1.3 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 注意：用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或”写成“且”， 因为降次后两个一元一次方程并没有同时成立，只要其中之一 成立了就可以了. 旧知回顾 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 用因式分解法解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 4x2－11x=0. 解： 由题可得 x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3 解： 分解因式，得 故 x=0 或 x1=0, 旧知回顾 各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 旧知回顾 选择适当的方法解下列方程： 2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7； 解： 解：化简，得 4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4 旧知回顾 情景导入 如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ 3 0 －3 －2 3 2 －2 －1 2 1 实践与探索 两根的积与 常数项相等，两根的和与 一次项系数 互为相反数． （1）从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0 (x1, x2为已知数) 的两根为x1和x2, 将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 我们发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. （2）通过上表，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？ 这个结论是正确的吗？ 验证一下不就知道了！ 我们试着来验证第一个结论： 正确！ 我们试着来验证第二个结论： 正确！ 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1、 x2， 那么 ， 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0 概念归纳 点拨：利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况． 例1.请你利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： 典例剖析 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. (1) x2 + 7x + 6 = 0; (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 1.不解方程，求下列方程两根的和与积. x2-3x=15； 5x2-1=4x2+x 解：x1+x2=3 x1x2=-15 解：化简得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-1 练一练 2.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积. (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15 练一练 3. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值： （1） ；（2） . 解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根. 则x1+x2=5，x1x2=-7. 练一练 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 为x1，x2，则有 Δ≥0且 x1x2＞0 Δ≥0且 x1x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值大 两根异号且负根的绝对值大 概念归纳 一元二次方程的根与系数的关系的应用 新知探究 回到最初的问题： 如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 设方程为x2+bx+c=0 ∵方程的两根之和为1，两根之积为-2 x1+x2 =-b， x1x2 = c ∴-b=1， c=-2 ∴b=-1， c=-2 ∴方程为： x2 – x – 2=0 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 例2.小明在一本课外读物中读到如下一段文字： 一元二次方程x2－ x ＝0的两根是 和 ． 课本例题 两个根的和为： + 两个根的积为：（ ）（ ）=1 ∴方程中一次项系数为-4，常数项是1. 例3.关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值． 点拨： (1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； (2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 典例剖析 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.解得m≤ ； (2)由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1. ∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0， ∴2×(－3)＋m－1＋10＝0. ∴m＝－3. 例4. 若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数， 则k＝_____． 点拨：应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式． 解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2. 由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1. 当k＝1时，Δ＜0； 当k＝－1时，Δ＞0. 综上所述，k＝－1. －1 典例剖析 1.已知一元二次方程x2－6x＋q＝0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值． 分析：利用两根之和与积求解 解： 设这个方程的另一个根为m，则 ∵m＋2＝6，2m＝q. ∴ m＝4， q＝8. 当q ＝8时，Δ=(-6)2-4×8=4＞0， ∴另一个根为4，q的值为8. 练一练 2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以 x1 · x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 所以k=-7. 答：方程的另一个根是 ，k=-7. 练一练 3.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知， 练一练 4.设x1、x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 + x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 ，即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系，得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 练一练 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ★总结常见的求值: 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 概念归纳 30 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0. 重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 概念归纳 C A 随堂练 D 5 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 8.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和． 解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为 (x+2)， 依题意，得 x(x+2)=168，解得 x1=12，x2=-14， ∴x+2=14或 x+2=-12， ∴x+(x+2)=±26． 答：这两个偶数的和为±26． 随堂练 9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个根,+=15,求m的值 解:∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个根, ∴x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2+1, ∵+=15,即(x1+x2)2-2x1x2=15, ∴[-(2m+1)]2-2(m2+1)=15, 即m2+2m-8=0, ∴m1=-4,m2=2. ∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0有两个根, ∴Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4(m2+1)=4m-3≥0, ∴m≥.∴m=2. 随堂练 B 0 C 分层练习-基础 C －5 －4 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 －p q B 课堂反馈 D －1 课堂反馈 根与系数的关 系（韦达定理） 内 容 如果方程x2+px+q=0的两根是x1、x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 常见变形 课堂小结 1．