1.3数轴在有理数中的六种常见应用（新教材，重难点培优提升）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学上册同步备课系列（人教版2024）

1.3数轴在有理数中的十大常见应用 （新教材，重难点培优提升） 题型一、用数轴表示有理数 1．（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·二模）小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ） A． B． C． D． 3．（2024·河北唐山·二模）如图，数轴上点A，B，C，D 表示四个连续的整数，分别用a，b，c，d 来表示．若， 则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二、用数轴表示相反数 4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 6．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．    (1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值； (2)当点T为原点，且：时，求“□”所表示的数． 题型三、数轴与绝对值的综合问题 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（2024·吉林白城·一模）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 题型四、用数轴进行大小比较 10．（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 题型五、用数轴表示两点间的距离 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上表示数和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 题型六、用数轴判断式子的正负并化简式子 16．（2024·吉林长春·三模）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知：数，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 18．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 题型七、数轴与整数点的覆盖问题 19．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）在数轴上与相距3个单位长度的点有 个，长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点. 20．（23-24七年级上·江苏·周测）用长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖 个整数点． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 题型八、用数轴表示实际问题 22．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）某公路养护小组乘车沿一条东西方向的公路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位:千米）： ，，，，，，，． (1)求B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)若每千米耗油升，每升汽油6元，那么该养护小组当天乘车耗油多少升？花费多少油钱？ 23．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？ (3)已知油箱中要保持不低于的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？ 题型九、数轴与动点的压轴问题 25．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在一条不完整的数轴上有A，B两点，它们表示的数分别为和2．    (1)求线段的长度． (2)A点沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． ①求5秒后A点表示的数． ②求t为何值时，线段的长度为2． 26．（21-22七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 题型十、数轴与新定义综合问题 27．（23-24六年级下·上海·期末）数轴上点P、点A、点B表示的数分别记作p、a、b，如果点P为线段的中点．则有．如：点A、B所表示的数分别和3，如果P是线段的中点，则点P表示的数为：，即点P表示的数为1．此时P到A、B的距离都是2，所以点P是线段的中点． (1)数轴上点C、点D表示分别为，，则线段的中点表示的数是_________； (2)已知数轴上有三点E、F、G，且其中一点是另外两点连线段的中点，若点E、F表示的数分别是和5，求点G所表示的数是多少？ 28．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 一、单选题 1．（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知数轴上有、两点，点在点的右侧，若点、分别表示数、，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若实数满足，且，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．3 4．（2024·河北沧州·一模）如图，M，N为数轴上的两点，P为的中点，点M，N对应的数分别为m，n，且，若将点N沿原点翻折得到点，翻折后的长度为10，则点 P 所对应的数为（   ） A．4 B．5 C． D． 5．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24六年级下·上海·期末）数轴上点A表示的数是，若数轴上点P到点A的距离等于，则点P所表示的数是 ． 8．（2024·河北邯郸·三模）一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折：    ①若与B重合，则C点表示的数是 ． ②若点落在射线上，并且，则C点表示的数是 ． 9．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 10．（23-24六年级下·上海闵行·期末）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数. 12．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）为体现社会对教师的尊重，2023年9月10日“教师节”这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3)若出租车的收费标准是：5千米内（含5千米）只收取起步价8元；超过5千米，则每超过1千米加收元．请你通过计算说明出租车司机小王当天免费教师多少钱？ 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 14．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 15．（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3数轴在有理数中的十大常见应用 （新教材，重难点培优提升） 题型一、用数轴表示有理数 1．（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为个单位长度的点，表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数，数轴和绝对值，根据数在数轴上对应的点在原点左侧，则该数是一个负数，根据该点到原点的距离为个单位长度，则这个数的绝对值是，从而求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵实数在数轴上对应的点在原点左侧， ∴该数是一个负数， ∵该点到原点的距离为个单位长度， ∴这个数的绝对值是， ∴这个数是， 故选：． 