精品解析：吉林省G6教考联盟2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

吉林省普通高中G6教考联盟2023-2024学年下学期期末考试 高二年级 数学 本试卷共6页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分. 共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的图像为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 5. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有 （ ）种. A. 720 B. 1050 C. 1440 D. 360 7. 已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数 越大，则样本的线性相关性越强 B. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中， ，则 C. 在回归分析中，决定系数 的值越大，说明残差平方和越小 D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 的值分别是和0.3 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若正实数满足，则的最小值为6 11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的对称中心为 C. 是周期函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为________.（用数字作答） 13. 已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为_________． 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴. （1）求的值； （2）求函数的极值. 17. 目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. （1）利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； （2）现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 18. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 ；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. （3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为 ，求使 取得最大值时的值. 参考公式：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数（是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省普通高中G6教考联盟2023-2024学年下学期期末考试 高二年级 数学 本试卷共6页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.答题时请按要求用笔. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分. 共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，可求. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义写出结论即可． 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 当时， ，函数单调递增，故BC选项错误. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】​​​​​​​求导代入，求解即可. 【详解】因为， 所以. 令，可得，解得. 故选：A. 5. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】​​​​​​​根据题中所给定义，只需判断是否有解即可． 【详解】对于A，令，得，无解， 所以函数不是“不动点”函数，故A不正确； 对于B，令，不难看出是该方程的根， 所以是“不动点”函数，故B正确； 对于C，令，即. 令，则， 令，解得, 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以， 所以方程无解， 所以函数不是“不动点”函数，故C不正确； 对于D，令,得， 因为， 所以方程无解， 所以函数不是“不动点”函数，故D不正确. 故选:B. 6. 7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有 （ ）种. A. 720 B. 1050 C. 1440 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】考虑7人的分组情况, 即按人数为分为3组分到三个研究舱,或者是按人数为分为3组分到三个研究舱,根据分类计数加法原理即可求得答案. 【详解】由题意可知,7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱, 或者是按人数为分为3组分到三个研究舱, 按人数为分为3组分到三个研究舱,共有(种)安排方案, 按人数为分为3组分到三个研究舱时,共有 (种)安排方案, 故共有(种) 安排方案. 故选:B. 7. 已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断. 【详解】令，则， 对于A，，所以A正确， 对于B，因为在上递增，且， 所以，即， 即，所以，所以B正确， 对于C，因为 ， 所以，所以C错误， 对于D，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以D正确， 故选：C 8. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于两边取对数，构造函数，通过函数的单调性得，又根据即可判断的大小. 【详解】由题意，， 对于两边取对数得， 构造函数， 则， 令，则，即在单调递增； 令，则，即在单调递减； 所以，即. 因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导函数判断函数单调性，解题的关键在于构造函数，并分析函数的单调性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数 越大，则样本的线性相关性越强 B. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中， ，则 C. 在回归分析中，决定系数 的值越大，说明残差平方和越小 D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 的值分别是和0.3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对选项A，根据相关系数的性质即可判断；对选项B，根据回归直线方程过点，计算可得，即可判断；对选项C，根据的性质即可判断；对选项D，两边取对数，可得，又，求出的值，即可判断. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误； 对于B，回归直线方程中，，故B正确； 对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C正确； 对于D，，两边取对数，可得，则， ，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若正实数满足，则的最小值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，时即可判断；对于B，根据基本不等式即可判断；对于C，作差即可判断；对于D，由，得，代入利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A项,当时，满足，但没有意义，故A项为假命题; 对于B项,因为, 所以，当且仅当,故B项为真命题; 对于C项, , 因为,所以，但的符号不确定， 若取,则，此时, 即,故C项为假命题; 对于D项,若正实数满足, 则, 解得,同理, 则 , 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D项为真命题． 故选:BD. 11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的对称中心为 C. 是周期函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 即， 所以是周期为4的周期函数，则C正确； 令，得， 则，从而，故A错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称， 的对称中心为错误，则B错误； 以上求得的周期为4， 且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而， 得， 即， 则， 故 ，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递减，作出的图象，结合图象，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立， 所以函数在上单调递减， 又因为当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得函数在和上单调递减， 又因为当时，，且函数在上单调递减， 所以，解得． 故答案为：． 14. 有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式，然后根据对立事件的概率关系求解． 【详解】解：记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，， 所以， ， 进而可得，， 所以， 又，，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 故从第个盒子中取到黑球的概率是为：． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【小问1详解】 因为幂函数在上单调递增 所以，解得， 又，则. 当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去. 当时，，图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，，. 【小问2详解】 由（1）得，为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 16. 设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴. （1）求的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1）； （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】​​​​​​​（1）求导，根据 运算求解； （2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值. 【小问1详解】 的定义域为，且， 因为曲线在点处的切线垂直于轴， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 令，解得；令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，无极小值. 17. 目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. （1）利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； （2）现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1）； （2）随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P .【解析】 【分析】​​​​​​​（1）由题意可知，根据正态分布的性质即可求出概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【小问1详解】 由题意可知， 则 ， 则共，即人进入面试. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有， 甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为, 则， , ​​​​​​​, , 故随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 18. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人. 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 （1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； （2）该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为 ；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率. （3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为 ，求使 取得最大值时的值. 参考公式：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关. （2） （3） 6. 【解析】 【分析】（1）补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. （3）利用二项分布的性质求解最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记事件：小林同学星期三选择了①号套餐， 事件：小林同学星期五选择了②号套餐， 由全概率公式可得. 【小问3详解】 由题意可知，抽取的10名学生， 喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布， 且喜欢饭堂就餐的频率为，则， 且， 设 ，若，即 即解得， 若即解得 所以当时， 当时， 因为 所以， 即使取得最大值的值为6. 19. 已知函数（是自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①； ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②略 【点睛】关键点睛：第2问的第①小问关键在于将变形，结合的单调性，将问题转化为有两个零点，然后利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理即可求得的取值范围.第②小问关键在于取对数转化目标不等式，再通过换元将二元问题转化为一元问题即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $