2025届新高三学情摸底考02-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

保密★启用前 2025届新高三学情摸底考02（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设集合，则的元素的个数为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：分别求出A和B，再利用交集计算即可. 详解：，， 则，交集中元素的个数是5. 故选：C. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求解. 【详解】解：． 故选：C． 3．已知向量，若与方向相反，则=（    ） A．54 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件求出m，再利用向量线性运算的坐标表示及坐标求模，计算作答. 【详解】向量，与方向相反，则，解得， 即，则， 所以. 故选：B 4．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导数，将代入导数求得，再将代入，求得，用点斜式求出直线方程即可． 【详解】由，两边求导得： 即 所以，因此，即 又，即 故在处的切线方程为 即． 故选：C． 5．已知在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可. 【详解】因为，故可得， 则在点处的切线斜率； 又因为. 故选：A. 6．点的直线中，被圆截得的最长弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为， 要使得直线被圆截得的弦长最长，则直线必过圆心， 可得直线的斜率为，所以直线的方程为， 即所求直线的方程为. 故选：A. 7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长为3，柱体与锥体部分高之比 ，底周长为，则陀螺的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知条件得到底面半径，圆柱母线长以及圆锥的高，进而得到圆锥的母线长，再利用圆柱和圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】由底周长为， 可得底面半径， 又现知尖底长为3，柱体与锥体部分高之比， 得圆柱的高即母线长为，圆锥的高为， 圆锥的母线长为， 则陀螺的表面积为：； 故选：D. 8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于、两点，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解. 【详解】由双曲线的定义可知，， 在中，， 整理得. 解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在下列关于概率的命题中，正确的有（    ） A．若事件A，B满足，则A，B为对立事件 B．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 C．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件 D．若事件A，B满足，，，则A，B相互独立 【答案】CD 【分析】对于A：举反例判断命题不成立；对于B：由互斥事件的定义直接判断；对于C：由相互独立事件的性质直接判断；对于D：利用公式法直接判断. 【详解】对于A：若事件A、B不互斥，但是恰好，满足，但是A，B不是对立事件.故A错误； 对于B：由互斥事件的定义可知，事件A、B互斥，但是A与也是互斥事件不成立.故B错误； 对于C：由相互独立事件的性质可知：若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件.故C正确； 对于D：因为事件A，B满足，，，所以，所以A，B相互独立. 故选：CD 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称 B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称 C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2 D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据最小正周期可以计算出，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】选项：的最小正周期为 ，故正确； B选项：的最小正周期为 ，故B错误； C选项： 又函数在上单调递增 ，故C正确； D选项： 又在有且仅有个零点，则，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则的值域为 B．若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切 C．存在，使得有三个零点 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A正确；B选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得，此方程只有一个根，故B正确；C选项，分与两种情况，推导出至多两个零点；D选项，先得到不合要求，满足要求，考虑，时，满足要求，故只需时，恒成立，若，，故不合要求，若，结合导函数得到函数单调性和最值，得到满足要求，得到答案. 【详解】A选项，若，则， 故， 当趋近于0时，趋近于负无穷，此时趋近于负无穷， 当趋近于正无穷时，和都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷， 因此函数的值域为R，A正确； B选项，函数定义域为，时，， 因为时，，故， 则，设切点坐标为，故， 则在处，的切线方程为， 把点代入切线方程得，， 化简得， 当时，，此方程无解， 当时，，此方程无解， 当时，，且函数此时为增函数， 故方程只有这1个解， 即过原点有且仅有一条切线和相切，B正确； C选项，，当时，，， 则，故单调递减，故在此区间上函数最多一个零点， 要想这个零点存在，需， 当时，，， 则，显然这是一个增函数， 要想函数零点尽可能多，则需存在一个使得成立， 此时在上单调递减，在上单调递增， 若在上存在一个零点，则， 故此时在上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求， 若在上不存在零点，则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故此时函数最多有两个零点，不合要求， 综上，不存在，使得函数存在三个零点，C错误； D选项，由A知，当时，函数的值域为R，不满足， 当时，，满足要求， 当时，时，，满足要求， 故只需时，恒成立， 若，，故不合要求， 若，， 则，显然这是一个增函数， ， 函数单调递增，则， 故满足题意，又也满足要求， 因此，D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 【答案】56 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出，再利用二项式定理结合组合数性计算即得. 【详解】由五位数满足，得，从2、3、4、5中任取两个分别作，另两个为， 因此，的展开式中的系数为： . 故答案为：56 13．在中，角所对的边分别为，若，则 ． 【答案】 【详解】试题分析：由正弦定理得，即，且，所以，，所以,故应填. 14．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的性质首先证明，然后结合题意设出直线方程，由点的坐标确定圆的直径所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D的坐标. 【详解】首先证明椭圆的一个性质： 椭圆，点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于上的一个点，则. 证明如下：设，，， 由于点是椭圆上的两点，故， 两式作差可得：， 此时. 故结论成立. 回到本题，由题意可知：， 设直线PA的方程为：，则， 设直线PB的方程为：，则， 故， 故为外接圆的直径， 设所求的点为， 则：， 即，解得：，(舍去). 综上可得：所求点的坐标为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间的概率. 【答案】(1)，平均数74.5，中位数为75；(2). 【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可求，利用组中值可求平均数，利用面积等分可求中位数. （2）利用列举法及古典概型的概率公式可求概率. 