专题1.3纯函数性质及计算证明与最值、自变量、参数的范围压轴问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题1.3纯函数性质及计算证明与最值、自变量、参数的范围压轴问题 目录 类型一、求二次函数的对称轴及自变量的取值范围 2 类型二、利用二次函数的对称轴求最值 2 类型三、利用一般式的性质比较函数值及求字母的范围 2 类型四、已知自变量的范围求最值 3 类型五、已知函数值的范围求参数 3 类型六、已知自变量和函数值的范围求参数范围 3 类型七、已知自变量和最值的差求参数范围 4 类型八、已知自变量的范围证明最值之间的关系 4 类型九、已知点都在函数图象上求参数的范围 4 类型十、根据参数和自变量的范围比较函数值 5 类型十一、根据增减性和最值求参数 5 类型十二、纯函数性质的计算与推理和新定义综合问题 5 压轴能力测评（精选浙江地区模拟、阶段性考试25道） 6 1.二次函数的对称轴是x=，顶点坐标是（，），具有以下性质： （1）当a＞0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （2）当a＜0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， （3）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 类型一、求二次函数的对称轴及自变量的取值范围 例1．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数（，b，c是实数），其图象上有两点，且图象的对称轴为直线． (1)当时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值． (2)点在函数图象上，若，求t的取值范围及的取值范围． 类型二、利用二次函数的对称轴求最值 例2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的表达式． (2)若和都是二次函数图象上的点，且，求 的最小值． (3)若点和都在二次函数的图象上，且． 对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为多少？ 类型三、利用一般式的性质比较函数值及求字母的范围 例3．（2024·浙江·一模）已知二次函数的图象与y轴相交于点． (1)若，求该二次函数的最小值； (2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系； (3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围 类型四、已知自变量的范围求最值 例4．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围； (3)若时，函数的最小值为，求的值． 类型五、已知函数值的范围求参数 例5．（2024·浙江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)求的最大值； (3)若，求m的取值范围． 类型六、已知自变量和函数值的范围求参数范围 例6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值； (2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 类型七、已知自变量和最值的差求参数范围 例7．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 类型八、已知自变量的范围证明最值之间的关系 例8．（2024·浙江温州·二模）已知抛物线（，a，b均为常数）过点． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴． (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标． (3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：． 类型九、已知点都在函数图象上求参数的范围 例9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求出的值． (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且求的取值范围． 类型十、根据参数和自变量的范围比较函数值 例10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数与一次函数，令． (1)若的图象交于轴上的同一点．①求的值；②当为何值时，的值最大，试求出该最大值． (2)当，时，有最小值为，求的值． (3)当时，时，试比较的大小． 类型十一、根据增减性和最值求参数 例11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数（a为常数）． (1)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (2)若二次函数在时有最大值3，求a的值． 类型十二、纯函数性质的计算与推理和新定义综合问题 例12．（23-24九年级上·浙江·期末）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，…，都是“美丽点”． (1)直接写出抛物线上的“美丽点”为 ． (2)若二次函数的图象上无“美丽点”，则的取值范围为 ． (3)已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 压轴能力测评（精选浙江地区模拟、阶段性考试25道） 一、解答题 1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 2．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知． (1)若，求该二次函数的最小值． (2)求证：． (3)若点A位于点之间，求证：． 3．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． (3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 4．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数（a为实数，）． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 5．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 6．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 7．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 8．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 9．（2022·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于，，都有，求t的取值范围． 10．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过原点O和点，其中． (1)当时 ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (2)当时，在范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 11．（2024·浙江·一模）已知二次函数（是常数，）． (1)若，求该函数图象顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； (3)若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值． 12．（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(、为常数)的对称轴为直线，且经过点． (1)求此抛物线对应的二次函数解析式； (2)当时，二次函数的最大值是______，最小值是______； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在抛物线上，横坐标为，过点作直线平行于轴，交抛物线于另一点．