专题08 二次函数的图形性质与应用-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河南专用）

专题08 二次函数的图象性质与应用（原卷版） 1. （2024·河南·统考中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 2．（2023·河南·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 4.（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 5.（2021·河南·统考中考真题）如图，抛物线与直线把交于点和点B． 求m和b的值； 求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； 点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 6.（2020·河南·统考中考真题）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点． 求抛物线的解析式及点G的坐标； 点为抛物线上两点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围． 一、单选题 1．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 3．（2024·河南平顶山·三模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024·河南周口·二模）一次函数（a，b为常数）的图象如图所示，则二次函数 的图象是（   ）．    A．   B．   C．   D．   6．（2024·河南新乡·三模）二次的函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南周口·一模）一次函数的图象如图所示，则二次函数 的图象是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 9．（2024·河南郑州·模拟预测）农户老张想依托一面墙建造一个塑料薄膜育苗起始端棚，如图1，若以水平地面为x轴，墙所在的位置为y轴，老张在距离地面处的B处建造这个育苗棚，棚的顶部可以看作是抛物线的一部分，已知育苗棚在距离O点2米处有最高点，最高为． (1)求这个抛物线的解析式（不求x的取值范围）； (2)育苗棚需要一定的温度、湿度、通风和光照，为达到合适的条件，老张准备将育苗棚适当提高，并在棚内悬挂一排铁丝，在上安放一些补光灯和加湿喷头，如图2，为保证安全，上任意一点到棚的竖直距离均不小于，且到地面的高度为，老张将育苗棚在墙的起始端B点提升到图2中的D点，已知，求的最小值． 10．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看做一条抛物线．该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米，将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为的坡地绿植．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离； (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期．园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带．这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率．若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 11．（2024·河南·三模）已知二次函数． (1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： (2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 12．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 13．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值； (3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围． 14．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，． (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 15.（2024·河南商丘·二模）综合与实践 数学兴趣小组的同学利用抛物线构造特殊图形，过程如下：直线将抛物线分成两部分，去掉直线左侧的部分，再画出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，组成图形． (1)如图，记直线与抛物线交于点，在抛物线上另取点，，，，它们关于直线对称的点分别为，，，，请将下表补充完整． 抛物线上的点 关于直线对称的点 ________ ________ (2)在给出的平面直角坐标系中画出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，并求出对称图形所在抛物线的表达式． (3)①若图形与直线恰好有三个交点，则的值为________； ②若图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为________． (4)若点，，在图形上，且，，当时，请直接写出点的坐标． 、 16．（2024·河南周口·三模）如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，高度是 米，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在距离柱子1米的位置水流达到最高米，以水流喷出的高度，水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求y与x之间的函数关系式．若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（保留根号） (2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点C离柱子的距离为米，，灯孔P 在边上，灯孔P离地面的距离为 米．若水流恰好落在灯孔P处，求的值． 16．（2024·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ (2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 17．（2024·河南周口·二模）如图，抛物线 交x轴于、B两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在抛物线上，横坐标设为m． ①当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围； ②若抛物线在点 P右侧部分（含点 P）的最高点的纵坐标为，求m的值． 18．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 19．（2024·河南南阳·三模）如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为． (1)求图 中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米? (3)实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 20．（2024·河南南阳·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 21．