21.5 反比例函数（第3课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 第三课时 反比例函数的图象和性质（2） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 对于一个矩形，当它面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为 (S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x (S＞0) 的反比例函数 ； 情景导入 1.反比例函数解析式中 k 的几何意义：图形面积 在反比例函数 y＝ 的图象上分别取点 P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2的矩形， 填写下页表格： 问题1 新知探究 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1＝S2 S1＝S2＝k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 4 4 S1＝S2 S1＝S2＝－k y x O P Q S1 S2 若在反比例函数 y＝ 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 问题2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 y＝ 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP＝|k|. 概念归纳 y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) ∴ S矩形 AOBP＝PB·PA＝－a·b＝－ab＝－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， B P A 综上，S矩形 AOBP＝|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. ∵点 P (a，b) 在函数 y＝ 的图象上， ∴b＝ ，即 ab＝k. ∴ S矩形 AOBP＝PB·PA＝a· (－b)＝－ab＝－k. ●点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ＝______. Q A B | k | y x O 对于反比例函数 y＝ ， ●推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO＝S△QBO＝______. | k | 反比例函数的面积不变性 概念归纳 解：根据题意可知：S△AOB＝ |k|＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限， k＞0，则k＝6. 1．已知如图，A是反比例函数 y＝ 的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是___. 6 练一练 2．如图，A、B两点在双曲线 y＝ 上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知 S阴影＝1，则 S1＋S2＝_____. 3．如图，函数 y＝－x与函数 y＝－ 的图象相交于A、B两点，过 A、B两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为_____． 6 8 练一练 2.一次函数与反比例函数的综合运用 如图，直线 y＝k1x＋b (k1≠0)与双曲线 y＝ (k2≠0)相交于 A(1，m)、B(－2，－1)两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)若A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3) 为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3， 请直接写出 y1，y2，y3的大小关系； (3)根据图象回答，一次函数大于反比例 函数值时 x 的取值范围． 例1 新知探究 ∴m＝2，∴ A(1，2)． 把 A(1，2)，B(－2，－1)代入 y＝k1x＋b， (2) y2＜y1＜0＜y3； (3) x＞1或－2＜x＜0.　 解：(1)把点B(－2，－1)代入 y＝ ，得－1＝ ， ∴k2＝2，∴y＝ . 把A(1，m)代入y＝ ，得m＝ ， 得 k1＋b＝2， －2k1＋b＝－1， ∴y＝x＋1； k1＝1， b＝1， 解得 如图，已知直线 y＝ax＋b 经过点A(0，－3)，与x轴交于点C，且与双曲线相交于B、D两点，点B的坐标为(－4，－a)． (1)求直线和双曲线的函数关系式； (2)求△CDO(其中O为原点)的面积． 例2 解：(1)把A(0，－3)，B(－4，－a)代入y＝ax＋b中， (2)由直线y＝－x－3求得C坐标为(－3，0)， 解得 a＝－1，b＝－3， 得 b＝－3 －4a＋b＝－a ∴ y＝－x－3.把B(－4，1)代入 y＝ 中，得k＝－4 ， ∴ y＝－ ， ∴一次函数为y＝－x－3，反比例函数为y＝－ ； ∴S△COD＝ ×3×4＝6. 由 可得D坐标为(1，－4)， y＝－x－3， y＝－ ， 引例：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计600N，那么 (1)用含S的代数式表示p，p是S的反比 例函数吗？为什么？ 反比例函数在实际生活中的应用 新知探究 17 由p＝ 得p＝ p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数． (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？ 当S＝0.2m2时， p＝ ＝3000(Pa) ． 答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa． (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p≤6000 Pa时，S ≥0.1m2． 