1.2 矩形的性质与判定的综合运用（第3课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第三课时 矩形的性质与判定的综合运用 九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点) 问题1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 问题2: 矩形有判定方法有哪些？ 情景导入 A B C D O E 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 1.矩形的性质与判定综合运用 例1 新知探究 5 H G F E D C B A 证明：连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. 例2 6 C A B D E F G H 【变式】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 解：四边形EFGH是菱形. 又∵AC=BD, ∵点E，F，G，H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 归纳总结：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形. 理由如下：连接AC，BD. A B C D E F G H 拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 解：连接AC，BD. ∵点E，F，G，H为各边中点， ∴四边形EFGH是平行四边形. 拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？ 四边形EFGH是矩形. 同学们自己去解答吧 例 3：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长. 课本例题 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE：ED=1：3， ∴BE：OB=1：2. ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∴∠ADE=90°，∠ABD=30°， ∴AE= AD=3. 课本例题 例 4：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 课本例题 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°. ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°. ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形. （1）求证：四边形ADCE为矩形； 课本例题 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形. （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 课本例题 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB. (3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用. 课本例题 1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm， 30° 5 练一练 2.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个条件__________________，可使它成为矩形。 ∠ABC = 90°或 AC = BD 练一练 3.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(　 　) A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2 C．S1<S2 D．3S1＝2S2 B 练一练 4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　) A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm B 练一练 5.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度． 75 练一练 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为 ． 练一练 7.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 练一练 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC. (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形. 证明:∵ △ABD ≌ △CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，N 分别为 BC，AD 中点， ∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD , ∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°, ∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°, 即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形． 随堂练习 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD的面积． 1. 解：在矩形ABCD中，AC=BD=4， ∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴AB= AC= ×4=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC= ∴S矩形ABCD=BC∙AB= ×2= . 习题1.6 知识技能 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E．已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数． 2. 解：在矩形ABCD中， ∠BAD=90°， 即∠BAE+∠EAD=90°. ∵∠EAD=3∠BAE, ∴∠BAE+3∠BAE=90°.∴∠BAE=22.5°. ∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°, ∴∠ABE=67.5°. ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠ABE=67.5°. ∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=45°. 知识技能 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形． 3. 证明：∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE∥BC,AE=BD,AB=DE. ∵D为BC的中点,∴CD=BD=AE. ∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形）. 又∵AB=AC,∴ED=AC. ∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 知识技能 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长． 4. 解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，得到的图形如图所示. 依题意，得AE=CE,EF垂直平分AC， 连接AC交EF于点O. 设CE=AE=x cm，则BE=(8-x)cm. 在Rt△ABE中，由勾股定理， 得AE²=AB²+BE²，即x²=6²+(8-x)². 解得x= ，即EC= cm. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC= =10 cm. 问题解决 ∴OC= AC=5 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EOC=90°. 在Rt△EOC中，由勾股定理， 得EO²=EC²-OC²，即 cm. ∴折痕EF=2EO= cm. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值． 5. 解：如图，连接PO. 在Rt△ABC中， ∵AC= =5, ∴AO=DO= AC= . 问题解决 ∴S△AOD=S△APO+S△DPO= AO·PE+ DO∙PF= AO·(PE+PF)= × (PE+PF) = （PE+PF）. 又∵S△AOD= S矩形ABCD= ×3×4=3， ∴ (PE+PF)=3， ∴PE+PF= . 相等 平行四边形 B 分层练习-基础 直角 四边形 C 16 分层练习-基础 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 C ①④ 分层练习-基础 矩形 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 10.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. 在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm； (2)∵CE∥DB，BE∥AC， ∴四边形OBEC为平行四边形. 又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°， ∴平行四边形OBEC为矩形. ∵OB＝OD＝3cm， ∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)． 分层练习-巩固 11.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC. (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．　 证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD＝AN.　 分层练习-巩固 (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．　 证明： ∵∠AMD＝2∠MCD， ∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC， 由(1)知四边形ADCN是平行四边形， ∴MD＝MN＝MA＝MC， ∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形.　 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 矩形的性质与判定的综合运用（难点） 例1如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF ⊥BD，垂足分别为E，F. （1）求证：BE=CF； （2）若∠AOB=60°，AB=8，求矩形 ABCD的面积. 【思路分析】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD. ∴OB=OC.∵BE⊥AC，CF ⊥BD， ∴∠BEO = ∠CFO = 90°. 在△BEO 和△CFO 中， ∵∠BEO= ∠CFO，∠BOE= ∠COF，OB=OC， ∴ΔΒΕΟ≌ΔCFO（AAS）.∴BE=CF. 【点拨】矩形中出现30°，60°，120°角时，常伴随着等边三角形. （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°. 由（1）易得 OA=OB. ∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形. ∴OA = OB=AB= 8.∴AC= 2OA=2×8= 16. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 . ∴矩形ABCD的面积是. 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 课堂小结 (1＋2eq \r(3)，2) 矩形的判定定理1　对角线 的 是矩形． 1.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是(　　) A．AO＝CO，BO＝DO　　 B．AO＝BO＝CO＝DO C．AC＝BD，AO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD 矩形的判定定理2　有三个角是 的 是矩形． 2.在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(　　) A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中三个角是否都为直角 D．测量对角线是否相等 3．如图，直角∠AOB内的一点P，到这个角的两边的距离之和为8，则图中四边形的周长为 . 4．下列给出的条件中，不能判定四边形是矩形的是(　　) A．一组对边平行且相等，且有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两组对边分别平行，且对角线相等 D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等 5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) A．AB＝CD　　　　　　 B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 6．顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，可以添加的一个条件是(　　) A．AD∥BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝AB 7．如图，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有 (填写序号)． 8．如图，△ABC中，DE∥BC，AC＝BC，AE＝EC，延长DE到F，使EF＝DE，连接AF、FC、CD，则图中四边形ADCF是 ． 9．(临沂中考)在△ABC中，点D是边BC上的点(与B、C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是(　　) A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 (1)证明：在△DCA和△EAC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(DC＝EA,AD＝CE,AC＝CA))，∴△DCA≌△EAC(SSS)； (2)解：添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下： ∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得：△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AD＝BC(答案不唯一)． 12．(遂宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证： (1)△BDE≌△FAE； (2)四边形ADCF为矩形． 证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是线段AD 的中点，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)： (2)∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形． 13．(北京中考)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF. (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． (1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD中点，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形，∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形； (2)解：∵点E为AD中点，AD＝10，∴AE＝eq \f(1,2)AD＝5，∵∠EFA＝90°，EF＝4，在Rt△AEF中，AF＝eq \r(AE2－EF2)＝eq \r(52－42)＝3.∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝10，∴OE＝eq \f(1,2)AB＝5，∵四边形OEFG为矩形，∴FG＝OE＝5，∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2. 14．(青岛中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E、F分别为OB、OD的中点，∴BE＝eq \f(1,2)OB，DF＝eq \f(1,2)OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,∠ABE＝∠CDF,BE＝DF))，∴△ABE≌△CDF(SAS)； (2)解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形． $$