抛物线上另有两点、，横坐标分别为和，、两点之间的部分不包括、两点记作图象．若图象上恰好有三个点到直线的距离为，请直接写出的取值范围． 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． 求关于的函数解析式；求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ 当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 14．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数． (1)若它的图像经过点，求该函数的对称轴． (2)若时，y的最小值为1，求出t的值． (3)如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）． (1)当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式． (2)若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：． 16．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式． (3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值． 17．（2023·浙江舟山·模拟预测）二次函数过点 (1)求二次函数的解析式； (2)若点A和点B都在二次函数图像上，求最小值； (3)一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中．其中点A是二次函数图像上一点，点B是图像上一点．若，求m的取值范围． 18．（2023·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)直接写出，当x取何值时，函数有最大或最小值是多少； (2)把抛物线沿着x轴方向平移，使得平移后的抛物线过点，求平移的方向与距离； (3)点，在抛物线上，其中，，若对于，，都有，求t的取值范围． 19．（2023·浙江·三模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)当时，函数值的最大值与最小值的和为6，求的值； (3)当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 20．（2023·浙江舟山·三模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式． (2)若时，，则d的取值范围是______． (3)点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值． 21．（2023·浙江温州·二模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线解析式及对称轴． (2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围． 22．（2023·浙江丽水·二模）二次函数的图象与轴交于点且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最小值为，求的值； (2)若，求证：． 23．（2023·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若图像经过点，求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)当时，，求a和m的值． 24．（2023·天津南开·二模）已知抛物线（，，是常数）的开口向上且经过点，． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若二次函数在时，的最大值为2，求的值； (3)若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围． 25．（2023·浙江温州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，且． (1)求该二次函数的表达式． (2)已知点在对称轴的异侧，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，设，的最小值分别为，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3纯函数性质及计算证明与最值、自变量、参数的范围压轴问题 目录 类型一、求二次函数的对称轴及自变量的取值范围 2 类型二、利用二次函数的对称轴求最值 3 类型三、利用一般式的性质比较函数值及求字母的范围 5 类型四、已知自变量的范围求最值 6 类型五、已知函数值的范围求参数 7 类型六、已知自变量和函数值的范围求参数范围 9 类型七、已知自变量和最值的差求参数范围 10 类型八、已知自变量的范围证明最值之间的关系 11 类型九、已知点都在函数图象上求参数的范围 12 类型十、根据参数和自变量的范围比较函数值 14 类型十一、根据增减性和最值求参数 15 类型十二、纯函数性质的计算与推理和新定义综合问题 16 压轴能力测评（精选浙江地区中考模拟、阶段性测试25道） 19 1.二次函数的对称轴是x=，顶点坐标是（，），具有以下性质： （1）当a＞0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增； 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （2）当a＜0时，在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减； 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， （3）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 类型一、求二次函数的对称轴及自变量的取值范围 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数（，b，c是实数），其图象上有两点，且图象的对称轴为直线． (1)当时，求二次函数图象与y轴交点的坐标及t的值． (2)点在函数图象上，若，求t的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)；2 (2)的取值范围为，的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）当时，，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； （2）解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 类型二、利用二次函数的对称轴求最值 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的表达式． (2)若和都是二次函数图象上的点，且，求 的最小值． (3)若点和都在二次函数的图象上，且． 对于某一个实数，若的最小值为1，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象上点的坐标特征得出，由可知，即可求得，利用二次函数的性质即可求得最小值； （3）由题意可知当点和在对称轴的同侧时的值最小，当点和在异侧是的值最大，据此求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数的图象过点， ， ， 二次函数的表达式为； （2）解：，和，都是二次函数图象上的点， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是； （3）解：抛物线， 图象开口向上，对称轴为直线， 点和都在二次函数的图象上，且．对于某一个实数，若的最小值为1， 点和在对称轴的右侧，此时，则， ①，②， ②①得， ， 此时点，和，， 当点是点，的对称点时，则的值最大， 对称轴为直线， 点，的对称点为，， 此时， 的最大值为：． 类型三、利用一般式的性质比较函数值及求字母的范围 3．