(泰州中考)方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2等于( ) A．－6　　 B．6　　 　 C．－3　 　 D．3 2．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( ) A．－2 B．2 C．4 D．－3 3．已知x1、x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1·x2＝1，则a、b的值分别为( ) A．a＝－3，b＝1 B．a＝3，b＝1 C．a＝－eq \f(3,2)，b＝－1 D．a＝－eq \f(3,2)，b＝1 4．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是　 　． 5．若一元二次方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两个实数根分别是3，b，则a＋b＝ ． m＞eq \f(1,2) 6．已知α、β为一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个实数根，求下列代数式的值． (1)α2＋β2； (2)eq \f(β,α)＋eq \f(α,β)； (3)(α－2)(β－2)． 解：∵α、β为一元二次方程2x2－3x＋1＝0的两个实数根，∴α＋β＝eq \f(3,2)，αβ＝－eq \f(1,2)． (1)α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝eq \f(13,4)； (2)eq \f(β,α)＋eq \f(α,β)＝eq \f(α2＋β2,αβ)＝－eq \f(13,2)； (3)(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝－eq \f(1,2)－3＋4＝eq \f(1,2)． 7．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为x1、x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值． 解：(1)∵方程有实数根，Δ＝(－4)2－4m＝16－4m≥0，∴m≤4；　 (2)∵x1＋x2＝4，∴5x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋3x1＝2×4＋3x1＝2，∴x1＝－2．把x1＝－2代入x2－4x＋m＝0，得(－2)2－4×(－2)＋m＝0，解得m＝－12． 1．(凉山中考)一元二次方程3x2－1＝2x＋5两实根的和与积分别是( ) A.eq \f(3,2)，－2 　　　　　　 B.eq \f(2,3)，－2 C．－eq \f(2,3)，2 D．－eq \f(3,2)，2 2．若x1、x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1x2的值是　 　. 3．设x1、x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)等于( ) A．6 B．8 C．10 D．12 4．已知m、n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( ) A．－10 B．4 C．－4 D．10 5．若x1、x2是方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝　 　. 6．若方程x2＋5x＋a＝0的两根为x1、x2，且有x1＋x2－2x1x2＝3，则 a＝　 　. 7．(天门中考)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； 解：由题意得，Δ≥0，即16－4m≥0，∴m≤4； (2)若方程两实数根为x1、x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值． 解：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4,5x1＋2x2＝2))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝－2,x2＝6))，∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12. 8．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根． 解：(1)∵b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－4a＞0，解得：a＜3.∴a的取值范围是a＜3；　 (2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋x1＝－2,1·x1＝a－2))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,x1＝－3))，则a的值是－1，该方程的另一根为－3. 9．已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； 解：∵关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0有实数根，∴Δ≥0，即(2m＋3)2－4(m2＋2)≥0，∴m≥－eq \f(1,12)； (2)若方程两实数根分别为x1、x2，且满足xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝31＋|x1x2|，求实数m的值． 解：根据题意得：x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2，∵xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝31＋|x1x2|，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝31＋|x1x2|，即(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，解得m＝2，m＝－14(舍去)，∴m＝2. (2k－3)＝2(k2＋1)－3，解得k1＝1，k2＝－2，∵k＜eq \f(5,12)，∴k＝－2. 10．已知关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2. (1)求k的取值范围； (2)试说明x1＜0，x2＜0； (3)若|x1|＋|x2|＝2|x1·x2|－3，求k的值． 解：(1)∵Δ＝(2k－3)2－4(k2＋1)＞0，∴k＜eq \f(5,12)； (2)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2k－3＜0,x1·x2＝k2＋1＞0))，∴x1＜0，x2＜0； (3)∵|x1|＋|x2|＝2|x1·x2|－3，且x1＜0，x2＜0，∴－x1－x2＝2x1·x2－3，∴－ 11．(乐山中考)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋4)x＋4k＝0． (1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为x1、x2，满足eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(3,4)，求k的值． (1)证明：∵Δ＝(k＋4)2－16k＝k2－8k＋16＝(k－4)2≥0，∴无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；　 (2)解：由题意得，x1＋x2＝k＋4，x1·x2＝4k，∵eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(3,4)，∴eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(3,4)，即eq \f(k＋4,4k)＝eq \f(3,4)，解得k＝2． 12．已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1、x2满足|x1|＝x2．求实数m的值． 解：原方程可变形为：x2－2(m＋1)x＋m2＝0，∴Δ≥0，即4(m＋1)2－4m2≥0，∴8m＋4≥0，m≥－eq \f(1,2)，又x1、x2满足|x1|＝x2，∴x1＝x2或x1＝－x2，即Δ＝0或x1＋x2＝0，由Δ＝0，即8m＋4＝0，得m＝－eq \f(1,2)，由x1＋x2＝0，即2(m＋1)＝0，得m＝－1(不合题意，舍去)，∴当|x1|＝x2时，m的值为－eq \f(1,2)． 13．(衡阳中考)关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(－3)2－4k≥0，解得k≤eq \f(9,4)；　 (2)k的最大整数为2，方程x2－3x＋k＝0变形为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m－1＋1＋m－3＝0，解得m＝eq \f(3,2)；当x＝2时，4(m－1)＋2＋m－3＝0，解得m＝1，而m－1≠0，∴m≠1．∴m的值为eq \f(3,2)． 若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ． 1． 已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是( ) A．x1＋x2＝－1　　　　　　 B．x1＋x2＝－3　　　　　　　 C．x1x2＝1　　　　　　 D．x1x2＝3 若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝　 　， x1·x2＝　 　． 2． 一元二次方程2x2－3x－5＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1＋x2的值为( ) A．eq \f(5,2) B．－eq \f(5,2) C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2) 易错点： 忽视根与系数的关系的前提是一元二次方程有实数根而导致错误． 3． 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝ ． －eq \f(b,a) eq \f(c,a) $$