70 随堂练 单件利润 销售量 销售利润 函数关系式 自变量 分层练习-基础 A C 分层练习-基础 25 (60＋x) 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 销售单价 单件成本 销售总额 总成本 单件利润 销售量 D 课堂反馈 B 课堂反馈 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 确定自变量的 取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 1．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y与x的函数关系是(　 　) A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2 C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1＋x)2 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价每个100元出售时，每天能卖出20个．若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价(　 　) A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 3．某旅社有100张床位．当每床每晚收10元时，床位可全部租出；当每床每晚收费提高2元时，将少租出10张床．若以每次提高2元这种方法变化下去，为投资少而获利大，每床每晚应提高(　 　) A．4或6元 B．4元 C．6元 D．8元 4．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数y＝　 　.当果园里增种　 　棵橘子树时，橘子的总个数最多，最多为　 　个． －5x2＋100x＋60000 5．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，销售单价定为　 　元时，每月获得的利润最多． 6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了获得最大利润，每个售价应定为多少元？ 解：设售价在90元的基础上上涨x元，总利润为y元，由题意，得y＝(10＋x)(400－20x)＝－20(x－5)2＋4500.∴当x＝5时，y有最大值，最大值为4500.此时90＋x＝95.即售价为95元时可获得最大利润． 知识点：利用二次函数求利润的取值问题 求解最大利润问题的基本步骤： (1)引入自变量，用含自变的代数式分别表示 及 ； (2)建立关于 的函数表达式； (3)根据 求出最大值及取得最大值时的 的值． 7．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(　 　) A．5元 B．10元 C．0元 D．36元 8．某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y＝－x2＋8x＋9，且售价x的范围是1≤x≤3，则最大利润是(　 　) A．16元 B．21元 C．24元 D．25元 9．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为　 　元． 10．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图，则这种工艺品的销售量为　 　件(用含x的代数式表示)． 11．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x(元/千克) 50 60 70 销售量y(千克) 100 80 60 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)设y＝kx＋b，把(50,100)、(60,80)代入可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100,60k＋b＝80，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－2,b＝200))，∴y＝－2x＋200；　 (2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000；　 (3)W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∵a＝－2＜0，且40≤x≤80，当40≤x≤70时，w随x的增大而增大；当70≤x≤80时，w随x的增大而减小，∴当x＝70时，w取最大值，最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元． 12．(扬州中考)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示． INCLUDEPICTURE"T473.TIF" 　 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 解：(1)由题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(40k＋b＝300,55k＋b＝150))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－10,b＝700))，故y与x之间的函数关系式为：y＝－10x＋700；　 (2)由题意，得－10x＋700≥240，解得x≤46，设利润为w＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700)，w＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000，∵－10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w大＝－10(46－50)2＋4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；　 (3)w－150＝－10x2＋1000x－21000－150＝3600，－10(x－50)2＝－250，x－50＝±5，x1＝55，x2＝45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 商品利润的最值问题 1．单件利润＝　 　－　 　. 2．总利润＝　 　－　 　＝　 　×　 　. 1.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为(　 　) A．30万元　　　　　　　　　B．40万元　　　　　　　　　 C．45万元　　　　　　　　　D．46万元 易错点：根据题意列出函数关系式容易出错． 2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系式为(　 　) A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350 C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7350 $$