2．（2024·吉林长春·二模）小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键． 由题意知，，进而可得A表示的数为． 【详解】解：由题意知，， ∴A表示的数为， 故选：B． 3．（2024·河北唐山·二模）如图，数轴上点A，B，C，D 表示四个连续的整数，分别用a，b，c，d 来表示．若， 则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加法，根据题意得出a、b、c的值是解题的关键． 由题意得出，再逐项判断即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B，C，D表示四个连续的整数，分别用a，b，c，d来表示，， ∴， ∴，，， 故A、B、C不符合题意，D符合题意， 故选：D． 题型二、用数轴表示相反数 4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案． 本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键． 【详解】由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是， 故选：A． 5．（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后求解C即可． 【详解】由数轴的单位长度为1，点、所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，如图所示， 点C表示的数为； 故答案为：． 6．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．    (1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值； (2)当点T为原点，且：时，求“□”所表示的数． 【答案】(1)图见解析，； (2)3 【分析】本题考查了相反数、数轴、一元一次方程、实数的运算，考查运算能力． （1）根据相反数的定义，得到原点O的位置，据此求解即可； （2）根据原点的位置，确定m，n的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵m，n互为相反数， ∴，即点M，N到原点的距离相等， ∴ 原点的位置如图所示：    则； （2）解：∵点 T为原点，则， ∵， ∴， ∴． 题型三、数轴与绝对值的综合问题 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可． 【详解】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数， 所以原点的位置在线段的中点处， ∵离原点越近的点表示的数绝对值越小， ∴表示绝对值最小的数的点是C点． 故选：C． 8．（2024·吉林白城·一模）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断． 【详解】解：由题意得，遮住的数在到之间， ∴遮住的数的绝对值在3到4之间， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 题型四、用数轴进行大小比较 10．（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 11．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）表示数的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示，可得且，，，据此逐项判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，不等式的性质以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【详解】解：根据图示，可得且，，， ， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B不符合题意； ，， ， 选项C符合题意； ，， ， 选项D不符合题意． 故选：C． 12．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，， 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较： （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：原点O如图，    （2）解：， 各点在数轴上表示为：      ∴． 题型五、用数轴表示两点间的距离 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上表示数和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．由数轴上表示数和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022． 【详解】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为， 故选：D． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是求出的长度．根据图1算出的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点表示的数． 【详解】解：图1：， 图， ， 点表示的数是：， 故选：B 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 题型六、用数轴判断式子的正负并化简式子 16．（2024·吉林长春·三模）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴．根据数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， A、∵，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴，故选项C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 17．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知：数，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断实数大小及去绝对值符号的能力．根据数据判断出、、的大小，判断出和的符号，从而成功将绝对值符号去掉进行化简，则可解决此题． 【详解】解：由图示可知，， ，， ，， 原式． 故答案为：． 18．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值． （1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小． （2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，且； ∴；；； （2）解：   ． 故答案为： 题型七、数轴与整数点的覆盖问题 19．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）在数轴上与相距3个单位长度的点有 个，长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点. 【答案】 2 4 【分析】根据该点可能在的左侧，也可能在的右侧，得出点的个数；结合数轴分析长为３个单位的长度的木条放在数轴上所能覆盖的点数即可． 【详解】解：∵该点可能在的左侧，此时该点表示的数为，也可能在的右侧，此时该点表示的数为， ∴在数轴上与相距3个单位长度的点有2个； 长度为3个单位长的木条放在数轴上，最多能覆盖4个表示整数的点． 故答案为：2；4． 【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是注意进行分类讨论，数轴上两点间的距离公式． 