12.1 全等三角形（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. （重点） 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.（难点） 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.（难点） 情景导入 下列各组图形的形状与大小有什么特点？ （1） （2） （3） （4） （5） 问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？ ① ② ③ 问题2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？ ④ ⑤ 1.全等图形的定义 新知探究 我们把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？ 把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？ 从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？ 本节课我们就来探讨一下吧！ 树木的形状和大小一致吗 平移 狗狗的形状和大小一致吗？ 旋转 小浣熊的形状和大小一样吗 翻折 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但＿＿＿和＿＿＿都没有改变，即平移，翻折，旋转前后的图形___________我们便可以称这两个图形全等. 完全重合 形状 大小 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 概念归纳 2. 全等三角形及对应元素 新知探究 像这样能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形. A B C D E F 全等三角形 记作: △ ABC≌ △ DEF 读作 : △ ABC全等于△ DEF 互相重合的顶点叫对应顶点. 互相重合的边叫对应边. 互相重合的角叫对应角. 概念归纳 你能指出上面两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角吗？ 点A 与点D、点B 与点E、点C 与点F 重合，称为对应顶点； 边AB 与DE、边BC 与EF、边AC 与DF 重合，称为对应边； ∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 重合，称为对应角. （1） （2） （3） △ABC ≌△DEF △ABC ≌△DBC △ABC ≌△ADE 在图 （1）中，把△ABC 沿直线 BC 平移，得到△DEF. 在图 （2）中，把△ABC 沿直线 BC 翻折 180°，得到△DBC. 在图 （3）中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE. 各图中的两个三角形全等吗？ 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 你能说出它们的对应顶点、对应边、对应角吗？ 如图，已知△ABD≌△CDB，∠ABD＝∠CDB，写出其对应边和对应角． 分析：在△ABD和△CDB中，∠ABD＝∠CDB，则∠ABD，∠CDB所对的边AD与CB是对应边，公共边BD与DB是对应边，余下的一对边AB与CD是对应边．由对应边所对的角是对应角可确定其他两组对应角． 解：BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边； ∠A与∠C，∠ABD与∠CDB，∠ADB与∠CBD是对应角． A B C D A B C D A B C D 1.有公共边 A B C D O A B C D O A B C D E A B D C E 2.有公共点 A B C D O E 对应元素的确定方法： (1)字母顺序确定法： 根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角； (2)图形位置确定法： ①公共边一定是对应边， ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角； (3)图形大小确定法： 两个全等三角形的最大的边(角)是对应边 (角)，最小的边(角)是对应边(角)． 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角. 概念归纳 A B C E D F 3.全等图形的性质 新知探究 图中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？ 对应角呢？ 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. ∵△ABC≌△DEF(已知）， ∴AB=DE, AC=DF,BC=EF(全等三角形对 应边相等）， ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F(全等三角形对应角相等）. 证明：全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 验证结论 A B C E D F 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等， 全等三角形的对应角相等。 还具备：全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积也相等． 概念归纳 　　解：∵　∠A =100°，∠B =30°， 　　∴　∠C =180°-∠A -∠B 　　　　 =50°． ∵　△DEF ≌△ABC ， ∴　∠F =∠C =50° （全等三角形的对应角相等）． 　　1.已知：如右图，△ABC ≌△DEF. 若∠A =100°，∠B =30°，求∠F 的度数. A B C D E F 练一练 2.如图，已知点A，D，B，F在同一条直线上， △ABC≌△FDE，AB＝8 cm，BD＝6 cm. 求FB的长． 练一练 分析：由全等三角形的性质知AB＝FD， 由等式的性质可得：AD＝FB， 所以要求FB的长，只需求AD的长． 解：∵△ABC≌△FDE，∴ AB＝FD. ∴ AB－DB＝FD－DB，即AD＝FB. ∵AB＝8 cm，BD＝6 cm， ∴AD＝AB－DB＝8－6＝ 2(cm)． ∴FB＝AD＝2cm. 在应用全等三角形性质时，要先确定两个条件： ①两个三角形全等；②找对应元素； 全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法． 课本练习 （1） （2） 1.说出图中两个全等三角形的对应边、对应角. 解：在图（2）中，AB=DB，AC=DC，BC=BC；∠A= ∠D，∠ABC=∠DBC，∠ACB=∠DCB. 在图（3）中，AC = AE，AB = AD，BC = DE；∠D = ∠B，∠EAD =∠BAC，∠E = ∠C. 2.如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角。 C B O A D 解：∵ΔOCA≌△OBD， ∴AC = DB，CO = BO，AO = DO， ∠A= ∠D，∠C= ∠B，∠COA= ∠BOD. 答：其他对应边： AC 和 CA； 对应角：∠B 和∠D，∠ACB 和∠CAD，∠CAB 和∠ACD． 1.如图,△ABC≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边.写出其他对 应边及对应角. 复习巩固 习题12.1 答：其他对应边： AN 和 AM，BN 和 CM； 对应角：∠ANB 和∠AMC，∠BAN 和∠CAM． 2.如图,△ABN≌△ACM,∠B和∠C是对应角,AB和AC是对应边. 写出其他对应边及对应角. 复习巩固 解：根据全等三角形的对应角相等，由图可知∠1 = 180° – 60° – 54° = 66°． 3.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1等于多少度? 综合运用 解：(1) 对应边：FG 和 MH，EF 和 NM，EG 和 NH；其他对应角：∠E 和∠N，∠EGF 和∠NHM． (2) 由 (1) 可知 NM = EF = 2.1 cm，EG = NH = 3.3 cm． ∴ HG = EG – EH = 3.3 – 1.1 = 2.2 (cm). 4.如图,△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△EFG中,FG是最长边.在 △NMH中,MH是最长边,EF=2.1 cm,EH=1.1 cm,NH=3.3 cm. (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段NM及线段HG的长度. 综合运用 解：相等．理由如下： ∵△ABC ≌ △DEC， ∴∠ACB =∠DCE（全等三角形的对应角相等）. ∴∠ACB – ∠ACE =∠DCE – ∠ACE （等式的基本性质）， 即∠BCE =∠ACD． 5.如图,△ABC≌△DEC,CA和CD,CB和CE是对应边,∠ACD 和∠BCE相等吗?为什么? 综合运用 解：（1） 对应边：AB 和 AC，AD 和 AE，BD 和 CE. 对应角：∠A 和 ∠A，∠ABD 和 ∠ACE，∠ADB 和 ∠AEC． 6.如图,△AEC≌△ADB,点E和点D是对应顶点. (1)写出它们的对应边和对应角； (2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度数. 综合运用 解：（2）∵△AEC ≌ △ADB， ∴∠ACE = ∠ABD = 39°． 在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180°， 即∠A +∠ABD +∠1 +∠2 +∠ACE = 180°． 又∵∠1=∠2， ∴ 50° + 39° + 2∠1 + 39° = 180°，解得∠1 = 26°． 6.如图,△AEC≌△ADB,点E和点D是对应顶点. (1)写出它们的对应边和对应角； (2)若∠A=50°,∠ABD=39°,且∠1=∠2,求∠1的度数. 综合运用 A 随堂练 D 随堂练 C 随堂练 5 95° 随堂练 随堂练 随堂练 完全重合 完全重合 重合 重合 对应角 △ADC AD ∠DCA 分层练习-基础 ①②④ 分层练习-基础 相等 相等 平移 翻折 旋转 120° B 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 B A 分层练习-巩固 ∠DAE DE 11cm ②④ 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 全等 三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 基本性质 对应边相等 对应角相等 对应元素确定方法 对应边 对应角 长对长，短对短，中对中 公共边一定是对应边 大角对大角，小角对小角 公共角一定是对应角 对顶角一定是对应角 课堂小结 1．下列各图形中，不是全等图形的是(　　) 2．已知图中两个三角形全等，则∠α的度数是(　　) A．72°　　 B．60° C．58°　　 D．50° 3．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边是(　　) A．CD B．CA C．DA D．AB 4．如图，△ABC≌△DEF，则EF＝ . 5．如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝ . 6．如图，△AOD≌△BOC，A与B为对应点，∠D与∠C为对应角．请你指出其他对应角和对应边． 解：∠A与∠B、∠AOD与∠BOC是对应角，OA与OB、OD与OC、AD与BC是对应边． (3)AB∥A′B′. 7．如图，将△ABC沿BC所在直线平移到△A′B′C′，若BC＝3 cm，∠A＝75°. (1)问△ABC与△A′B′C′是否全等？ (2)求出B′C′和∠A′； (3)AB与A′B′位置关系如何？ 解：(1)△ABC≌△A′B′C′； (2)B′C′＝BC＝3 cm，∠A′＝∠A＝75°； 知识点一：全等形及全等三角形 能够 的两个图形叫做全等形；能够 的两个三角形叫做全等三角形． 的顶点叫做对应顶点， 的边叫做对应边，重合的角叫做 ． 1．如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌ ，AB的对应边是 ，∠BCA的对应角是 . 2．判断下列各组图形中的两个图形是全等形的是 (填序号)． 知识点二：全等三角形的性质 全等三角形的对应边 ，对应角 ；经过 、 、 等变换前后的两个三角形全等． 3．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝ . 4．(厦门中考)如图，△AOC≌△BOD，AC＝BD，则OA等于(　　) A．OC　　　　 B．OB　　　　 C．OD　　　　 D．AC 5．如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F.若AD＝11，BC＝7，求线段AB的长． 解：∵△ACF≌△DBE，∴AC＝DB，∴AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD.∵AD＝11，BC＝7，∴AB＝eq \f(1,2)(AD－BC)＝eq \f(1,2)×(11－7)＝2，即AB＝2. 能力点：准确找出对应元素 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素． 6．如图，已知△ABC≌△ADE，试找出两个三角形的对应边和对应角． 解：对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE；对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED. 7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为(　　) A．20°　　 B．30°　　 C．35°　　 D．40° 8．如图所示，已知△ABC≌△BAD，点A、C的对应顶点分别为B、D，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝10cm，那么BD等于(　　) A．10cm B．7cm C．5cm D．无法确定 9．如图所示，△ABC绕点A旋转就能与△ADE完全重合，则∠BAC的对应角是 ，边BC的对应边是 . 10．已知△ABC≌△A′B′C′，△ABC的周长为32cm，AB＝9cm，BC＝12cm，则A′C′＝ . 11．如图，△ABC≌△CDA，下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应边；③∠DAC与∠BAC是对应角；④∠ACD与∠CAB是对应角．其中结论正确的是 (填序号)． 12．(南安中考)如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F. (1)当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 ； (2)已知∠D＝35°，∠C＝60°. ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 解：(1)3；　 (2)①∵△ABC≌△DEB，∴∠A＝∠D＝35°，∠EBD＝∠C＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC－∠EBD＝85°－60°＝25°；②∠AFD＝∠A＋∠AED＝∠A＋∠EBD＋∠D＝35°＋60°＋35°＝130°. 13．如图，△ABF≌△CDE，∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边． (1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边； (2)若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数； (3)若BD＝10，EF＝2，求BF的长． 解：(1)∠BAF＝∠DCE，∠AFB＝∠CED，AB＝CD，BF＝DE； (2)∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠D＋∠DCF＝70°； (3)BF＝6. 14．如图，A、D、E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE. (1)你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？ (2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE? 解：(1)BD＝DE＋CE.理由：∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，即BD＝DE＋CE；　 (2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.理由：∵△BAD≌△ACE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°＝∠E，∴BD∥CE. 　会确定全等三角形的对应边、对应角． 【例1】如图，△ABC≌△EFD，写出图中的对应边、对应角． 【思路分析】要找出图中的对应边、对应角，关键是想象出两个三角形是如何重合的．当知道了两个图形是如何重合后，重合的边自然是对应边，重合的角自然是对应角． 【规范解答】对应边：AB与EF、AC与ED、BC与FD；对应角：∠A与∠E、∠B与∠F、∠ACB与∠EDF. 【方法归纳】当全等三角形已用全等符号给出时，可按照字母顺序找对应元素；当两个全等三角形不是用全等符号表示的，要先弄清对应顶点，再确定对应边和对应角． 　会求线段的长和角的度数． 【例2】如图所示，已知△ABD≌△ACE，AD＝6cm，AC＝4cm，∠ABD＝50°，∠E＝30°，求BE的长及∠COD的度数． 【思路分析】利用全等三角形的对应边相等，对应角相等可求解． 【规范解答】因为△ABD≌△ACE，所以AD＝AE＝6(cm)，AC＝AB＝4(cm)，所以BE＝AE－AB＝AD－AC＝6－4＝2(cm)．在△OBE中，∠E＝30°，且∠ABD＝∠E＋∠BOE＝50°，所以∠BOE＝20°，所以∠COD＝∠BOE＝20°. $$