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p/Pa S/ 例 3 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 想一想： 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， 当 l=1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此 时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. ∴ F 关于l 的函数解析式为 3.反比例函数在其他学科中的应用 新知探究 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量. 解：当F=400× =200 时，由200 = 得 300－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越 小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 米， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 变形得： 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 练一练 课本练习 1.填空： （1）对于函数，自变量的取值范围是 ，当 > 0时，y 0；当 <0时，y 0； （2）对于函数，当 >0时，函数 随的增大而 ；当<0 时，函数 随 的增大而 ； （3）反比例函数的图象与直线y=2x交于两点，这两点的坐标分别是（ ）和（ ）. x≠0 < > 增大 增大 1 , 2 -1 ,- 2 2.P为反比例函数 图象上的一个点，作PQ垂直于x轴，垂足为Q.问△OPQ的面积是否会因点P位置的变化而变化，为什么？ 解：不随点P的变化而变化 理由：设点P的坐标为（x,y）. ∴ △OPQ的面积不随点P位置的变化而变化. 3.如图，A是反比例函数（x>0）图象上的任意一点，AB平行于x轴交反比例函数（x<0）的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D 在 x 轴上，则 为多少？ 解：设 A，B 两点的坐标分别为， 则 某水池的容量一定，当注入水的流量Q=15 m3/min时，注满全池需时t=20 min. (1) 求Q与t之间的函数表达式； 1. 解：(1)Q与t之间的函数表达式为 习题21.5 (2)当t=25 min时，求水流量Q的值. (2)当t=25 min时， m3/min. 已知：平行四边形的面积是24 cm2，它的一边长是x cm.求这边上的高y与边长x之间的函数表达式. 2. 解： 某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益.通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：(3－y)与(x+1)成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只.求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式. 3. 解：设 (k≠0)，因为当x=1时，y=2，所以k=2， 所以 ，即 如图，直线x=t与反比例函数 的图象交于点A，B，直线y=2t与反比例函数 .的图象交于点C，D，其中常数t，k均大于0. 4. 点P，Q分别是x轴、y轴上任意点，设△PCD和△QAB的面积分别为S1和S2，则下列结论正确的有 . ①S1=2t；②S2=2k；③S1=2S2； ④S1=S2；⑤S2=2S1； ⑥S1，S2均为定值. ②④⑥ 如图，A，B是反比例函数 图象上的两点，分别过点A，B作x轴、y轴的垂 线，构成图中的三个相邻且不 重叠的小矩形S1，S2，S3.已知 S2=2，求S1+S3的值. 5. 解：∵点A，B都在反比例函数 的图象上， ∴S1+S2=9，S2+S3=9，而S2=3， ∴S1=S3=6， ∴S1+S3=12. 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于M，N两点. (1) 求这两个函数的表达式； 6. 解：(1) ∵点M(2，m)，N(－1，－4)都在反比例函数 的图象上， ∴反比例函数的表达式为 ，m=2， 将点M(2，2)，N(－1，－4)代入一次函数中得 ∴一次函数的表达式为y=2x－2. (3) 求△OMN的面积. (3)设直线y=2x－2与y轴的交 点为A，则A(0，－2)， ∴S△OMN=S△OMA+S△ONA = OA×2+ OA×1= 2 +1=3. A (2) 根据图象，写出使反比例函数值大于一次 函数值时x的取值范围； (2)由图象知，x<－1或0<x<2. 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4)，求这两个函数的表达式. 7. 解：设正比例函数的关系式为y=kx，反比例函数的关系式为 ， 因为点P(－3，4)在这两个函数的图象上， 所以4=－3k， ，解得k= ，m=－12， 所以正比例函数和反比例函数的关系式分别为 如图，函数y=ax2－a与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 8. D (A) (B) (C) (D) 如图，已知反比例函数 的图象与一次函数y=k2x的图象. (1) 当k1，k2有何关系时，直线与双曲线有两个交点. 9. 解：(1) 令 ，则k2 x2－k1=0，Δ=4k1k2，当Δ>0，即k1k2>0时，直线与双曲线有两个交点. (2) 如果直线与双曲线交于A，B两点，且当 点A坐标为(1，2)时，求点 B的坐标； (2)∵A(1，2)在 和y=k2 x图象上， ∴k1=2，k2=2， ∴双曲线的关系式为 ，直线的关系式为y=2x. 令 ，则x1=1，x2=－1， 当x=－1时，y=－2， ∴点B的坐标为(－1，－2). (3) 双曲线的两分支是否成轴对称？如果是， 给出对称轴的函数表达式. (3)是，它的对称轴为 直线 y=－x. 不为0的实数 有意义 C 分层练习-基础 80 分层练习-基础 两 原点 无 A 分层练习-基础 D 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 D 课堂反馈 －1＜x＜0或x＞2 D 课堂反馈 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 过 程 注 意 反比例函数 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同 课堂小结 知识点一：反比例函数的实际应用 反比例函数自变量的取值范围一般都是　 　，但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题　 　. 