（2024·浙江·一模）已知二次函数的图象与y轴相交于点． (1)若，求该二次函数的最小值； (2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系； (3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象与轴相交于点，从而求出，又，可得二次函数的解析式，再化成顶点式，进而可得最小值得解； （2）依据题意，由，从而可得对称轴直线，再结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解； （3）依据题意得，由点都在该二次函数图象上，代入解析式可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点， ∴． 又， ∴二次函数为． 又， ∴当时，取最小值为． （2）∵， ∴对称轴直线． ， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ． （3）由题意得，①，②， ∴得，， 则； 得，， 则，可得或(舍去)． 综上可得，． 类型四、已知自变量的范围求最值 4．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)求的值： (2)当时，求的取值范围； (3)若时，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟悉二次函数的图象与性质是关键，第三问注意分类讨论． （1）把点的坐标代入二次函数解析式中即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，确定抛物线的对称轴，结合二次函数图像的特点即可求解； （3）分三种情况讨论：，，，结合二次函数图像的特点即可完成． 【详解】（1）解：把点的坐标代入二次函数中，得， ∴； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，且，开口向上， ∴当时，函数在时取得最小值，在时取得最大值， 即的取值范围为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，则， 当时，函数值随自变量的增大而减小，函数在时取得最小值， 即， ∴， 而，不符合题意； 当时，则， 当时，函数在时取得最小值， 即，解得：（舍去） ∴； 当时，则， 当时，函数值随自变量的增大而增大，函数在时取得最小值， 即， ∴； 综上，或3． 类型五、已知函数值的范围求参数 5．（2024·浙江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)求的最大值； (3)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)46 (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线：，把代入求出m的值即可； （2）根据，得出，求出，，得出求出最大值即可； （3）根据，，，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得，二次函数的对称轴为直线：， 当时，， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， 把A，B坐标分别代入得， ， ， ∴ ， ∵， ∴时，最大值为46； （3）解：根据解析（2）可知，，， ∵， ∴， 解得：或． ∴m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，求不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确计算． 类型六、已知自变量和函数值的范围求参数范围 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值； (2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）①把解析式化为顶点式求出顶点坐标，再根据顶点纵坐标为3进行求解即可；②分当时，当时，两种情况根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴的交点坐标是， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵该函数的图像的顶点纵坐标为3， ∴， ∴； ②∵二次项系数大于0， ∴二次函数开口向上， ∵当时，y的取值范围是， ∴当时，， ∴或（舍去）， 则； 当时，或（舍去）， 综上：， ∴． 类型七、已知自变量和最值的差求参数范围 7．（2024·浙江温州·三模）二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 类型八、已知自变量的范围证明最值之间的关系 8．（2024·浙江温州·二模）已知抛物线（，a，b均为常数）过点． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴． (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标． (3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入函数解析式即可得到a，b之间的数量关系，再根据二次函数的对称轴求解即可； （2）把二次函数化为顶点式，根据函数y的最大值为5求出a的值，即可得到与y轴的交点坐标； （3）根据二次函数的性质求出当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故，函数y的最小值为当时的函数值，故，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（，a，b均为常数）过点． ∴ 整理得，， ∴ ∵． 即该抛物线的对称轴为． （2）∵， ∴ ∵函数y的最大值为5，与y轴的交点坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． （3）证明：∵， ∴抛物线开口向下， ∴当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故， 函数y的最小值为当时的函数值，故， ∴ 类型九、已知点都在函数图象上求参数的范围 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求出的值． (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的值为； (3)的取值范围是或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 将点的坐标代入即可解决问题； 根据抛物线的对称轴为直线，对的取值范围进行分类讨论即可解决问题； 由，两点的纵坐标相等，可得出，再根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入函数解析式得， ， 解得． （2）解：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向上， 所以当时， ， 解得舍负． 当时， ， 解得舍去， 所以的值为． （3）解：由，两点纵坐标相等可知， ， 即, 将点坐标代入函数解析式得， ， 又∵， ∴ ， 解得， 所以， ∵， ∴点离抛物线的对称轴比点离抛物线的对称轴近， 则， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 综上所述，的取值范围是或． 类型十、根据参数和自变量的范围比较函数值 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的二次函数与一次函数，令． (1)若的图象交于轴上的同一点．①求的值；②当为何值时，的值最大，试求出该最大值． (2)当，时，有最小值为，求的值． (3)当时，时，试比较的大小． 【答案】(1)①；②当时有最大值， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质和分类讨论是解题的关键． （1）①先求出与轴的交点为，把点的坐标代入二次函数解析式即可解得．②由得到，则，根据二次函数的图象和性质得到答案； （2）根据二次函数的性质得到在的范围内，随的增大而减小，则当时有最小值，即，即可解得； （3）根据二次函数解析式和性质得到对称轴为直线．与y轴交点的横坐标为则在范围内，随着的增大而减小，分三种情况进行分析即可得到答案． 【详解】（1）①当时，则， ∴与轴的交点为， 把代入得， 解得． ②∵， ∴， ∵， ∴当时有最大值，． （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴在的范围内，随的增大而减小， ∴当时有最小值， 即， 解得． （3）∵的对称轴为直线，， ∴对称轴为直线．