专题02 与三角形有关的角（六大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

专题02 与三角形有关的角（六大题型，40题） 目录 题型一：与平行线有关的三角形内角和问题 1 题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题 2 题型三：三角形折叠中的角度问题 5 题型四：三角形内角和定理的应用 6 题型五：直角三角形的两个锐角互余 8 题型六：三角形的外角的定义及性质 9 题型一：与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 3．如图示，已知，平分，平分． (1)与有什么数量关系？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 4．已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：． 5．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题 6．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 8．如图，中，与的平分线相交于．若，则 度． 9．如图，在中，、的平分线、相交于点，，则 ． 10．如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．    11．已知中，．在图（1）中的角平分线交于点，则可计算得；在图（2）中，设∠的两条三等分角线分别对应交于、，则∠BO2C＝ ；请你猜想，当同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于，如图（3），则 （用含n和α的代数式表示）． 12．如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 13．如图，在中，，平分，交于点E．求的度数． 14．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 15．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． 题型三：三角形折叠中的角度问题 16．如图，将长方形沿折叠，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 17．如图，中，，沿将此三角形对折，交于D，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 18．如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若°，，则的度数为 ． 19．如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    20．如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ． 题型四：三角形内角和定理的应用 21．将沿方向平移得到．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 22．如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 23．如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点在右侧时，求证：； (2)如图2，当点在左侧时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分交于点，连接，若，，则的度数． 24．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到． (1)试求出的度数； (2)若，．请求出的长度． 25．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 题型五：直角三角形的两个锐角互余 26．如图，点E，F分别在线段，上，于点G，于点H，若，则图中与互余的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．下列命题是假命题的是（） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．同位角相等 D．如果，那么 28．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为 ． 题型六：三角形的外角的定义及性质 31．如图，在中，平分，点E在的延长线上，过点E作于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，和外角的平分线交于点，和的平分线交于点，…，和的平分线交于点，则的度数为 ．    33．如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 34．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 35．如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点． (1)如果，，求的度数； (2)猜想：与有什么数量关系（写出结论即可）； (3)如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 36．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 37．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 38．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 39．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为________； (2)如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    ①若，判定是否是“梦想三角形”，为什么？ ②当为“梦想三角形”时，则的度数是_________． 40．【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与三角形有关的角（六大题型，40题） 目录 题型一：与平行线有关的三角形内角和问题 1 题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题 6 题型三：三角形折叠中的角度问题 15 题型四：三角形内角和定理的应用 19 题型五：直角三角形的两个锐角互余 27 题型六：三角形的外角的定义及性质 31 一、题型一：与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线b上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形的内角和定理可求，最后根据对顶角相等即可求出结果． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理及对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图示，已知，平分，平分． (1)与有什么数量关系？请说明理由． (2)与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解 (2)，理由见解 【分析】（1）根据，得到，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）由（1）知，根据角平分线的定义得到，进而得到，依据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论． 【详解】（1）， 证明：， ， ， ； （2）， 证明：由（1）知， 平分，平分， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键． 4．已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义．先证明得到，再证明，得到，结合三角形内角和定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 二、题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题 6．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义； 根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答． 【详解】解：∵， 的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，， ，， ∴ ∵在中，°， ∴， 故选：B． 7．如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数． 【详解】，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，中，与的平分线相交于．若，则 度． 【答案】115 【分析】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和，根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解，熟练利用相关性质求解是解题的关键． 【详解】解：， ． 与的平分线相交于， ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，、的平分线、相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键． 根据角平分线的定义可得出、，再根据内角和定理结合即可求出的度数． 【详解】解：、的平分线、相交于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 10．如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：，， ， ∴； 故答案为：． 11．已知中，．在图（1）中的角平分线交于点，则可计算得；在图（2）中，设∠的两条三等分角线分别对应交于、，则∠BO2C＝ ；请你猜想，当同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于，如图（3），则 （用含n和α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，进而可得出结论；根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在中，， ， 和分别是的三等分线， ； ； ∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：；． 12．如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 13．如图，在中，，平分，交于点E．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义，解题关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义及垂直的定义．根据三角形内角和定理求出°，利用角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出，根据垂直的定义可知，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的度数为． 14．在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】的度数为 ；的度数为 【分析】本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得． 【详解】解：，， 、是的角平分线，， 是高线， ， ， ， 15．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出； （2）由三角形内角和定理可求出，进而得出．再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）∵， ∴． ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴． 三、题型三：三角形折叠中的角度问题 16．如图，将长方形沿折叠，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、平角的性质等知识点，掌握折叠的性质成为解题的关键． 由平角的性质可得,再根据折叠的性质可得,即，据此即可解答． 【详解】解：由平角的定义可得：， 又由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 17．如图，中，，沿将此三角形对折，交于D，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则20°+2∠3+108°=180°，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 18．如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若°，，则的度数为 ． 【答案】130°/130度 【分析】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出，是解题的关键． 【详解】解：∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．    【答案】110或70 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当点N在射线上运动时；当点N在射线上运动时；然后分别进行计算，即可解答． 