【详解】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以，解得. 所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数 . 设这40名学生的竞赛成绩的中位数为， 由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65， 故中位数落在第3组，于是有，解得. 即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75. （2）由分层随机抽样可知，在区间应抽取5人， 记为a，b，c，d，e，在区间应抽取2人，记为A，B， 从中任取2人的所有可能结果为：，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，共21种. 其中至少有一人测试成绩位于区间内有：，，，，，，，，，，，共11种. 所以，至少有一人的测试成绩位于区间内的概率为. 16．（15分）已知数列是各项均为正数的等比数列，前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，利用等比数列的通项公式，得到，求得，即可求解数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为， 得，即， 设公比为，所以，又，所以. （2）由（1）可得， 所以 其中     ①      ② ①-②得 ， 所以. 17．（15分）在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，，，． （1）求证：平面平面PAD； （2）在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，进而，然后可证得平面PAD，得证平面平面PAD． （2）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE，由平面ABCD，得要使平面PBE成立，只需成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出． 【详解】证明：（1）为正三角形，E为AD的中点，． 平面底面ABCD，平面底面， 平面ABCD． 平面ABCD， ． ，， ． ，面 平面PAD． 平面PCD， 平面平面PAD． （2）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE． 平面ABCD，． 要使平面PBE成立，只需成立． 以过与平行的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 设， ，即． ，，． ． ， 由，得，即解得． 故． 18．（17分）已知动圆C的圆心在x轴上，且经过点，动圆C与x轴的另一个交点为A，与y轴的一个交点为B，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点M. (1)求点M的轨迹方程； (2)设点M的轨迹为E，曲线E上一点，过点P的直线PS，PT交曲线E于S，T两点，且PS⊥PT，求证：直线ST过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)(2)证明见解析， 【分析】（1）根据建立等式即可求解； （2）先求出点，再根据题意分别求出和，再由直线的两点式得到直线ST的方程即可求解. 【详解】（1）由题意设，则，，且，得到，即，故M的轨迹方程为. （2）由（1）知点，直线PS，PT斜率存在且不为0，不妨设直线PS的斜率为k，则直线PS的方程为，联立与，消掉x得到，设点，则，得到， 代入直线方程得到，， 因为PS⊥PT，将点S坐标中的k换成，得到， 则， 直线ST的方程为，化简得到， 所以直线ST过定点. 19．（17分）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 【答案】(1), ；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析. 【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系； （3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立. 【详解】（1），，， ，，， ，即； 同理可得：； （2）由（1）知：，， 令，则， ，， 在上单调递增，又， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 综上所述：当时，；当时，；当时，； （3）令，则， ，在上单调递增， 又，在上单调递减，在上单调递增， ，即； 在点处的阶泰勒展开式为：， ，当且仅当时取等号， ①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以； ②当时，设，， ，， 当，由（2）可知，所以， ，即有； 当时，， 所以，时，单调递减，从而，即． 综上所述：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2025届新高三学情摸底考02（新课标卷） 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设集合，则的元素的个数为 A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若与方向相反，则=（    ） A．54 B．8 C． D． 4．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知在点处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C．2 D． 6．点的直线中，被圆截得的最长弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长为3，柱体与锥体部分高之比 ，底周长为，则陀螺的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于、两点，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．在下列关于概率的命题中，正确的有（    ） A．若事件A，B满足，则A，B为对立事件 B．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 C．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件 D．若事件A，B满足，，，则A，B相互独立 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称 B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称 C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2 D．若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则的值域为 B．若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切 C．存在，使得有三个零点 D．若，则的取值范围为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 ．（用数字作答） 13．在中，角所对的边分别为，若，则 ． 14．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间的概率. 16．（15分）已知数列是各项均为正数的等比数列，前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和，求. 17．（15分）在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，，，． （1）求证：平面平面PAD； （2）在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知动圆C的圆心在x轴上，且经过点，动圆C与x轴的另一个交点为A，与y轴的一个交点为B，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点M. (1)求点M的轨迹方程； (2)设点M的轨迹为E，曲线E上一点，过点P的直线PS，PT交曲线E于S，T两点，且PS⊥PT，求证：直线ST过定点，并求出定点坐标. 19．（17分）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$