当时， ∴在范围内，随着的增大而减小， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 类型十一、根据增减性和最值求参数 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数（a为常数）． (1)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． (2)若二次函数在时有最大值3，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． （1）由可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线，根据二次函数的性质得到，即可求解； （2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解∶抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向上，当时，二次函数随的增大而减小， 时，此二次函数随着的增大而减小， ， 即； （2）由题意得∶， 二次函数在时有最大值3， 当时，开口向上， 当时，有最大值， ， ； 当时，开口向下， 当时，有最大值， ， ， 综上，或． 类型十二、纯函数性质的计算与推理和新定义综合问题 12．（23-24九年级上·浙江·期末）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，…，都是“美丽点”． (1)直接写出抛物线上的“美丽点”为 ． (2)若二次函数的图象上无“美丽点”，则的取值范围为 ． (3)已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）将和分别代入，再根据二次函数的图象上无“美丽点”，可得，计算即可； （3）将代入可得，再由的图象上只有三个“美丽点”，可得对应的一元二次方程必有一个两个相等的实数根，可求得、，进而可求得取值范围． 【详解】（1）解：当时，有， ， 或， 当时，有， ， 或， “美丽点”为， 故答案为：； （2）解：当时，有， 的图象上无“美丽点”， ， ， ， 当时，有， 的图象上无“美丽点”， ， ， ， 的取值范围为：， 故答案为：； （3）解：一个“美丽点”是， ， ， 的图象上只有三个“美丽点”， 对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键． 压轴能力测评（精选浙江地区中考模拟、阶段性测试25道） 1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①先表示出，，由得到或，当时，有，解得：，则，可得，故；当时，有，解得：，故，因此可求，综上所述，；②将点代入，得：，求出，将代入①可得：，求出m关于的二次函数，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的函数表达式； （2）①解：∵， ∴， 而二次函数，且过点， ∴，， ∵ ∴或， 当时，有 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， ∴， 当时，有， 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， 综上所述，； ②将点代入， 得：， 由②①得：， ∴， 将代入①可得：， ∴， ∴，m取得最大值为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，借助于图像求解集，难度较大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 2．（2024·浙江杭州·三模）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（是常数）的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，已知． (1)若，求该二次函数的最小值． (2)求证：． (3)若点A位于点之间，求证：． 【答案】(1)二次函数的最小值为； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点和的坐标代入即可求出解析式，然后配方得到最小值即可； （2）将点B的坐标代入得到，然后代入关系式为，然后求出点A和点C的坐标即可解题； （3）由题可得整理相加即可得到结论． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得， ∴， ∴二次函数的最小值为； （2）证明：把代入得：， ∴， ∴， 令，则，解得或， ∴点A的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：由题可知：，即 两式相加得． 3．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． (3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点： （1）将代入解析式，将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）令，求出判别式，进行判断即可； （3）利用二次函数图象的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）令， 则：， 所以无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． （3）把代入解析式得：， ∴， ∴当时，有最大值为． 4．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数（a为实数，）． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 【答案】(1)对称轴直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将两点式转化为一般式，再转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的对称性和增减性，求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴直线，顶点坐标为． （2）令，则：， ∴点关于对称轴对称， ∴和在对称轴的两侧， ∴关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． ∵， ∴． 解得：（不合题意，舍去） ∴． 5．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再表示出，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【详解】（1）解：函数图象经过点， ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：函数图象经过点，， ，， ， ， ； （3）解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况：设函数图象经过点，，． 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， 当时， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，或． 6．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)5 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入，即可求得a和b的关系式； （2）根据第（1）问得到的结果，二次函数即为，对称轴为直线，分别讨论当时，对称轴直线在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；当时，在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出； （3）若时，则二次函数为，平移后的解析式为，设，则，则，可求出、坐标，代入即可求出m． 【详解】（1）∵ 的图象经过点． ， ； （2）∵ 对称轴为直线， ①当时，对称轴直线在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， ②当时，在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， 或 （3）若时，则二次函数为，将函数图象向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为， 设，则． ， ， ，， 将或代入，得， 解得． 