专题1.4二次函数的应用（常考六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题1.4二次函数的应用（常考六大类型） 目录 类型一、二次函数的应用：面积问题 1 类型二、二次函数的应用：动点问题 3 类型三、二次函数的应用：销售问题 4 类型四、二次函数的应用：拱桥问题 6 类型五、二次函数的应用：投球问题 7 类型六、二次函数的应用：喷水问题 9 压轴能力测评（精选浙江模拟18道） 11 1.利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 2.几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． 3.构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问 类型一、二次函数的应用：面积问题 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 2．（22-23九年级上·福建龙岩·期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）    设计方案 小成 小韩 小林 （米 的长（米） （   ） （   ） （   ） (1)用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米． (2)若固定不变． ①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值． ②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱． ③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值． (3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？ 类型二、二次函数的应用：动点问题 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，点是边上任意一点点与点，不重合，矩形的顶点，分别在，上． (1)若：：，求； (2)已知，设，矩形的面积为，求与的函数关系式，在为多少时取得最大值，并求出最大值是多少． 6．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 类型三、二次函数的应用：销售问题 7．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）小区一水果店购进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每千克40元．水果店老板发现：销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系可近似地看作一次函数，且当时，；当时，，且． (1)求y关于x的函数解析式： (2)如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每千克多少元． (3)当蟠桃售价每千克多少元时，利润最大，最大利润是多少元． 8．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值： (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．则工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ 9．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用） 年销售量（万件） 20 40 总销售额（万元） 560 1040 (1)求与以及与之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 类型四、二次函数的应用：拱桥问题 10．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 11．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 12．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 类型五、二次函数的应用：投球问题 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 14．（2024·浙江杭州·二模）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 15．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 类型六、二次函数的应用：喷水问题 16．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 17．（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱 达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 18．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看做一条抛物线．该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米，将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为的坡地绿植．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离； (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期．园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带．这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率．若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 压轴能力测评（精选浙江模拟18道） 一、解答题 1．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 2．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． (1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； (2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表． t（秒） 0 0.4 0.8 1 1.2 1.6 … s（米） 0 0.016 0.064 0.1 0.144 0.256 … (1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式； (2)经过多少秒时，路程为0.225米？ (3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度） 5．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 6．（2024·浙江·模拟预测）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超过1人，票价就减少2元，（例如：闭体人数20人，票价降价：元，就按每人180元付款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人． 问题： (1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？ (2)求购票费用（元与团体人数的函数关系式． 疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反而少，这不合理合理的应该是购票费用（元随团体人数的增大而增大． 分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上是随的增大而减少的，原来如此 解决： (3)延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用（元随团体人数的增大而增大，那么把最低票价至少提高到多少才能符合要求？ 7．（2023·浙江温州·模拟预测）年末将至、对于厂商来说最关心的是能否将囤积的货物进行清仓，为来年筹备更充足的资金．根据以下厂商提供的信息、请你为其在最后一个月策划一个合适的清仓方案． 【素材】 1.产品成本：元件；产品标价：元/件． 2.三类方式销售情况： （1）线上销售：月销售量与售价的数据统计如下： 售价（元/件） 月销售数量（件） （2）线下直营：按标价销售，但每件赠送价值元的礼品，月销售量最多件； （3）直播促销：直播促销售价为元，销售量最多可达件． 3.清仓数量：件． (1)记线上售价为x元，月销售数量为y件，在直角坐标系中，根据线上销售统计的数据进行描点，并选择合适的函数模型表示y关于x的关系． (2)将件产品以三类方式组合销售，设准备分配给线下直营的数量为a件，要使得销售总利润最大，请分别求出线上销售价格和直播促销的数量． 8．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务． 如何设计跳绳的方案 素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．    素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米． 问题解决 任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？ 任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围． 9．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 10．（2023·浙江台州·二模）某次三人垫球训练要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少．甲在处将球垫偏之后，乙跑到在处按球传给丙，丙在处传回给处的甲．球沿抛物线运动假设抛物线，在同一平面内，处离地面的距离为米．如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)甲垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由； (3)丙垫球后，若球在运动中离地面的最大高度达到要求，丙垫球处离地面的高度至少为多少米？ 11．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是拋物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． x（米） 0 0.4 1 1.6 … y（米） 2 2.16 2.25 2.16 …      (1)球经发球机发出后，最高点离地面______米：求y与x的函数解析式； (2)发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与之间满足函数关系． ①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米； ②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 12．（22-23九年级下·广东深圳·阶段练习）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 13．（23-24九年级上·河北邢台·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 15．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 16．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 17．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 18．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4二次函数的应用（常考六大类型） 目录 类型一、二次函数的应用：面积问题 1 类型二、二次函数的应用：动点问题 5 类型三、二次函数的应用：销售问题 12 类型四、二次函数的应用：拱桥问题 16 类型五、二次函数的应用：投球问题 21 类型六、二次函数的应用：喷水问题 24 压轴能力测评（精选浙江模拟18道） 29 1.利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 2.几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． 3.构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问 类型一、二次函数的应用：面积问题 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意求出米，利用矩形面积公式即可得到答案； （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质和每段栅栏不可分割即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．则米，根据题意可得， ， ∵且 ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）， ∵，每段栅栏不可分割， ∴当或时，y有最大值，最大值为， 答：当或时，所围矩形土地的面积最大． 2．（22-23九年级上·福建龙岩·期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)可能， (2)288平方米 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）    设计方案 小成 小韩 小林 （米 的长（米） （   ） （   ） （   ） (1)用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米． (2)若固定不变． ①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值． ②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱． ③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值． (3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？ 【答案】(1) (2)①或；②；小韩；③，； (3)鸭圈面积不能达到24平方米，理由见详解 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值： （1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出的长即可； （2）①先求出，再利用矩形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；③先求出，再利用矩形面积计算公式用含a的式子表示出矩形面积，再利用二次函数的性质求解即可； （3）令时，则，求出a的范围和函数解析式，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：（米）， 故答案为：； （2）解：①由题意得， ∴， 解得：或； ②当时，，不合题意， 同理可得：时，符合题意，时，，不合题意， ∴小韩的方案更为靠谱； ③由题意得：，即， 解得：， 设鸭圈面积为平方米， 则， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； （3）解：当时，， ∵， ∴ 设鸭圈面积为平方米， 则， ，对称轴为：直线， 当时，的最大值为， ∴鸭圈面积不能达到24平方米． 类型二、二次函数的应用：动点问题 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 (2)当时，的面积最大，最大面积是 【分析】（1）设运动时间为t秒，分别表示出，利用勾股定理的逆定理证明，进而利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可； （2）设运动时间为t秒，利用三角形面积公式即可表示出的面积，然后配方，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意得，， ∴ ∵在中，，， ∴是直角三角形，即， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 （2）解：设运动时间为t秒，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决本题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，点是边上任意一点点与点，不重合，矩形的顶点，分别在，上． (1)若：：，求； (2)已知，设，矩形的面积为，求与的函数关系式，在为多少时取得最大值，并求出最大值是多少． 【答案】(1) (2)与的函数关系式为，当时，的最大值是 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质； （1）根据矩形的性质可得，证明，则，根据已知条件，即可求解． （2）由矩形的性质得出，证出，根据面积比等于相似比的平方，得出，同理可得，即可得出与的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， ． ：：， ：：， ， ， ； （2）四边形为矩形， ， ， ． ，， ， ， ， 同理可得：， 矩形AFPE的面积为 ， ∴y与x的函数关系式为， ∵， ∴当时，y的最大值是． 6．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 类型三、二次函数的应用：销售问题 7．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）小区一水果店购进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每千克40元．水果店老板发现：销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系可近似地看作一次函数，且当时，；当时，，且． (1)求y关于x的函数解析式： (2)如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每千克多少元． (3)当蟠桃售价每千克多少元时，利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1) (2)销售单价应定为每千克60元或70元 (3)当蟠桃售价每千克65元时，利润最大，最大利润是2500元 【分析】本题考查一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用． （1）设y关于x的函数解析式为，根据当时，；当时，，利用待定系数法求解即可； （2）根据利润销售量（售价进价）建立方程求解即可； （3）设利润为，根据利润销售量（售价进价）建立函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 根据题意得：， 解得：， y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意得：，即， 解得：， 答：销售单价应定为每千克60元或70元； （3）解：设利润为，根据题意得： ，即， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：当蟠桃售价每千克65元时，利润最大，最大利润是2500元． 8．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值： (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．