（2024·河南新乡·三模）【何题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂，图（1）是某学校兴趣小组在科技节制作的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的性能，兴趣小组收集了其飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的对应数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 10 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 10 (1)【建立模型】求y关于t的函数表达式． (2)【深化研究】若水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间，满足关系，求水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离． (3)【反思优化】如图（2），兴趣小组在操场上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹形状不变．可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，P、A、B在同一直线上，已知，，在（2）的条件下，要使水火箭能落到线段上（含端点），请通过计算，直接写出发射平台的高度的取值范围． 21．（2024·河南安阳·二模）阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点．这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等． 如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端．测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米， A， B距离为6米． (1)如图2 ，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．求天线截面的抛物线表达式； (2)距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架和，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离． 22．（2024·河南洛阳·三模）已知：经过点，． (1)请直接写出函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为仍在原抛物线上．新抛物线与轴交于，． ①求新抛物线的解析式，并直接写出此时时的取值范围； ②若点在上，线段轴，，线段与有两个交点，请直接写出点横坐标的取值范围． 23．（2024·河南濮阳·二模）濮阳杂技是一项非常古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评． 如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护表演的演员安全．建立如图的平面直角坐标系，已知：点A的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点B，且与y轴交于点时，求出抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点N的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的关系式为 ，抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台上，请直接写出a的取值范围． 24．（2024·河南南阳·二模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．    素材 2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．    问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值． 任务 3 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 25．（2024·河南开封·二模）已知二次函数的图象与x轴分别交于点，． (1)求b，c的值． (2)点为抛物线上一个动点，直线经过B，C两点． ①若点C到y轴的距离小于3，请根据图象求出C点纵坐标的取值范围． ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若直线、线段、线段围成的区域（不含边界）内恰有4个整点，请直接写出k的取值范围． 26．（2024·河南开封·二模）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离 27 48 63 72 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离y（单位：）与行驶时间t（单位：）之间具有函数关系（、a、b 为常数）； ②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求 y 关于t的函数解析式． 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 27．（2024·河南平顶山·二模）图是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系，已知中间立柱顶端到水面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点，若水柱上升到最高点时，到水面的距离为，到中间立柱的距离为． (1)求图中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？ 28．（2024·河南洛阳·一模）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2      3      4 竖直高度 0                          根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 29．（2024·河南南阳·一模）【发现问题】北京时间2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕，中国女排在决赛中以击败日本队，以全胜战绩成功卫冕，斩获队史亚运第9冠，爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究， 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为，建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在上图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由； (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度OA，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度OA的取值范围． 30．（2024·河南周口·一模）已知抛物线的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出点P的坐标为_____； (2)如图， 若A、B两点在原点的两侧，且， 当时，求 y的取值范围． (3)若线段，点Q为反比例函数 与抛物线 第三象限内的交点，设Q的横坐标为m，当时，请直接写出k的取值范围． 31．（2024·河南周口·一模）甲、乙两位同学进行抛球训练．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长，球网为，甲同学在点处将球拋出，球抛出点是，球刚好擦网而过，其运动路线为抛物线的一部分，乙同学恰在处接住球，然后挑起将球回传给甲同学，球抛出点在点上方点处，回球路线为拋物线的一部分．（把球看成点） (1)球网的高度不高于多少米？并求的值； (2)若甲同学在轴上方的高度，且到的水平距离不超过的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值． 32．（2024·河南安阳·一模）某公园内有一个喷泉从垂直于地面的立柱的端点处喷出一个水柱，其形状呈抛物线型，建立如图所示的坐标系，所在的直线是轴，地面上有一个底面为正方形的无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长是米，高米，点，是其底面一组对边的中点，矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点，，都在轴上．已知米，米，抛物线型水柱在距离轴米处到达离地面米的最高点． (1)求抛物线的解析式． (2)该抛物线型水柱是否会把水喷到水池内？