1．某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，设容积为a(m3)，游泳池的底面积S(m2)与其深度x(m)之间的函数表达式为S＝eq \f(a,x)(x＞0)，该函数的图象大致是(　　) 2．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p＝　 　. 3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是　 　m. eq \f(160,S) 知识点二：反比例函数与一次函数的综合 对于函数y＝k1x与y＝eq \f(k2,x)，当k1与k2同号时，两函数图象有　 　个交点，它们关于　 　对称；当k1与k2异号时，两函数图象　 　交点． 4．(湖州中考)如图，已知直线y＝k1x(k1≠0)与反比例函数y＝eq \f(k2,x)(k2≠0)的图象交于M、N两点．若点M的坐标是(1,2)，则点N的坐标是(　　) A．(－1，－2)　　　　　　　 B．(－1,2) C．(1，－2) D．(－2，－1) 5．(临沂中考)如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝eq \f(k2,x)的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1或x＞1 B．－1＜x＜0或x＞1 C．－1＜x＜0或0＜x＜1 D．x＜－1或0＜x＜1 6．(遂宁中考)已知一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝eq \f(m,x)(m≠0)的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是(　　) A．1＜x＜3　　　　　 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3 7．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．eq \f(3,2)　　　 D．eq \f(5,2) 8．函数y＝eq \f(k,x)与y＝－kx2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) 9．(襄阳中考)如图，已知双曲线y1＝eq \f(k,x)与直线y2＝ax＋b交于点A(－4,1)和点B(m，－4)． (1)求双曲线和直线AB的解析式； (2)直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围． 解：(1)把A(－4,1)代入y1＝eq \f(k,x)得k＝－4×1＝－4，∴反比例函数的解析式为y1＝－eq \f(4,x)，把B(m，－4)代入y1＝－eq \f(4,x)得－4m＝－4，解得m＝1，则B(1，－4)，把A(－4,1)、B(1，－4)代入y2＝ax＋b得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4a＋b＝1,a＋b＝－4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－3))，∴直线AB解析式为y2＝－x－3；　 (2)AB＝eq \r(－4－12＋1＋42)＝5eq \r(2)，当－4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2. 10．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝eq \f(k,v)，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40,1)和B(m,0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 解：(1)∵点A(40,1)在反比例函数t＝eq \f(k,v)上，∴k＝40，∴t＝eq \f(40,v)，又点B在此函数的图象上，∴m＝80；　 (2)由t＝eq \f(40,v)得v＝eq \f(40,t)≤60，∴t≥eq \f(2,3)，∴汽车通过该路段最少需要eq \f(2,3)小时． 11．(衡阳中考)某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(μg/mL)与服药时间x(h)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式； (2)问血液中药物浓度不低于4μg/mL的持续时间为多少小时？ 解：(1)当0≤x≤4时，设直线表达式为y＝kx，将(4,8)代入，得8＝4k，解得k＝2，故直线表达式为y＝2x，当4≤x≤10时，设反比例函数表达式为y＝eq \f(a,x)，将(4,8)代入，得8＝eq \f(a,4)，解得a＝32，故反比例函数表达式为y＝eq \f(32,x)；　 (2)当y＝4，则4＝2x，解得x＝2；当y＝4，则4＝eq \f(32,x)，解得x＝8.∵8－2＝6(h)，∴血液中药物浓度不低于4μg/mL的持续时间为6h. 反比例函数与一次函数的综合 1.正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝eq \f(6,x)的图象的交点位于(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限 【思路分析】　由于两个函数的图象都过第一、三象限，且两解析式联立所得方程组有两个解，所以两个函数的图象的交点位于第一、三象限． 2.如图，一次函数y1＝x－m与反比例函数y2＝eq \f(2,x)的图象相交于点A(n,1)、B(t，－2)，则不等式x－m＞eq \f(2,x)的解集是 . 【思路分析】　求不等式的解集，就是结合图象看直线在双曲线上方的部分对应的x的取值范围，由图象可知符合要求的有两段：线段BC与射线AD(均不含端点)．将A、B两点坐标代入y2＝eq \f(2,x)可得n＝2，t＝－1. 反比例函数的实际应用 3.已知矩形的面积为24，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可以表示为(　　) 【思路分析】　由于该问题研究的是实际问题中的面积，所以宽不能为负值，只能是x＞0，所以图象不能分布在第三象限. $$