20．（23-24七年级上·江苏·周测）用长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖 个整数点． 【答案】或/2021或2020 【分析】本题考查了数轴的性质，画出数轴，按照题意归纳总结，找到规律，得出答案是解答本题的关键． 画出一个数轴，在上面画一个单位长度的线段，可以得到能覆盖或个整数点；画两个单位长度的线段，可以得到能覆盖或个整数点；以此类推，找到规律，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，当起点位于整数点之间时：    长度为个单位，其覆盖了一个整数点； 长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 如图所示，当起点位于整数点上时：    长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点； 长度为个单位，其覆盖了五个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 综上：长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖或个整数点． 故答案为：或． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 题型八、用数轴表示实际问题 22．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）某公路养护小组乘车沿一条东西方向的公路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位:千米）： ，，，，，，，． (1)求B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)若每千米耗油升，每升汽油6元，那么该养护小组当天乘车耗油多少升？花费多少油钱？ 【答案】(1)B地在A地的西面，相距3千米 (2)该维修队耗油升，花费153元油费 【分析】本题主要考查正负数得意义和有理数得加减法，关键是要牢记有理数的加减法法则． （1）根据正负数的意义，将每天的行程相加即可； （2）将每天的行驶路程相加，再乘以，再计算总费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：将每天的行驶记录相加得：千米， 向东为正方向， 向西为负方向， 在地的西边，相距3千米处； （2）解： = =， （升），（元）， 该维修队耗油升，花费153元油费． 23．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是洪山广场站 (2)小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据按照正、负数表示的意义，相加计算即可得到答案． （2）利用正、负数表示站数的意义，相加得出总站数，再乘以平均距离即可得出答案． 【详解】（1）解：． ∴A站是洪山广场站． （2）解：， （千米）． ∴小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米． 24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？ (3)已知油箱中要保持不低于的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？ 【答案】(1)结束服务的“某站”是E站 (2)总路程约是90千米 (3)该汽车油箱能存储油315升 【分析】本题考查了数轴，有理数及绝对值，解题的关键是掌握这些知识点． （1）用原点表示起点位置，再利用有理数的和求解； （2）先用绝对值求出共几个站，再求里程； （3）设该汽车油箱能存储油x升，根据题意得，进行计算即可得． 【详解】（1）解：（站）， 即结束服务的“某站”是E站． （2）解：（站）， （千米）， 即这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米． （3）解：设该汽车油箱能存储油x升， ， 解得，， 即该汽车油箱能存储油315升． 题型九、数轴与动点的压轴问题 25．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在一条不完整的数轴上有A，B两点，它们表示的数分别为和2．    (1)求线段的长度． (2)A点沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． ①求5秒后A点表示的数． ②求t为何值时，线段的长度为2． 【答案】(1)9 (2)①，②或11 【分析】（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可求解； （2）①用点A表示的数加上点A所走的路程即可求解；②根据题意进行分类讨论：当点A运动到点B左边时，当点A运动到点B右边时． 【详解】（1）解：． （2）解：①， ∴5秒后A点表示的数为； ②当点A运动到点B左边时，， 解得：； 当点A运动到点B右边时，， 解得：； 综上：或11． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数右边大于左边． 26．（21-22七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒 【分析】（1）求出点Q运动到原点O时所用时间，再求出点P所走的距离，求出点P表示的数即可； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度，分两种情况列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）当点Q运动到原点O时，点Q运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P所走的距离为：3×10=30，点P表示的数为-40+30=-10； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度， 当点P在点Q左侧时， [20-（-40）]-3x-2x=30， 解得，x=6， 当点P在点Q右侧时， 3x+2x -[20-（-40）] =30， 解得，x=18， 答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P、Q两点间的距离为30个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程，注意分类讨论． 题型十、数轴与新定义综合问题 27．（23-24六年级下·上海·期末）数轴上点P、点A、点B表示的数分别记作p、a、b，如果点P为线段的中点．则有．如：点A、B所表示的数分别和3，如果P是线段的中点，则点P表示的数为：，即点P表示的数为1．此时P到A、B的距离都是2，所以点P是线段的中点． (1)数轴上点C、点D表示分别为，，则线段的中点表示的数是_________； (2)已知数轴上有三点E、F、G，且其中一点是另外两点连线段的中点，若点E、F表示的数分别是和5，求点G所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查数轴上的点，中点的定义，一元一次方程的应用． （1）利用中点的定义解题即可； （2）分为点G是的中点，E是的中点或点F是的中点，分别列方程解题即可． 【详解】（1）线段的中点表示的数是， 故答案为：； （2）设点G所表示的数为， 若点G是的中点，则， 若点E是的中点，则，解得：； 若点F是的中点，则，解得：； ∴点G所表示的数是，或． 28．（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】(1)过4秒或6秒 (2)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 一、单选题 1．（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知数轴上有、两点，点在点的右侧，若点、分别表示数、，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，因为点A在点B的右侧，所以，由，可得，所以，化简得，所以一定为负数． 