7．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴：直线，最小值 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把已知点的坐标代入中求出的值，从而得到二次函数解析式； （2）把化为顶点式即可． （3）把代入解析式得，且满足，即可求出a的值. 【详解】（1）解：因为函数图象经过点，所以可得：， 解得：，， 因为，所以， 所以． （2） ， 该函数图象的对称轴：直线，最小值． （3）∵函数图象经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大值为，当时，最大值为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）把代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）把代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值； （3）当时，二次函数的表达式为，联立方程组求得点A、B坐标，设过点P的直线表达式为，分别求出直线和与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点P坐标为，根据得到点P在直线运动，求出点C与D重合时的点P坐标为，结合图象即可求得点P的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 顶点坐标为：； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当即时，时，y取最大值； 当即时，时，y取最大值； （3）解：当时，二次函数的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴，， 设过点P的直线表达式为， 联立方程组，得， 当直线与抛物线有且只有一个交点A时， 根据一元二次方程根与系数关系得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 同理可得当直线与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为， 联立方程组，解得， 此时与重合，点P坐标为； ∵， ∴点P在直线运动， ∴当点C与D重合时，点P和点C、D重合，即点P在抛物线上，此时点P坐标为， ∵， ∴由图可知，点P的纵坐标的取值范围为． 9．（2022·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；②或． 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案； ②先由得出，最后分两种情况，利用，，即可求出答案． 此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，， 当时，， 即的最大值为2； ②点，，，在抛物线上， ，， 对于，，都有， ， ， Ⅰ、当时， 由①知，， ，， ， ， 由②知，， ，， ， ， ， 即； Ⅱ、当时， 由得：， ，， ， ， 由知，， ，， ， ， ， 即； 即满足条件的的取值范围为或． 10．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过原点O和点，其中． (1)当时 ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． (2)当时，在范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；当时，有最大值为；； (2)，． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； 根据和时，函数值相等，得出等式，然后整理化简即可得到m与n之间的关系式； （）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解： 当时，， 把、代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵和时，函数值相等， ∴， 整理得，， ∵，则， ∴， ∴． （2）解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过原点和点， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 即， 整理得，， ∴或， ∵ ∴， ∴或不合，舍去； 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，，． 11．（2024·浙江·一模）已知二次函数（是常数，）． (1)若，求该函数图象顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； (3)若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将代入即可； （2）先将解析式因式分解为，后发现不可能经过点，，故经过，代入即可； （3）先根据题意用含的式子表示出，在用的式子表示，最后根据的取值范围即可求出其最小值． 【详解】（1）解： 该函数图象顶点坐标为； （2） 当时，，故不过点 当时，，故不过 过点 将点代入得 ； （3） 对称轴为 ，抛物线开口向下 时，的最大值记为，最小值记为 时， 时， 当时，有最小值，为． 12．（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(、为常数)的对称轴为直线，且经过点． (1)求此抛物线对应的二次函数解析式； (2)当时，二次函数的最大值是______，最小值是______； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在抛物线上，横坐标为，过点作直线平行于轴，交抛物线于另一点．抛物线上另有两点、，横坐标分别为和，、两点之间的部分不包括、两点记作图象．若图象上恰好有三个点到直线的距离为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)， (4)， 【分析】本题考查了二次函数综合问题； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）分三种情况同理，①当时，时取最大值，时取最小值，②当，且，即时，③当，且，即时，根据二次函数的最大值和最小值的差为，列出方程，解方程，即可求解； （4）设，则直线为，根据图象上恰好有三个点到直线的距离为，得出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且经过点， ， 解得， 抛物线对应的二次函数解析式为； （2）， 抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，取最大值； ， 当时，取最小值； 故答案为：，； （3）①当时，时取最大值，时取最小值， 最大值和最小值的差为， ， 解得； ②当，且，即时， 时取最大值，时取最小值， ， 解得舍去或舍去； ③当，且，即时， 时最大值是，时取最小值， ， 解得舍去或舍去； 当，即时，时最大，时最小， ， 解得； 综上所述，的值为或； （4）抛物线上有两点、，横坐标分别为和， ，，，； 点在抛物线上，横坐标为， ， 平行于轴， 直线为， 如图： 图象上恰好有三个点到直线的距离为， ， 解得或． 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． 求关于的函数解析式；求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ 当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)；当时，有最大值为；； (2)，． 【分析】（）当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； 根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 当时，， 把、代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵和时，函数值相等， ∴， 整理得，， 解得（不合，舍去）或， ∴的值为； （2）解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过原点和点， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 即， 整理得，， ∴或， ∵ ∴， ∴或不合，舍去； 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，，． 14．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数． (1)若它的图像经过点，求该函数的对称轴． (2)若时，y的最小值为1，求出t的值． (3)如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)对称轴：直线； (2)； (3)是，． 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． （1）把代入解析式求出，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及时，由函数的性质可知，当时，的最小值为1，然后求即可； （3）两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出再令并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出． 【详解】（1）解：将点代入二次函数，得 ， 解得：， 对称轴直线为： ． （2）解：当时，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值， ∵时，的最小值为1， ∴当时，， 解得：． （3）解：是定值，理由： ∵，两点都在这个二次函数的图象上， ， 令，整理得： ， ∵直线与该二次函数交于，两点， ∴是方程的两个根， 是定值． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，设函数（m，n是实数）． (1)当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式． (2)若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． (3)若该函数的图象经过，两点（a，b是实数）．当时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解； （3）把，两点代入，表示出和，然后将配方可得． 【详解】（1）解：当时，则， 把点代入得，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ∴， ∴； （3）证明：∵函数的图象经过，两点（是实数）， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 16．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式． (3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可； （2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可； （3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分 、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当，时，， ∴此时该函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象经过点， ∴，则， ∵该二次函数图象的顶点坐标是， ∴，， ∴，， ∴，即； （3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下， ∵， ∴当即时，该函数的最大值为，即， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当即时，时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去； 当即时，时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 解得，符合题意， 综上，满足条件的c的值为2． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键． 17．（2023·浙江舟山·模拟预测）二次函数过点 (1)求二次函数的解析式； (2)若点A和点B都在二次函数图像上，求最小值； (3)一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中．其中点A是二次函数图像上一点，点B是图像上一点．若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把已知点的坐标代入中，求出的值即可； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到，，则，然后利用二次函数的性质解答即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，再求出点关于对称轴的对称点的坐标为，则，即或，求出不等式的解集即可 【详解】（1）把代入得， ， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）∵点A和点B都在二次函数图像上， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为:； （3）∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴表示点与点的距离， ∴， 整理得，， 即或， 解方程得，，， ∴的解集为或； 解方程得，， ∴的解集为； 综上，的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件选择恰当的方法设出函数关系式，从而代入数值求解，同时也考查了一次函数，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征等． 18．（2023·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)直接写出，当x取何值时，函数有最大或最小值是多少； (2)把抛物线沿着x轴方向平移，使得平移后的抛物线过点，求平移的方向与距离； (3)点，在抛物线上，其中，，若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)当x=1值时，函数有最大是2 (2)向右平移1个单位或向左平移3个单位 (3)或 【分析】（1）根据，二次函数有最大值计算即可； （2）根据平移后过点，令求出的值即可得解； （3）把点和点代入到解析式中，根据对于都有>，可得出>，化简得到不等式组求解即可； 【详解】（1）∵二次函数解析式为， ∴当值时，函数有最大是2； （2）∵平移后过点， ∴当时，， 解得，； ∴向右平移1个单位或向左平移3个单位； （3）∵=，=， 又∵对于都有>， ∴>， ∴<， ∴<， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴. 【点睛】本题主要考查了二次函数最大值，二次函数图象平移和函数图象性质，结合不等式和一元二次方程求解是解题的关键． 19．（2023·浙江·三模）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)当时，函数值的最大值与最小值的和为6，求的值； (3)当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式，进行计算即可解答； （2）由函数的开口方向和对称轴可得函数的最大值为，最小值为，由函数值的最大值与最小值的和为6，可得，求解即可得到答案； （3）分①，②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则当时，，当时，；分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ， ； （2）解：，对称轴为， 当时，，当时，， 函数值的最大值与最小值的和为6， ， 解得：， （3）解：由（1）得抛物线为：， 抛物线与轴有且只有一个交点， ①， 解得：， ②当时，抛物线与轴有且只有一个交点， ， 解得：， 的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题，解题的关键是综合应用二次函数的性质． 