则工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． （1）用待定系数法求出m,n的值即可； （2）当，当时，根据利润（售价价成本）设备的数量，可得出w关于x的二次函数，由函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：把时，；时，代入， 得：， 解得：，， 故答案为：； （2）解：设第x个生产周期创造的利润为w万元，由（1）知， 当时，， ， ，， ∴当时，w取得最大值，最大值为400， 当时，， ， ， ∴当时，w取得最大值，最大值为405， ∴综上，当时，w取得最大值，最大值为405， ∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元． 9．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用） 年销售量（万件） 20 40 总销售额（万元） 560 1040 (1)求与以及与之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 【答案】(1)， (2)要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件 (3)年销售量大于50万元，小于100万元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识， （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得到，求出，，然后根据年毛利润不低于1000万元求解即可． 【详解】（1）由题意，设． 经过点， ． 解得：． ． 设每件产品的预售额为元． 该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比， ． ． ． ； （2）由题意，， ， 当时，利润最大． 要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件． （3）由题意，令， ． ． ． ，． 年毛利润不低于1000万元，且相应抛物线开口向下， 该产品年销售量的变化范围为：． 类型四、二次函数的应用：拱桥问题 10．（2024·陕西咸阳·三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 11．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 12．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】(1)抛物线花边的函数表达式为： (2)一排中最多可摆放的花边个数为个 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，将抛物线向上平移个单位，计算次数抛物线与轴的交点，两交点之间的距离，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 设“抛物线型”花边的解析式为， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线花边的函数表达式为：； （2）解：如图所示， 已知， ∴， ∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位， ∴， 令时，， 解得，， ∴， ∴， ∴一排中最多可摆放的花边个数为个． 类型五、二次函数的应用：投球问题 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 【答案】(1)秒时球离起点的高度是； (2)秒或秒后球离起点的高度达到． 【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可． （1）把代入即可求解； （2）把代入求t即可． 【详解】（1）解：由题意，将分别代入函数关系式， 得， 当时，代入解得， ∴秒时球离起点的高度是； （2）解：当时，， 解得． 故秒或秒后球离起点的高度达到． 14．（2024·浙江杭州·二模）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】(1) (2)， (3)4或5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值； （3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解． 【详解】（1）由题意，抛物线， 抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． （2）由题得，． 将代入抛物线， ． 抛物线． 当时，． （3）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， 此时，点的坐标范围是，，， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 15．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 类型六、二次函数的应用：喷水问题 16．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 【答案】(1) (2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 (3)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式； （2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题； （3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设经过点，，的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， （2）经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米． （3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为， 将代入， 即， 解得：（舍去）或 消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米． 17．（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【答案】(1)①；② (2)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． （1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解； ②依据题意，把代入即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，利用，得出与的关系，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得 ． ． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入， 得， 得； （2）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为． ， ． 把代入，得， ． ． 水柱达到的最大高度8米． 18．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看做一条抛物线．该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米，将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为的坡地绿植．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离； (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期．园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带．这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率．若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 【答案】(1) (2)坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为米 (3)让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，设出抛物线水柱的解析式为：，再将代入得出的值即可； （2）根据坡地绿植的坡度为，可设坡地所在直线的解析式为，令，解得的值即可； （3）由（1）可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为，根据这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为，则，可求出这棵树底部对应点的坐标为，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线水柱的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ； （2）解：坡地绿植的坡度为， 坡地所在直线的解析式为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为米． （3）解：由（1）可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为， 设需要让灌溉装置向后平移米， 因为这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为，则， 即这棵树底部对应点的坐标为， 当水柱刚好浇到这棵树的底部时， 则有：， 解得：，， ， ． 答：让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移米． 压轴能力测评（精选浙江模拟18道） 1．