专题04 三角形计算题综合练40题-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

专题04 三角形计算题综合练40题 一、解答题 1．已知某n边形内角和是，求n的值． 2．a、b、c为三角形的三条边的长度，解下列不等式． 3．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 4．如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数． 5．（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数； （2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 6．（1）解不等式：； （2）已知中，，，求的度数． 7．【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： (1)如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． (2)若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） (3)若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 8．若过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线．求代数式的值． 9．如图所示，在五边形中，，，，．求，的度数． 10．如图，在中，是上的一点，是上的一点，、相交于点，，，．求： (1)的度数； (2)的度数． 11．说出如图所示图形中和的度数： 12．如图，点D在的边的延长线上，平分，，，求的度数． 13．如图，与分别是的角平分线和高，若，，求的度数． 14．王丽在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于．猜想、、的数量关系，说明理由．    (1)王丽阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值： 度 10 30 30 20 20 度 70 70 60 60 80 度 30 20 15 30 上表中 ． (2)猜想、、的数量关系，说明理由． (3)王丽突发奇想，交换、两个字母位置，如图2，过的延长线上一点作交的延长线于，当、时，求度数． 15．在中，已知，，求的度数． 16．已知一个多边形的外角和比内角和少720°，求这个多边形的边数． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知均为网格线的交点． (1)求的面积； (2)求的面积． 18．如图，点D在上，点E在上，、相交于点O． (1)若，，，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性． 19． 如图中是高，是角平分线，它们相交于点O，，求． 20．求图中的x的值 (1) (2) 21．求下列图形中的值    22．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 23．一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，它是几边形？ 24．列式计算：求图中x的值． 25．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 26．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 27．如图所示，五边形的内角都相等，AM⊥CD，垂足为M，连接，若，求的度数． 28．已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 29．如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数. 30．一个各内角都相等的多边形截去一个角以后（截线不经过多边形的顶点），形成的另一个多边形的内角和比五边形的内角和多，求原多边形的边数及每个外角的度数． 31．已知的三边长分别为a，b，c，且，求b的取值范围． 32．如图，在中，是角平分线，过点D作，交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，，则______（用含、的式子表示）． 33．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 34．已知三角形的三边长分别为，化简：． 35．如图，，，，求的度数．    36．如图，，垂足为D，平分，交于于E，，，求的度数． 37．如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数． 38．如图，是的高，平分交于点O，，.求的度数. 39．已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 40．探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形计算题综合练40题 一、解答题 1．已知某n边形内角和是，求n的值． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据，解答即可． 【详解】根据题意，得，， 解得． 故n的值为8． 2．a、b、c为三角形的三条边的长度，解下列不等式． 【答案】 【分析】本题考查构成三角形的条件，解一元一次不等式，掌握是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵a、b、c为三角形的三条边的长度， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 3．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． 4．如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，以及角平分线的性质，正确熟练掌握相关知识点进行角度的计算是解决本题的关键． 由四边形内角和知，结合角平分线的意义和三角形内角和定理得． 【详解】解：∵在四边形中，，，， ∴， ∵与的平分线相交P， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 5．（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数； （2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【答案】（1）9（2）11 【分析】本题主要考查了求多边形的边数，多边形内角和和外角和定理以及一元一次方程的应用． （1）设这个多边形的边数为n，利用一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多列一元一次方程求解即可得出答案． （2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，列一元一次方程求解出x，再利用多边形外角为即可求出答案． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 所以这个多边形的边数为9． （2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为， 根据题意，得，解得． ∴， 所以这个多边形的边数为11． 6．（1）解不等式：； （2）已知中，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的应用，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）根据题意设，则，，然后利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）∵中，，， ∴设，则， ∵ ∴ 解得 ∴． 7．【提出问题】已知如图1，是、的角平分线的交点，你能找到、的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的： 先赋予几个特殊值： 当时，计算出； 当时，计算出； 当时，计算出； 由以上特例猜想与的关系为：．再证明这一结论： 证明：点是、的角平分线的交点． ； 又 【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题： (1)如图2，若点是、的三等分线的交点，即，，猜测与的关系为________，证明你的结论． (2)若点是、的四等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） (3)若点是、的等分线的交点，即，，则与的关系为________．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线， ， ， 即． 故答案为：； （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线， ， ， 即． 故答案为：； （3）解：，、分别是、的等分线， ， ． 故答案为：． 8．若过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线．求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，多边形对角线条数问题，根据边形一个顶点可以引条对角线求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，过边形的一个顶点有3条对角线， ∴， ∴， ∴． 9．如图所示，在五边形中，，，，．求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理．先根据平行线的性质求得的值，再根据多边形内角和定理即可求得的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵五边形的内角和为， ∴． 10．如图，在中，是上的一点，是上的一点，、相交于点，，，．求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1)100度 (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． （1）利用外角的性质，得到，计算即可； （2）根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角，，， ∴； （2）∵， ∴． 11．说出如图所示图形中和的度数： 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，根据三角形内角和可求出的度数，根据三角形外角性质可求出的度数． 【详解】解：， ． 12．如图，点D在的边的延长线上，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平角的定义，角平分线的定义；由三角形内角和定理可求 ，由平角的定义得，由角平分线的定义得即可求解；掌握定理，理解定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 故的度数为． 13．如图，与分别是的角平分线和高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 为的平分线， ， ． 