请通过计算进行说明． 33．（2024·河南濮阳·一模）如图（1），濮阳市市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，H点是下边缘抛物线最高点，上边缘抛物线y₁最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边线l的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由； (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围．说明：运算结果保留2位小数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数的图象性质与应用（解析版） 1. （2024·河南·统考中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明的说法不正确，理由见解析 【小问1详解】 解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 解：小明的说法不正确． 理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法不正确． 2．（2023·河南·统考中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 3．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 4.（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 5.（2021·河南·统考中考真题）如图，抛物线与直线把交于点和点B． 求m和b的值； 求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； 点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 或 ． 【详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 将点A的坐标代入直线表达式得：，解得； 故，； 由得，直线和抛物线的表达式为：，， 联立上述两个函数表达式并解得， 即点B的坐标为， 从图象看，不等式  的解集为或； 当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即； 当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点，即时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 综上， 或 ． 6.（2020·河南·统考中考真题）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点． 求抛物线的解析式及点G的坐标； 点为抛物线上两点(点在点的左侧) ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4. 【详解】解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B， ∴B点坐标为（c，0）， ∵抛物线经过点A， ∴﹣c2+2c+c=0， 解得c1=0（舍去），c2=3， ∴抛物线的解析式为 ∵=﹣（x－1）2+4， ∴抛物线顶点G坐标为（1,4）． （2）抛物线的对称轴为直线x=1， ∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ， ∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6， 点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21， 又∵点M在点N的左侧， ∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21）， 则﹣21≤≤4 当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21）， 则﹣21≤≤﹣5， ∴的取值范围为﹣21≤≤4． 一、单选题 1．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 2．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的对称轴在负半轴， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有 故选：D． 3．（2024·河南平顶山·三模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像及其性质,掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． 根据二次函数图像的对称性确定点B的横坐标,可判断①;将代入并结合图像可判断②;根据抛物线的对称轴为直线可判断③;根据函数的增减性可判断④． 【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点B的横坐标为b,则有:,解得:, ∴点B的坐标为,即①正确; ∵点B的坐标为, ∴当时,由函数图像可得函数值大于零,即,即②错误; ∵抛物线的对称轴为直线， ∴,即,即③错误; ∵, ∴y随x的增大减小,即,即④正确． 综上,正确的有2个． 故选：B． 4．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选B． 5．（2024·河南周口·二模）一次函数（a，b为常数）的图象如图所示，则二次函数 的图象是（   ）．    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数图像的关系，掌握一次函数、二次函数图像与各项系数的关系成为解题的关键． 根据一次函数的图像可得，然后再判定抛物线的开口方向、与y轴的交点以及对称轴即可解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知， ∵二次函数， ∴抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴， 对称轴为， ∴满足条件的函数图象只有A． 故选：A． 6．（2024·河南新乡·三模）二次的函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】从图象中得到，，故一次函数的图象分布在第一，三，四象限，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标，一次函数图象分布，熟练掌握顶点坐标，一次函数图象分布是解题的关键． 【详解】从图象中得到，， 故一次函数的图象分布在第一，三，四象限， 故选B． 7．（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由反比例函数图象与性质得到，再根据选项中同一平面直角坐标系下一次函数和二次函数的图象，假设直线图象正确，判断二次函数图象是否正确即可得到答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上， 故选项正确，符合题意； B、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握此类题目的解法，先假设其中一个图象正确，再判断另一个图象是否正确是解决问题的关键． 8．（2024·河南周口·一模）一次函数的图象如图所示，则二次函数 的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可． 【详解】解：∵直线过一，三，四象限， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选C． 二、解答题 9．（2024·河南郑州·模拟预测）农户老张想依托一面墙建造一个塑料薄膜育苗起始端棚，如图1，若以水平地面为x轴，墙所在的位置为y轴，老张在距离地面处的B处建造这个育苗棚，棚的顶部可以看作是抛物线的一部分，已知育苗棚在距离O点2米处有最高点，最高为． (1)求这个抛物线的解析式（不求x的取值范围）； (2)育苗棚需要一定的温度、湿度、通风和光照，为达到合适的条件，老张准备将育苗棚适当提高，并在棚内悬挂一排铁丝，在上安放一些补光灯和加湿喷头，如图2，为保证安全，上任意一点到棚的竖直距离均不小于，且到地面的高度为，老张将育苗棚在墙的起始端B点提升到图2中的D点，已知，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确设出表达式． （1）根据图象设二次函数的解析式为：，然后利用待定系数法求解即可； （2）设调节后的抛物线的解析式为：，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）根据图象设二次函数的解析式为：， 将代入，得， ∴抛物线的解析式为：． （2）设调节后的抛物线的解析式为：， 即， 由题意可知，， ∴当横坐标为时，纵坐标的值大于， ∴， 解得， ∴育苗棚的起始端至少向上调节1.5米， ∴， ∴的最小值为． 10．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看做一条抛物线．该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米，将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为的坡地绿植．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离； (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期．园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带．这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率．若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 【答案】(1) (2)坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为米 (3)让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，设出抛物线水柱的解析式为：，再将代入得出的值即可； （2）根据坡地绿植的坡度为，可设坡地所在直线的解析式为，令，解得的值即可； （3）由（1）可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为，根据这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为，则，可求出这棵树底部对应点的坐标为，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线水柱的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ； （2）解：坡地绿植的坡度为， 坡地所在直线的解析式为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为米． （3）解：由（1）可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为， 设需要让灌溉装置向后平移米， 因为这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为，则， 即这棵树底部对应点的坐标为， 当水柱刚好浇到这棵树的底部时， 则有：， 解得：，， ， ． 答：让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移米． 11．（2024·河南·三模）已知二次函数． (1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： (2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； （2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小， ∴时，最小为 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ （3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴． 12．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 即抛物线的函数表达式为； （2）证明：设直线对应的函数表达式为， 为中点， ． 又， ，解得：， 直线对应的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：或， ， ，， ，即满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； （3）解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值， 故在（2）的条件下，，，，， 直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立上述两式得：， 解得：， 则点，， 此时的面积． 13．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值； (3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3)的取值范围为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）求出直线与抛物线的交点的坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，由此用含的式子表示的面积，结合二次函数的最值计算方法即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， ∵抛物线与轴交于点和， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，直线的解析式为：， 联立方程组， 解得或， ∴，， 过点作轴的平行线交于点，交轴于点， 设点坐标为， ∴点， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴面积的最大值为； （3）解：令，则， ∴点坐标为， 令，则， 解得， ∴点坐标为， 若抛物线与线段有公共点， 当时，如图所示， 则， 解得； 当时，如图所示： 则， 解得； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与一次函数图象的综合，二次函数的最值问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 14．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，． (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，点的平移，关于原点对称的点的坐标特征； （1）求出点坐标，代入求出的值，即可求解； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出的值即可确定点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，即可求得． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 将点代入中，， ， 抛物线的解析式为； （2）设， 将点向上平移个单位长度得到点， ， 关于原点对称的点的坐标为， ， 解得， 或； （3）平移后的抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得， ， ． 15.（2024·河南商丘·二模）综合与实践 数学兴趣小组的同学利用抛物线构造特殊图形，过程如下：直线将抛物线分成两部分，去掉直线左侧的部分，再画出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，组成图形． (1)如图，记直线与抛物线交于点，在抛物线上另取点，，，，它们关于直线对称的点分别为，，，，请将下表补充完整． 抛物线上的点 关于直线对称的点 ________ ________ (2)在给出的平面直角坐标系中画出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，并求出对称图形所在抛物线的表达式． (3)①若图形与直线恰好有三个交点，则的值为________； ②若图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为________． (4)若点，，在图形上，且，，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)图见解析， (3)①3；②或 (4)或或 【分析】（1）与关乎直线对称，因此纵坐标相同，可根据对称轴求出点的横坐标，即可得出点的坐标；同样方法即可求出的坐标． （2）设抛物线剩余部分关于直线的对称图形为，利用描点法即可作出的图像．设的表达式为，将，，代入，利用待定系数法求解即可． （3）①由图知直线经过A点时，图形M与直线恰好有三个交点，求出A点的坐标即可得解． ②分别求出抛物线和L的对称轴，根据二次函数图像的增减性即可得x的取值范围． （4）分三种情况：①当图形与直线恰好有3个交点，即P点与A点重合，F点在上，Q点在L上时，由 ，即可求得F点的坐标；②若F、P在上，Q点在L上，则F点P与点关于对称，P点与Q点关于对称，且，由此列方程组即可求出F点的坐标；③若F在上， P、 Q点在L上，则 F点P与点关于对称，P点与Q点关于对称，且，由此列方程组即可求出F点的坐标． 【详解】（1）∵与关乎直线对称， ∴，， 解得， ； ∵与关乎直线对称， ∴，， 解得， ； 故答案为：， （2）设抛物线剩余部分关于直线的对称图形为， 则的图像如图所示： 设的表达式为： ， 将，，代入，得 ， 解得， ∴的表达式为： ， ∴抛物线剩余部分关于直线的对称图形所在抛物线的表达式为：． （3）①由得时，， ∴， 由图知当时，图形与直线恰好有三个交点， 故答案为：3． ②∵抛物线的对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大； ∵抛物线的对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大； 综上，若图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为：或 故答案为：或 （4）分三种情况： ①当图形与直线恰好有3个交点，即P点与A点重合，F点在上，Q点在L上时， 此时， 由， 得，， ． ②若F、P在上，Q点在L上，则F点P与点关于对称，P点与Q点关于对称，且， ， 解得，，， ， ； ③若F在上， P、 Q点在L上，则F点P与点关于对称，P点与Q点关于对称，且， 则， 解得，，， ， ． 综上，F点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与轴对称、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图像的性质等．熟练掌握二次函数的性质及数形结合法是解题的关键． 16．（2024·河南周口·三模）如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，高度是 米，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在距离柱子1米的位置水流达到最高米，以水流喷出的高度，水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求y与x之间的函数关系式．若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（保留根号） (2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点C离柱子的距离为米，，灯孔P 在边上，灯孔P离地面的距离为 米．若水流恰好落在灯孔P处，求的值． 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是从实际问题中出相处二次函数模型． （1）根据已知条件设顶点式函数解析式，然后令、求出a，得出函数解析式，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可； （2）把代入解析式即可求出点P的横坐标，然后再求值即可． 【详解】（1）在距离柱子1米的位置水流达到最高米， 设y与x之间的函数关系式为： 喷水装置，高度是 米， ， 将 代入 得， ， 解得，            在中， 令，则 解得 ， 又， 水池的半径至少为 米，才能使喷出的水流不至于落在池外． （2）在中， 当 时， ， 解得 ， (舍去)， ． 16．（2024·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ (2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 【答案】(1)护栏的最大高度为米； (2)河水水深至少为米时，喷水水柱刚好落在水面上． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）依据题意得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 再结合函数经过原点，求出的值，得到二次函数的解析式为： 从而可得当时， ，进而可以判断得解； （2）依据题意，可得， 再求得B的坐标为再设的解析式为建立方程组可得进而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为：， ∵函数经过原点， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， ∴当 时， ∴护栏的最大高度为米． （2）解：设点的横坐标为，则， ∵米，坝面的坡比为， ∴， ∴点B的坐标为， 又由题意可知，， 设的解析式为， ， ， ， ， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，， ∴河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上， ∴河水水深为米时，水柱刚好落在水面上． 17．（2024·河南周口·二模）如图，抛物线 交x轴于、B两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在抛物线上，横坐标设为m． ①当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围； ②若抛物线在点 P右侧部分（含点 P）的最高点的纵坐标为，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或2 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与x轴交点问题，解一元二次方程等知识， （1）利用待入系数法求解即可； （2）①首先求出，然后根据图象求解即可； （3）首先得到对称轴为，顶点坐标为，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）由题意，将、两点坐标分别代入已知解析式得； 解得 将代入原解析式得 所求抛物线的解析式为． （2）①由题意，抛物线交轴于、两点，又解析式为，， 令，有，解得，． ． 结合图象，当点在轴上方时，． ②由题意，的对称轴为，顶点坐标为． 当时，点右侧部分（含点的最高点的纵坐标为， ． 当时，点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为， 解关于的方程得： （不合题意，舍去），． 综上，符合题意的为或2． 18．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为 设抛物线的函数表达式为 将代入 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ∴当时， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 19．（2024·河南南阳·三模）如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为． (1)求图 中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米? (3)实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)； (2)； (3)米． 【分析】（）求出点的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把点坐标代入计算即可求解； （）利用（）中所得的二次函数解析式求出点坐标，得出的长，根据即可求解； （）设改进后的抛物线解析式为，把代入可得，进而得到，即可得到米，即得调整后水管的最大长度米； 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴点的坐标为， 由题意可得顶点的坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，有， 解得：，(不合，舍去)， ∴点坐标为， ∴， 此时有， 答：圆形水池的直径不能小于； （3）解：设改进后的抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴改进后的抛物线解析式为， ∴点的坐标为， 即米， ∴调整后水管的最大长度为米． 20．（2024·河南南阳·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 【答案】(1)①；②或 (2) (3)或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质并利用分类讨论是解题的关键． （1）①把抛物线化为顶点式，即可得到答案；②先判断函数的增减性，再求出时的自变量值，据此即可得到答案； （2）把点A坐标代入解析式求出t的值，得到函数解析式，再把顶点B的坐标代入即可求出m的值； （3）分情况利用图象的最低点到x轴的距离为1列方程进行解答即可． 【详解】（1）①当时．， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②当时．， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，解得， ∴当时，或； （2）∵点是该函数图象上不同的两点， ∴把代入得到，，解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∵点是该函数图象上不同的两点， ∴ （3）由题意可得，， 将该函数图像沿y轴向上平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 将该函数图像沿y轴向下平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 综上可知，或或或 21．（2024·河南新乡·三模）【何题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂，图（1）是某学校兴趣小组在科技节制作的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的性能，兴趣小组收集了其飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的对应数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 10 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 10 (1)【建立模型】求y关于t的函数表达式． (2)【深化研究】若水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间，满足关系，求水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离． (3)【反思优化】如图（2），兴趣小组在操场上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹形状不变．可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，P、A、B在同一直线上，已知，，在（2）的条件下，要使水火箭能落到线段上（含端点），请通过计算，直接写出发射平台的高度的取值范围． 【答案】(1)； (2)水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离为； (3)，计算过程见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式、二次函数图象和性质、能够从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键． （1）设y关于t的函数表达式，将点代入解析式，求解即可； （2）由，即，将代入，得，当时，火箭落地，即，解方程即可； （3）设发射平台的高度为，则抛物线向上平移后的解析式为：，当火箭落在端点和时，即点和在抛物线图象上，求出对应的，即是发射平台的高度的取值范围． 【详解】（1）解：由于飞行高度y与飞行时间t的对应数据近似满足二次函数关系，设y关于t的函数表达式， 将点代入解析式得， ， 解得， y关于t的函数表达式为：． （2）解： ，即， 将代入，得， 当时，火箭落地，即， 解得，（舍去）， 水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离为． （3）解：设发射平台的高度为，则抛物线向上平移后的解析式为：， 当火箭落在端点时，即点在抛物线图象上，将代入，即， 解得， 当火箭落在端点时，点在抛物线图象上，将代入，即， 解得， 故发射平台的高度的取值范围为． 21．（2024·河南安阳·二模）阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点．这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等． 如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端．测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米， A， B距离为6米． (1)如图2 ，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．求天线截面的抛物线表达式； (2)距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架和，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离． 【答案】(1) (2)4米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，解题的关键是： （1）由题意知，顶点，抛物线过，设抛物线的函数表达式为，把代入求解a值，进而可得抛物线的函数表达式； （2）将代入得，求出x，根据D，E两点之间的水平距离，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得顶点，，即， 设抛物线的函数表达式为， 则， 解得， ∴； （2）解：根据题意得，D、E的纵坐标， 代入，得， 解得，， ∴D，E两点之间的水平距离为米． 22．（2024·河南洛阳·三模）已知：经过点，． (1)请直接写出函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为仍在原抛物线上．新抛物线与轴交于，． ①求新抛物线的解析式，并直接写出此时时的取值范围； ②若点在上，线段轴，，线段与有两个交点，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；②点横坐标的取值范围为或 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． （1）把，代入求解即可； （2）①先求出，得出平移后的函数解析式为，求出，则可求，利用三角形面积公式求出m，即可求解，观察图象可出当时的取值范围； ②分点C在对称轴的左侧，右侧和点C在顶点处讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：①∵在上， ∴， ∴平移后的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立方程组解得， 所以两函数只相交于点P， 由图象可知：当时，； ②设C的坐标为，则， 当C在对称轴的左侧，即时， ∵线段轴，，线段与有两个交点， ∴D在C的右侧， ∴D的坐标为， 根据题意，得， 解得， ∴； 当C在对称轴的左侧时， ∵线段轴，，线段与有两个交点， ∴D在C的左侧侧， ∴D的坐标为， 根据题意，得， 解得， ∴； 当C在顶点处时，线段与有唯一的交点，故不符合题意，舍去， 综上，点横坐标的取值范围为或． 23．（2024·河南濮阳·二模）濮阳杂技是一项非常古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评． 如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护表演的演员安全．