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)为时，风筝的面积最大，面积最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）先证，推出，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）设，则，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即平分， 又， ； （2）解：设，则， 垂直平分， ，， 风筝的面积， ， ， 当时，取最大值1800， 即为时，风筝的面积最大，面积最大值为． 2．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． (1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； (2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． (1) 设的长为米，根据矩形性质得米，根据题意，可得，根据矩形的面积公式列方程求解即可． (2) 展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米， 点在线段上， 米， ， ，即， ， 故根据题意得展览馆的面积为， 解得： ， (，故舍去)， 答：为米． （2）展览馆的面积为，的长为米， 当点在线段延长线上，， 由，得此时， 则， 上式可化为， 故当时，有最大值，即， 答：为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． (2)经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【分析】（1）设运动时间为x秒，根据勾股定理求出的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可； （2）根据，当时，即可取得最大值． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒， 则，， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，最短，最短为， ∴经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． （2）∵ ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图1，小球从倾斜轨道由静止滚下时，经过的路程s（米）与时间t（秒）的部分数据如下表． t（秒） 0 0.4 0.8 1 1.2 1.6 … s（米） 0 0.016 0.064 0.1 0.144 0.256 … (1)请在一次函数、二次函数、反比例函数中选择最适合s与t的函数类型，并求出解析式； (2)经过多少秒时，路程为0.225米？ (3)如图2，与轨道AB相连的是一段水平光滑轨道，的另一端连接的是与平行的轨道，足够长．两个同样的小球甲与乙分别从A、C处同时静止滚下，其中甲球在上滚动的时间是2秒，速度是0.4米/秒，问总运动时间为多少时，两球滚过的路程差为1.6米？（注：小球大小忽略不计，小球在下一段轨道的开始速度等于它在上一段轨道的最后速度） 【答案】(1)二次函数， (2)1.5秒 (3)7秒 【分析】（1）先根据一次函数和反比例函数的性质排除不是这两种函数，即符合二次函数关系，然后用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求解即可； （3）根据两球滚过的路程差为1.6米列方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴s与t不是一次函数关系． ∵， ∴s与t不是反比例函数关系， ∴s与t是二次函数关系， 设， 把代入得 ， 解得， ∴； （2）把代入，得 ， 解得（负值舍去）， 答∶经过1.5秒． （3）由题意得∶ ， 解得． 答：总时间为7秒． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键． 5．（20-21九年级上·湖北武汉·期中）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 6．（2024·浙江·模拟预测）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超过1人，票价就减少2元，（例如：闭体人数20人，票价降价：元，就按每人180元付款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人． 问题： (1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？ (2)求购票费用（元与团体人数的函数关系式． 疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反而少，这不合理合理的应该是购票费用（元随团体人数的增大而增大． 分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上是随的增大而减少的，原来如此 解决： (3)延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用（元随团体人数的增大而增大，那么把最低票价至少提高到多少才能符合要求？ 【答案】(1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到60人 (2)购票费用（元）与团体人数的函数关系式为 (3)把最低票价至少提高到110元才能符合要求 【分析】（1）设团体人数有人，根据题意列出不等式，解不等式可得结论； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，分别得到函数解析式即可； （3）求出当时函数的顶点坐标，对称轴，开口方向，再分析当时，随的增大而减小，从而得解． 【详解】（1）解：设团体人数有人，根据题意得： ， 解得， 答：若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到60人； （2）解：由（1）可知，当时，， 当时，， 购票费用（元）与团体人数的函数关系式为； （3）解：延续小明的分析， 当时，， ， 抛物线开口向下，点的坐标，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小， 若团体人数为55时，则票价为（元）， 通过提高最低票价，可以使购票费用（元）随团体人数的增大而增大，那么把最低票价至少提高到110元才能符合要求． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，二次函数的性质，二次函数的应用等，根据题意分类讨论列出函数解析式是关键． 7．（2023·浙江温州·模拟预测）年末将至、对于厂商来说最关心的是能否将囤积的货物进行清仓，为来年筹备更充足的资金．根据以下厂商提供的信息、请你为其在最后一个月策划一个合适的清仓方案． 【素材】 1.产品成本：元件；产品标价：元/件． 2.三类方式销售情况： （1）线上销售：月销售量与售价的数据统计如下： 售价（元/件） 月销售数量（件） （2）线下直营：按标价销售，但每件赠送价值元的礼品，月销售量最多件； （3）直播促销：直播促销售价为元，销售量最多可达件． 3.清仓数量：件． (1)记线上售价为x元，月销售数量为y件，在直角坐标系中，根据线上销售统计的数据进行描点，并选择合适的函数模型表示y关于x的关系． (2)将件产品以三类方式组合销售，设准备分配给线下直营的数量为a件，要使得销售总利润最大，请分别求出线上销售价格和直播促销的数量． 【答案】(1)描点见解析， (2)线上销售价格为元，直播促销的数量为件 【分析】本题考查了一次函数解析式，画一次函数图象，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质等知．熟练掌握一次函数解析式，画一次函数图象，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）描点即可，设y关于x的函数关系为，将代入，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，线上售数量为y件，则直播促销的数量的数量为件，其中，，设总利润为，依题意得，，整理得，，由，，可知当，时，最大，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：描点如下， 设y关于x的函数关系为， 将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，线上售数量为y件，则直播促销的数量的数量为件，其中，， 设总利润为， 依题意得，， 整理得，， ∵，， ∴当，时，最大， ∴（件）， 当时， ∴线上销售价格为元，直播促销的数量为件． 8．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务． 如何设计跳绳的方案 素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．    素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米． 问题解决 任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？ 任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；任务三： 【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键； 任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； 任务二：如图，名同学，以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可； 任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当或时， 当或时， 当或时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是取值范围即可． 【详解】解：任务一： 以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 由已知可得，，在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 任务二： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，名同学，以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边， 对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是，， ∴有1个米的女生的横坐标为或， 当时或时，， 当或时， 当或时，， ∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，绳子不能顺利的甩过女队员的头顶； ∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶； 任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧排列， 当或时，， 当或时，， 当或时，， ∴站队方式符合要求， 当时，则， ∴，， ∴左边第一个队员的横坐标的范围为：． 9．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 10．（2023·浙江台州·二模）某次三人垫球训练要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少．甲在处将球垫偏之后，乙跑到在处按球传给丙，丙在处传回给处的甲．球沿抛物线运动假设抛物线，在同一平面内，处离地面的距离为米．如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)甲垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由； (3)丙垫球后，若球在运动中离地面的最大高度达到要求，丙垫球处离地面的高度至少为多少米？ 【答案】(1) (2)没有达到要求，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式； （2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案； （3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点B的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线表达式为，且经过点，， ∴， 解得：, ∴抛物线表达式为： （2）最大高度未达到要求，理由如下： 由（1）得，抛物线的函数表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵处离地面的距离为米， ∴球在运动中离地面的最大高度为， ∴最大高度未达到要求； （3）由（1）可知，， ∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵球在运动中离地面的最大高度达到要求， ∴, ∴或， ∵对称轴在轴负半轴， ∴， ∴， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为, ∴点离地面的高度至少为（米） 11．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是拋物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． x（米） 0 0.4 1 1.6 … y（米） 2 2.16 2.25 2.16 …      (1)球经发球机发出后，最高点离地面______米：求y与x的函数解析式； (2)发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与之间满足函数关系． ①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米； ②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【答案】(1)2.25， (2)①球拍的接球位置距离发球机2米；②不超过1米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）利用对称性质求得对称轴，得到最高点的坐标可求得最高点离地面2.25米；再利用待定系数法即可求得与的函数解析式； （2）①求得当时，的值，即可求解； ②通过计算得到高度差，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，，即顶点为， ∴球经发球机发出后，最高点离地面2.25米， 设与的函数解析式为， 将代入， 解得， ∴； 故答案为：2.25； （2）①当，整理得， ∴（舍） ∴即球拍的接球位置距离发球机2米． ②球的高度差为： ∵， ∴当时，球的高度差最大为米． ∵， ∴不超过1米． 12．（22-23九年级下·广东深圳·阶段练习）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见详解 (2)1.5 (3)2.1米 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高， 即， 故答案为：1.5． （3）根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入，得， 抛物线的解析式为：， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于， ， 解得， 水管高度至少向上调节1.6米， （米， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 13．（23-24九年级上·河北邢台·期末）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 【答案】(1)①图见解析，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键． （1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； ②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可； （2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案． 【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为 把代入得 解得： 抛物线的表达式为； ②令，得， 解得：，（舍去） 喷灌器底端O到点B的距离； （2）如图所示： ， ， 设 把代入得 解得： 当时， 设， 把代入得 解得： 当时， 使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为． 14．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 【答案】任务1： 任务2：的高度为米 任务3： 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论； 任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解． 任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论． 【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ∵， ∴． ∵水柱距水池中心处到达最高，高度为， ∴左侧抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴即． 任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 ∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线． 设的最高高度为． ∴设图3中抛物线解析式为 由（1）可得图2中的抛物线解析式为: 令，得， 解得（舍去），， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G的坐标为． 将代入 解得： ∴的最高高度为米 任务3：如图． 设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 ∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为， 又∵抛物线形状相同， ∴抛物线表达式为， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴， ∵喷出的水柱高度不低于， ∴ ∴ 又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． 由（2）可得 代入 即 解得： ∴ ∴喷水装置高度的变化范围为． 15．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 16．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．    (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 【答案】(1) (2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标． (3)该龙舟队完成训练所需时间为 【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； ②把代入，求得，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）①设，把代入，得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式为， 把代入， 解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． 17．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 18．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①,；②；③ (2) 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$