【详解】分两种情况： 当点N在射线上运动时，如图：    延长到D， ∵， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点N在射线上运动时，如图：    延长到E， 由折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当时，则或， 故答案为：或． 20．如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了图形的翻折，三角形内角和定理，解题关键是分情况讨论． 如图1，由，，得，，得，即可得；如图2，同理得． 【详解】解：如图1，由，， 得，， 得， 得； 如图2，同理，， 得， 得； 故答案为：或． 四、题型四：三角形内角和定理的应用 21．将沿方向平移得到．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解． 【详解】解：根据题意，由平移的性质得：， ∴， 故选：B ． 22．如图，直线，点A在直线与之间，点B在直线上，连接，的平分线交于点C，连结，过点A作交于点D，作交于点F，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】/27度 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形内角和定理的综合运用，设，则，，先求得，即可得到，进而得出，即可得到，再依据内角和即可得到的度数． 【详解】解：设，则，， ，， ， ，， ， ，平分， ， 又， ， ， ，即， ， ， 中，， 故答案为：． 23．如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点在右侧时，求证：； (2)如图2，当点在左侧时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分交于点，连接，若，，则的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用； （1）通过证明，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）过点作，交于点，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论； （3）设，则，，；利用已知条件用含的式子表示，，，，再利用，得到关于的方程，解方程求得的值，则，结论可求． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ∴， ， ， ， ∴； （2）证明：过点作，交于点，如图， 由（1）同理可证：， ， ，， ， ； （3）解：设， 则，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 解得：， ． 24．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到． (1)试求出的度数； (2)若，．请求出的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． （1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 25．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． (1)图中的度数是 　　°； (2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1)45 (2)15° (3)或或或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案； （3）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或或， 理由如下： 分两种情况，Ⅰ．当向上平移时， ①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴； ②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵ ∴， ∵， ∴； ③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时 ∵，， ∴， ∵， ∴； Ⅱ．当向下平移时，如图4所示： ④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关系． 五、题型五：直角三角形的两个锐角互余 26．如图，点E，F分别在线段，上，于点G，于点H，若，则图中与互余的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了余角的概念，直角三角形性质，平行线的性质和判定，根据直角三角形性质，得到，，再结合等量代换，以及平行线的性质，得到，，即可解题． 【详解】解：于点G， ， 于点H， ，， ， ， ， ， 综上所述，图中与互余的角有4个， 故选：D． 27．下列命题是假命题的是（） A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判定，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、平行线的性质、等式的性质是银题的关键． 根据对顶角性质判定A；根据直角三角形的性质判定B，根据两直线平行，同位角相等．没有平行这个条件，同位角相等是不成立的，判定C；根据等式性质判定D． 【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余是真命题，故此选项不符合题意； C、因为两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故此选项符合题意； D、如果，那么是真命题，故此选项不符合题意； 故选：C． 28．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形的性质，能够作出辅助线是解题的关键． 延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质推得，即可判断③④不一定正确． 【详解】解：延长，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故① 正确； ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 故选：B． 29．两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 30．两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为 ． 【答案】9或15/15或9 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，分类讨论思想，掌握角度的计算，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，根据分类讨论：第一种情况：；第二种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 依题意得：，（）， ∴有以下两种情况： 第一种情况：如图所示，， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15． 故答案为：9或15． 六、题型六：三角形的外角的定义及性质 31．如图，在中，平分，点E在的延长线上，过点E作于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据垂直的定义得出，再根据外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，最后根据三角形的外角的性质得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， 故选：C 32．如图，在中，，和外角的平分线交于点，和的平分线交于点，…，和的平分线交于点，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，利用类推法找出规律是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】是一个外角， ， ， 和外角的平分线交于点， ，， ， 同理， ， 以此类推： ， ， ； 故答案为：． 33．如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 34．综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】[问题发现] （1），分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； [问题探究] （2），分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [问题拓展] （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 35．如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点． (1)如果，，求的度数； (2)猜想：与有什么数量关系（写出结论即可）； (3)如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）根据外角的性质，可得，结合角平分线的定义可得，，然后由求解即可； （2）结合角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，然后由，即可证明结论； （3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，由三角形内角和定理可得，即有，然后结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据外角的性质，可得， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）； 理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）∵、是两外角的平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 37．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数， 本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， 设，则， ∵，，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 38．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）过G作，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可，注意分类思想的应用； （3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论，三角形外角性质论即可． 本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，三角形外角性质，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）当点G在F下方时，设与交于点N， 根据平移，得， ∴； ∵，，， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，，， ∴； 综上所述，的度数为或． （3）①当点N在D左侧时，过M作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴， ∴； ∴； ③当点N在D右侧时，如图，延长交的延长线于点P， 则， 是的外角， 是的外角， ，即， ， 综上所述，或或． 39．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为________； (2)如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）．    ①若，判定是否是“梦想三角形”，为什么？ ②当为“梦想三角形”时，则的度数是_________． 【答案】(1)或 (2)①是“梦想三角形”；理由见解析；②或或 【分析】（1）分两种情形：当是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可． （2）①根据“梦想三角形”的定义可以判断：是“梦想三角形”； ②分六种情况进行讨论当是的三倍时，当是的三倍时，当是三倍时，当是三倍时，当是的三倍时，当是是的三倍时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：当是三角形的一个内角的3倍，则这个内角为， 第三个内角为：， 故此时最小的内角是， 当另外两个内角是3倍关系时，则有另外两个内角中较小的内角为： ， 故此时最小的内角是； 故答案为：或． （2）解：①是“梦想三角形”，理由如下： ， ， ∵，， 又∵， ， ， “梦想三角形”． ②， ， ∵， ∴； 当是的三倍时，则， ∴； 当是的三倍时，则， ∴此时点C与点O重合，不符合题意； 当是三倍时，则， ∴； 当是三倍时，则， ∵点C在线段上，且点C不与O、B重合， ∴，即， ∵， ∴此时不符合题意； ∴不可能是的三倍； 当是的三倍时，则， ∴； 当是是的三倍时，则， ∵点C在线段上，且点C不与O、B重合， ∴，即， ∵， ∴此时不符合题意； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂线定义理解，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 40．【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$