20．（2023·浙江舟山·三模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式． (2)若时，，则d的取值范围是______． (3)点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为，把代入求出，，根据时，，得出时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围； （3）分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即时，当点P在顶点与点A之间，即时，当点P在点A的左侧，即时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：把点，点B，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴的最小值为， 把代入得， 解得：，， ∵时，， ∴时，函数能够取到最小值， ∴； 故答案为：． （3）解：当点P在顶点的右侧，即时，    此时函数能够取到最小值， ∵图象G的最大值和最小值差是5， ∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为， 把代入得，， 解得：或（舍去）； 当点P在顶点与点A之间时，即，图象G的最大值和最小值差不可能是5； 当点P在点A的左侧，即时，    此时函数的最小值为0， ∵图象G的最大值和最小值差是5， ∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为， 把代入得，， 解得：或（舍去）； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 21．（2023·浙江温州·二模）已知抛物线经过点，． (1)求抛物线解析式及对称轴． (2)关于该函数在的取值范围内，有最小值，有最大值1，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为，对称轴为； (2) 【分析】（1）把点，，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意画出图象，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线，得 ， 得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为：； （2）解：如图，由抛物线的对称性可画出草图，    由图象可知：当时，y的最小值为，最小值为1， ∴当时，对应的函数的的最小值为，最小值为1，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 22．（2023·浙江丽水·二模）二次函数的图象与轴交于点且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最小值为，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；②或 (2)见解析 【分析】（1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意， 解得， ② 若，即， 当时，， 解得：（舍去）或； 若，即， 当时，， 解得：（舍去）； 若， 当时，， 解得：（舍去）或； 综上所述：或． （2）∵，   ∴   ∴ 由题意得：，， ∴， ∴     ∴ ∵　 ∴　即 ∴把，代入 得； ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 23．（2023·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若图像经过点，求该二次函数的表达式及顶点坐标． (2)当时，，求a和m的值． 【答案】(1)二次函数表达式为：，顶点坐标为； (2)，． 【分析】（1）利用二次函数性质直接将点代入求解参数即可求出表达式，再根据二次函数的顶点公式求出顶点即可； （2）根据二次函数最值只能在顶点或两侧端点分类计算，由范围找到对应关系，列式计算，最后验证即可． 【详解】（1）将点代入二次函数中得： 二次函数表达式为：， ， 顶点坐标为； （2）二次函数最值只能出现在端点或顶点， 时，， 时，， 时，； ， ， 时，只有时，成立， 时，， 解得， 代入得： ， 解得或， ， ， 检验，对称轴为， 时，顶点处函数值最小为1，时，函数值最大为9，符合要求， 故，． 【点睛】本题主要考查不定的二次函数在不定范围下的最值问题，通常根据二次函数的最值只能出现在两侧端点或顶点，根据可能的对应关系，可以先分类讨论计算，得到确定的函数解析式，再根据实际图像计算最值情况，检测是否可取．且开口向上顶点处不作最大值，开口向下顶点处不作最小值，可用来进行一些对应关系的筛选． 24．（2023·天津南开·二模）已知抛物线（，，是常数）的开口向上且经过点，． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若二次函数在时，的最大值为2，求的值； (3)若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，或者 【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可； （2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论①若时，②若，③，计算即可； （3）先利用待定系数法求出射线的解析式为，且．根据抛物线的解析式为，，，可得．又射线与抛物线在范围内仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，整理得在的范围内仅有一个根，即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点．化为顶点式为，且，可得抛物线对称轴为：，顶点坐标为：，即当抛物线顶点在x轴下方且对应的函数值小于0；或者顶点坐标在x轴上即可，问题随之得解． 【详解】（1）根据抛物线开口朝上有：， ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即抛物线此时的顶点坐标为：； （2）由（1）可得，且， 即在范围内，的最大值只可能在或处取得． 当时，， 当时，． ①若时，即时，得， ∴，得． ②若，即时，得，此时，舍去． ③，即时，得， ∴，，舍去． ∴综上知，的值为． （3）设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 即射线的解析式为，且． 又∵抛物线的解析式为，，， ∴． 又∵射线与抛物线在范围内仅有一个交点， 即方程在的范围内仅有一个根， 整理得在的范围内仅有一个根， 即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点． ∵，且， ∴抛物线对称轴为：，顶点坐标为：， ∴当抛物线顶点在x轴下方且对应的函数值小于0；或者顶点坐标在x轴上即可． 即时，， 即：，或者， 解得：，或者， 综上的取值范围为，或者． 【点睛】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键． 25．（2023·浙江温州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，且． (1)求该二次函数的表达式． (2)已知点在对称轴的异侧，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，设，的最小值分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法得到二次函数的解析式即可； （2）根据函数解析式得到二次函数有最大值，进而得到最小值为，将代入解析式是得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴． （2）解：∵在对称轴异侧，且， ∴最大值为3， ∵最大值与最小值的差为5， ∴最小值为， 把代入， 得， ∴， ∴由图象得最小值，此时对应最小值， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$