14．王丽在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于．猜想、、的数量关系，说明理由．    (1)王丽阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值： 度 10 30 30 20 20 度 70 70 60 60 80 度 30 20 15 30 上表中 ． (2)猜想、、的数量关系，说明理由． (3)王丽突发奇想，交换、两个字母位置，如图2，过的延长线上一点作交的延长线于，当、时，求度数． 【答案】(1)20 (2)．理由见解析 (3)度数为 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识． （1）利用三角形内角和定理计算即可． （2）猜想：．根据，计算即可． （3）如图2中，过点A作于H．利用平行线的性质以及（2）中结论解决问题即可． 【详解】（1）解：， ， 平分，， ， ． 故答案为：20． （2）解：猜想：． 理由：， ， 平分，， ， ． （3）解：如图2中，过点作于． ，， ， ． 15．在中，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理， 由，可得，然后根据三角形内角和等于180°求解即可． 【详解】解：∵， 而，， ∴， ∴， ∴ 16．已知一个多边形的外角和比内角和少720°，求这个多边形的边数． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的外角和和内角和以及一元一次方程的应用，设这个多边形的边数是n，根据题意，列出关于n的一元一次方程， 解方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得． 故它的边数为8． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知均为网格线的交点． (1)求的面积； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用网格求三角形的面积，掌握利用割补法求面积是解题的关键． （1）利用底乘以高的一半求面积即可； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：； （2）． 18．如图，点D在上，点E在上，、相交于点O． (1)若，，，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性． 【答案】(1)； (2),理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由三角形的外角性质即可求解； （2）由三角形的外角性质可得，，从而可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 19． 如图中是高，是角平分线，它们相交于点O，，求． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形高的定义得到，则由三角形内角和定理可得；根据三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，则． 【详解】解：∵在中是高， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 20．求图中的x的值 (1) (2) 【答案】(1)80 (2)110 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可； （2）根据五边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：由题意得，， 解得． 21．求下列图形中的值    【答案】95 【分析】本题考查多边形内角和公式，邻补角的定义，涉及一元一次方程的解法，属于基础题型．根据多边形内角和公式即可求出答案． 【详解】解：四边形的内角和为：， 由图形得：， 解得：． 22．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， 是的外角， ． 23．一个多边形的内角和等于它外角和的2倍，它是几边形？ 【答案】六边形 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，根据n边形的内角和为，外角和为360度列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为， 由题意得：， 解得：． ∴这个多边形是六边形． 24．列式计算：求图中x的值． 【答案】100 【分析】本题考查了四边形的内角和定理，根据题意，列式计算即可． 【详解】根据题意，列式， 解得， 故图中x的值为100． 25．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，外角和为360度，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为9． 26．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 27．如图所示，五边形的内角都相等，AM⊥CD，垂足为M，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和，根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用方程解答． 【详解】解：∵五边形的内角都相等， ∴， ∵， ∴， 设为，则，，， 可得：， 解得：， ∴， 28．已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴ 29．如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，求的度数. 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义，三角形角平分线的定义，三角形外角定理，三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形高的定义得出，依据进而得出，根据平分，得出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】是边上的高， ， 又平分 在中， ， 30．一个各内角都相等的多边形截去一个角以后（截线不经过多边形的顶点），形成的另一个多边形的内角和比五边形的内角和多，求原多边形的边数及每个外角的度数． 【答案】8， 【分析】设原多边形的边数为n，根据题意可得：，然后进行计算可求出多边形的边数，最后再利用任意多边形的外角和都是，进行计算即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式，与外角和是解题的关键． 【详解】解：设原多边形的边数为n， 由题意得： 解得， ∵原多边形各内角都相等， ∴每个外角的度数， ∴原多边形的边数为8，每个外角的度数为． 31．已知的三边长分别为a，b，c，且，求b的取值范围． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性求出，，可得，然后根据三角形的三边关系求出，解不等式组可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由得， 根据三角形的三边关系得，即， ∴， 由得，由得， ∴b的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，三角形的三边关系定理，解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系得出不等式组是解题的关键． 32．如图，在中，是角平分线，过点D作，交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，，则______（用含、的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的角平分线，垂线． （1）根据三角形的内角和定理可求得，进而求得，又由三角形的内角和定理求得，再根据垂直的定义即可求得； （2）同（1）的思路即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 34．已知三角形的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，三角形的三边关系，绝对值化简，根据三角形三边关系得到的不等式，再去绝对值后计算即可． 【详解】∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴，， ∴． 35．如图，，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及垂直的定义，解题时注意：三角形内角和等于． 先依据，可得，再根据中，，即可得到，最后在中，依据，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ． 36．如图，，垂足为D，平分，交于于E，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线，三角形的内角和定理． 由可得，从而，根据平分可得，在中根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 37．如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余，解得，，然后在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴在中，． 38．如图，是的高，平分交于点O，，.求的度数. 【答案】87° 【分析】本题考查了角的平分线，三角形的高，三角形内角和定理，三角形外角性质，根据题意，规范求解即可. 【详解】解：∵是的高， ∴， 在中，，， ∴， ∵平分， ∴, ∵是的一个外角 ∴. 39．已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，求代数式的值 （1）根据，，是三角形的三边长，得，化简计算即可． （2）根据，，，代入化简式计算即可． 【详解】（1）∵，，是三角形的三边长，得， ∴ ． （2）当，，时， 原式． 40．探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）50；（2），理由见解析；（3）200；（4）．理由见解析 【分析】（1）连接，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （2）设，，由平行线的性质得出，，由三角形外角的性质可得出答案； （3）连接，求出，由轴对称的性质求出，，则可得出答案； （4）由三角形内角和定理证出，则可得出结论． 【详解】解：（1）连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）． 理由：设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点P关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：200； （4）． 理由：设，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$