建立如图的平面直角坐标系，已知：点A的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点B，且与y轴交于点时，求出抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若点N的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的关系式为 ，抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台上，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)保护网（线段）的长度至少为9米 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识点， （1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解； （2）由平行于x轴，点N的坐标为，得出点M纵坐标为，代入解析即可得解； （3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过，然后分再经过，两种情况，讨论即可得解 【详解】（1）过点F作轴，过点E作， ∵, ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点F的坐标为， ∵，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线y轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将点和点代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵平行于x轴，点N的坐标为， ∴点M纵坐标为， 当时，代入抛物线解析式得， 解得：（舍去），， ∴，即保护网（线段）的长度至少为9米； （3）由（1）知：，，， ∵发射点F不变， ∴抛物线一定经过， ∴当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， 当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， ∵抛物线必经过平台， ∴． 24．（2024·河南南阳·二模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．    素材 2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．    问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值． 任务 3 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【答案】任务1：；任务 2：喷水口升高的最小值为米；任务3∶建议花卉的种植宽度为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 任务1：依据题意，利用待定系数法即可求解； 任务2：由题意得喷泉池的半径为米，则令，求出值，即可求解； 任务3：根据题意，将抛物线向上平移个单位后，令，求出值，再减去半径即可． 【详解】解∶ 任务1∶ 由题意得，，顶点为， 可设抛物线的函数表达式为， 又抛物线过， ， ， 抛物线的函数表达式为， 任务 2：由题意，喷泉池的半径为米， 令，则， 喷水口升高的最小值为(米)， 任务3∶ 当向上平移个单位， ， 令， 即， 当或(舍去)． (米)． 建议花卉的种植宽度为米． 25．（2024·河南开封·二模）已知二次函数的图象与x轴分别交于点，． (1)求b，c的值． (2)点为抛物线上一个动点，直线经过B，C两点． ①若点C到y轴的距离小于3，请根据图象求出C点纵坐标的取值范围． ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若直线、线段、线段围成的区域（不含边界）内恰有4个整点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】（1）二次函数的图象与x轴分别交于点，，转化方程组解答即可． （2）①根据点C到y轴的距离小于3，得到，结合， 得到抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值，且点与对称轴的距离越大，函数值越小，根据二次函数的增减性计算即可． ②根据整点的个数，确定直线的范围，继而确定的范围即可． 本题考查了待定系数法，函数的增减性，整点，熟练掌握待定系数法，函数增减性是解题的关键． 【详解】（1）把和分别代入得 ， 解得． 故抛物线的解析式为． （2）①∵点C到y轴的距离小于3， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，函数有最大值，且点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵在的范围中， ∴y的最大值为4； ∵， ∴时，函数取得最小值，且为， ∴的取值范围是． ②当时，当直线经过点，内部恰好有四个整点，分别是，符合题意， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得（舍去）； 故， 由直线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得； 当直线经过点，内部恰好有三个整点，分别是，不符合题意， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得（舍去）； 故， 由直线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得； 故． 当时，当直线经过点，内部恰好有四个整点，分别是，符合题意， 由直线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得； 故k的取值范围是或． 26．（2024·河南开封·二模）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离 27 48 63 72 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离y（单位：）与行驶时间t（单位：）之间具有函数关系（、a、b 为常数）； ②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求 y 关于t的函数解析式． 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】任务一 ：；任务二：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】解∶任务一 ：将、代入 得 解得 ∴y 关于 t 的函数解析式为    任务二：不会 ∴当时， 汽车停下， 行驶了， ∵ ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 27．（2024·河南平顶山·二模）图是某广场中的一个景观喷泉，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系，已知中间立柱顶端到水面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点，若水柱上升到最高点时，到水面的距离为，到中间立柱的距离为． (1)求图中第一象限内抛物线的函数表达式． (2)为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出点的坐标，利用顶点式假设出抛物线的解析式，再把点坐标代入计算即可求解； （）利用（）中所得的二次函数解析式求出点坐标，得出的长，根据即可求解； 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴点的坐标为， 由题意可得顶点的坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，有， 解得，（不合，舍去）， ∴点坐标为， ∴，此时有 答：圆形水池的直径不能小于． 28．（2024·河南洛阳·一模）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2      3      4 竖直高度 0                          根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点，则抛物线的对称轴为：直线． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，那么该运动员竖直高度的最大值为，把顶点坐标连同代入所给的函数解析式，求得的值后即可求得相应的函数解析式； （2）落入沙坑，则竖直高度为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得后取正值即为和的长度，比较的大小即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：． ∴该运动员竖直高度的最大值为米． 设函数关系式为：． ∵经过点， ∴， 解得：． ∴函数解析式为：． （2）取． 第一次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ∴． 第二次训练时，． 解得：(不合题意，舍去)，． ， ， ． 29．（2024·河南南阳·一模）【发现问题】北京时间2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕，中国女排在决赛中以击败日本队，以全胜战绩成功卫冕，斩获队史亚运第9冠，爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究， 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为，建立如图所示的平面直角坐标系． 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在上图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由； (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度OA，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度OA的取值范围． 【答案】(1)①见详解；②；③这次发球能过网，理由见详解； (2)． 【分析】（1）①根据图中描的点进行连线即可． ②根据题意，设y与x的函数关系式为，将代入计算即可． ③将代入抛物线解析式，求得y值与2.24比较即可． （2）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，则进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）①轨迹如图； ②根据题意，设y与x的函数关系式为， 将代入关系式，得， 解得， 经检验其它数据也满足上述关系， ． ③当时，， ∴这次发球能过网． （2）当时，抛物线的解析式为， 设击球高度，则平移距离为， 平移后的抛物线的解析式为， ，当时，， ， 当时，， ， 答：击球高度OA的取值范围是． 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图像性质是解题的关键． 30．（2024·河南周口·一模）已知抛物线的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C． (1)直接写出点P的坐标为_____； (2)如图， 若A、B两点在原点的两侧，且， 当时，求 y的取值范围． (3)若线段，点Q为反比例函数 与抛物线 第三象限内的交点，设Q的横坐标为m，当时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用： （1）将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可； （2）根据，结合抛物线的对称轴，求出的坐标，进而求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据，结合抛物线的对称轴，求出的坐标，进而求出二次函数的解析式，进而求出和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴点坐标为； 故答案为：； （2）设， ∵A、B两点在原点的两侧， ∵， ∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为4， 当时，函数值最小为； ∴； （3）∵，且抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入函数解析式得：，解得：， ∴， ∵， ∴当时，，当时，， ∴当反比例函数经过点时，， 当反比例函数经过点时，， ∴． 31．（2024·河南周口·一模）甲、乙两位同学进行抛球训练．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长，球网为，甲同学在点处将球拋出，球抛出点是，球刚好擦网而过，其运动路线为抛物线的一部分，乙同学恰在处接住球，然后挑起将球回传给甲同学，球抛出点在点上方点处，回球路线为拋物线的一部分．（把球看成点） (1)球网的高度不高于多少米？并求的值； (2)若甲同学在轴上方的高度，且到的水平距离不超过的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值． 【答案】(1)球网高度不高于，， (2)的正整数值为4和5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由抛物线的性质得出最高点为即球网高度不高于，再利用待定系数法求出的值即可； （2）由题意得：甲同学接到球的位置坐标在、之间，代入解析式求出的取值范围即可得出答案． 【详解】（1）解：由，最高点为． 所以球网高度不高于． 因为在上， 所以，得， 所以． 因为在上， 所以； （2）解：由题意得：甲同学接到球的位置坐标在、之间，代入． ，； ，． 所以， 故符合条件的n的正整数值为4和5． 32．（2024·河南安阳·一模）某公园内有一个喷泉从垂直于地面的立柱的端点处喷出一个水柱，其形状呈抛物线型，建立如图所示的坐标系，所在的直线是轴，地面上有一个底面为正方形的无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长是米，高米，点，是其底面一组对边的中点，矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点，，都在轴上．已知米，米，抛物线型水柱在距离轴米处到达离地面米的最高点． (1)求抛物线的解析式． (2)该抛物线型水柱是否会把水喷到水池内？请通过计算进行说明． 【答案】(1)； (2)会把水喷到水池内，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数、解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题关键． （1）确定顶点，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）把带入函数解析数，求解，根据实际情况舍弃负值，求解、的长度，确定点、到轴的距离与进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，， 解得，（舍去）， ∵，， ， ∴点到轴的距离是米，点到轴的距离是米， ， ∴该抛物线型水柱会把水喷到水池内． （注：也可以把和分别代入，解得和， 由于，， 所以会把水喷到水池内． 33．（2024·河南濮阳·一模）如图（1），濮阳市市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，H点是下边缘抛物线最高点，上边缘抛物线y₁最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边线l的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由； (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围．说明：运算结果保留2位小数． 【答案】(1)喷出水的最大射程为米 (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带 (3)的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性 质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点的横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 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