【详解】解：由题意得，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若实数满足，且，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据数轴找到a得范围，得到的范围，再结合题意得到的范围即可找到b的可能值． 【详解】解：由图像得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2024·河北沧州·一模）如图，M，N为数轴上的两点，P为的中点，点M，N对应的数分别为m，n，且，若将点N沿原点翻折得到点，翻折后的长度为10，则点 P 所对应的数为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，实数与数轴．分在原点的右侧和在原点的左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵点M，N对应的数分别为m，n，且， ∴点M，N在原点的同侧， 当在原点的右侧时，将点N沿原点翻折得到点， ∴， ∵P为的中点， ∴点表示的数为； 当点在原点左侧时：将点N沿原点翻折得到点， ∴， ∴， ∴点表示的数为； 故选D． 5．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】 本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为答案． 【详解】 解：点，之间的距离为5，点对应的数为， 点对应的数为2或， 又点对应的数，点，之间的距离为1， 点对应的数为或， 或9或3或1， 故选：C 6．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴的关系，整式的加减运算．先根据数轴上a，b，c的位置关系得出，再结合各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知： ，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； 根据数轴关系不能得出，C选项错误，不符合题意； ，， ，D选项正确，符合题意； 故选D． 二、填空题 7．（23-24六年级下·上海·期末）数轴上点A表示的数是，若数轴上点P到点A的距离等于，则点P所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的几何意义，有理数的计算，以及简单一元一次方程方程的解法，理解绝对值的几何意义是解题的关键．根据数轴上两点间的距离的意义，列出方程，解出即可． 【详解】解：设点P所表示的数是x， 根据题意得：， ，即， ， 或， 点P所表示的数是或． 8．（2024·河北邯郸·三模）一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，6，现以点C为折点，将数轴向右对折：    ①若与B重合，则C点表示的数是 ． ②若点落在射线上，并且，则C点表示的数是 ． 【答案】 或/或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用．分类讨论，根据与B重合，得到为的中点，计算①，对折得到是解题的关键．根据设点表示的数为，由题意知，分当在线段的延长线上和线段上，两种情况进行讨论，求②即可． 【详解】解：①若与B重合，则：为的中点， ∴C点表示的数是； 故答案为：； ②设点表示的数为，分点在线段的延长线上，点在线段上两种情况求解； 当在线段的延长线上时， ， 点表示的数为， ， ， 解得：； 当在线段上时， ， 点表示的数为， ， ， 解得：； ∴点表示的数是或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 10．（23-24六年级下·上海闵行·期末）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 【答案】5或 【分析】本题主要考查数轴上动点问题以及一元一次方程的应用，根据题意表示出，，分以下两种情况讨论，当点在点右侧，得到，，当点在点左侧，得到，，再结合“”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，， 原点为O， 当点在点右侧， 有，， ， ， 解得， 当点在点左侧， 有，， ， ， 解得， 故答案为：5或． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为若将长方形沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P，请求出P点所对应的数. 【答案】7082 【分析】本题主要考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键． 根据长方形的周长及的长求出、的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，再计算，最后计算P点所对应的数． 【详解】解：∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵点A对应的数为， ∴点对应的数为5， 翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为； 翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为； ∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2， ∴， ∴翻滚2022次有1011个周期， ∴， ∴P点所对应的数为． 故答案为：7082． 12．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）为体现社会对教师的尊重，2023年9月10日“教师节”这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ (3)若出租车的收费标准是：5千米内（含5千米）只收取起步价8元；超过5千米，则每超过1千米加收元．请你通过计算说明出租车司机小王当天免费教师多少钱？ 【答案】(1)小王在出车地点西边，距出车地点的距离是25千米 (2)升 (3)124元 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的加减法的应用，有理数混合运算的应用： （1）把所给的行程记录相加即可得到答案； （2）先求出总路程，再根据单位耗油量乘以行驶路程等于总耗油量进行求解即可； （3）用总的起步价加上每次加收的费用列式计算即可． 【详解】（1）解；（千米）， ∴最后一名老师送到目的地时，小王在出车地点西边，距出车地点的距离是25千米 （2）解： （升）， ∴这天下午汽车共耗油升； （3）解： （元）， ∴出租车司机小王当天免费教师124元． 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1) (2)存在，x的值为2或 (3)24 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置． （1）根据题意可得，利用中点解题； （2）此题分为三种情况，当P在之间时，当点P在B的右边时，当点P在A的左边时，分别列出方程求解即可； （3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：进而求出即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴， ∴点P对应的数为； （2）解：①当P在之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合， ∴，解得， 由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 14．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 15．（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． ( 31 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$