专题01 与三角形有关的线段（七大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

专题01 与三角形有关的线段（七大题型，60题） 目录 题型一：三角形的边 1 题型二：三角形的高 3 题型三：根据三角形的中线求长度、面积 6 题型四：三角形的垂心和重心 9 题型五：三角形角平分线的定义 10 题型六：利用网格求三角形面积 11 题型七：三角形的稳定性 13 题型一：三角形的边 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列选项能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．，，4 D．2，2，4 6．（21-22七年级下·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 7．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述： ①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点； ③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形； ④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 11．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）若，则以为边长的等腰三角形的底边长是 ． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 14．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 题型二：三角形的高 16．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知的周长为，其三边上的高分别为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 19．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 20．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 21．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 22．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 23．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 24．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 25．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，中，，，，，是边上的高 ．求的长．    题型三：根据三角形的中线求长度、面积 26．（2024八年级·全国·竞赛）在一个三角形中，可能相交于三角形的边上的是三条（    ）的交点． A．高线 B．中垂线 C．角平分线或中线 D．高线或中垂线 27．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 28．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 29．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 30．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 31．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 32．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形的边和延长相交于E，H和G分别是和的中点，已知四边形的面积为33，则的面积为 33．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，是的中线，点、分别为、的中点，的面积为，则的面积是 ． 34．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 35．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 36．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 37．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，为边上的中线． (1)__________（填“>”、“<”或“=”）； (2)若的周长比的周长多4，且，求的长． 38．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为，且与的周长差为3，求的长． 39．（23-24八年级上·河北沧州·期中）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 40．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 题型四：三角形的垂心和重心 41．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 42．（23-24八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 43．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 44．（22-23七年级下·河北保定·期中）下列正确的有（    ） ①同旁内角互补：②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②三角形的三条角平分线的交点在三角形内；④三角形三条中线的交点在三角形内；⑤三角形的三条高线的交点在三角形内； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（23-24八年级上·陕西西安·期中）三条中线的交点叫做的 ． 46．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 ．    题型五：三角形角平分线的定义 47．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 48．（2023·云南楚雄·二模）如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于   （    ）    A． B． C． D． 49．（2023·云南楚雄·一模）如图，，平分，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 50．（23-24八年级上·广东广州·开学考试）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．    (1)当时，______． (2)证明：平分． (3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 51．（2022七年级上·山西临汾·期末）学习了《角的和差》后，同学们利用手中的三角尺对《角的和差》进行了深入的探究，下面是智慧小组同学们的研究，请你和智慧小组的同学们一起完成下面的探究如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一块含角的直角三角板的直角顶点放在点O处．    (1)【牛刀小试】如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)【学以致用】如图②，将直角三角板绕点O沿逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求和的度数； (3)【拓展延伸】如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 题型六：利用网格求三角形面积 52．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请画出向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的，点的对应点分别为； (2)求的面积． 53．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的； (2)计算的面积． 54．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在直角坐标系中．    (1)把向上平移个单位，再向右平移个单位得，在图中画出两次平移后得到的图形，并写出的坐标； (2)如果内部有一点，根据（1）中所述平移方式得到对应点，如果坐标是，那么点的坐标是________； (3)求的面积． 55．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．    (1)请在所给坐标系中画出，并直接写出点的坐标； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） (3)求的面积． 题型七：三角形的稳定性 56．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 57．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在人字梯的中间有一“拉杆”，这样做的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．两点之间，线段最短 58．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 ． 59．（22-23八年级上·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是 ． 60．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与三角形有关的线段（七大题型，60题） 目录 题型一：三角形的边 1 题型二：三角形的高 9 题型三：根据三角形的中线求长度、面积 18 题型四：三角形的垂心和重心 31 题型五：三角形角平分线的定义 35 题型六：利用网格求三角形面积 40 题型七：三角形的稳定性 44 一、题型一：三角形的边 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选：B． 2．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 故选D． 4．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列选项能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．，，4 D．2，2，4 【答案】B 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：两边和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：A、，不能够组成三角形，本选项不符合题意； B、，能组成三角形，本选项符合题意； C、，不能组成三角形，本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 6．（21-22七年级下·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于，据此即可解答． 【详解】解：∵最小的角是，， ∴最大的角小于， ∴这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）现有以下表述： ①三角形按边相等关系分类有三边都不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点； ③平面上有四个点、、、，用它们作顶点可以构成3个或4个三角形； ④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形，三角形的分类等知识． ①按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；②根据三角形的中线，高的性质判断即可；③四点共线，不能构成三角形；④三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形，由此判断即可． 【详解】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ②三角形的三边中线一定交于一点，三角形的高也一定交于一点，故原说法正确； ③平面上有四个点A、B、C、D，当四点共线时，不能组成三角形，故原说法错误； ④有8根木棒，长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8，其中最长边是8，另两边的差大于2，这样的三角形可以有4种，故原说法正确； 理由如下： 三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形． 因为，且满足；且满足；且满足；且满足． 故选：B． 9．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可得到答案． 【详解】解：由点在数轴上的位置得：， ∵线段能围成三角形， ∴由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：， 由不等式③得：， ∴不等式组的解集是， 故选：C． 10．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 11．（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）若，则以为边长的等腰三角形的底边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的三边性质，由非负数的性质可得，，进而得到，，再根据三角形的三边性质即可求解，由非负数的性质得到的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等腰三角形的底边， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键． 14．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 15．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)的周长为11或13 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 二、题型二：三角形的高 16．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知的周长为，其三边上的高分别为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积公式是解题关键． 根据三角形的面积公式求得，根据比例关系可求，从而求出三角形面积． 【详解】解： ＝，即， ∴ ∵的周长为， ∴ ∴的面积为， 故选：B． 18．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 19．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点， ， ，，， ， ， ：：， 故答案是：． 20．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查三角形的概念，熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键，连接连接、，利用“等面积法”可得，从而得到，又，进而可得，即可得答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵﹐且，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)6； 【分析】（1）本题考查作格点三角形的高，根据格点图形的性质直接作图即可得到答案； （2）本题考查作格点三角形的中线，根据格点线段中点作中线即可得到答案； （3）本题考查求格点三角形的面积，根据（1）求出，再结合中线即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，的边上的高如图所示， ； （2）解：由题意可得，的边上的中线如图所示， ； （3）解：由（1）得， ， ∵是的边上的中线， ∴． 22．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高． (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)点到边的距离为 【分析】本题主要考查了复杂作图，以及三角形中线的性质： （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为， 的面积是， ， ， ∴． 即点到边的距离为． 23．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上， 中，，，，点是的中点， ，． 的面积等于10， ， ， 即， ． 如图2，当点在上， 是的中点， ． ， ， 当点Ｐ在点Ｅ的左边时，， 当点Ｐ在点Ｅ的右边时，． 综上所述，当或或时，的面积会等于10， 故答案为或或． 24．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 25．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，中，，，，，是边上的高 ．求的长．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积计算公式的应用，掌握直角三角形面积的等于两条直角边的乘积的一半是解答此题的关键．在直角三角形中，两条直角边、斜边、斜边上的高四个量中，已知其中的三个，求第四个时，一般根据面积法进行求解，即根据直角三角形面积的两种计算方法：两直角边乘积的一半等于斜边与斜边上的高的乘积的一半． 本题中已知两条直角边的长度，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，即可得到的面积；接下来结合直角三角形的面积也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算即可． 【详解】解： ， 是边上的高 ∴ ，，， 解得 三、题型三：根据三角形的中线求长度、面积 26．（2024八年级·全国·竞赛）在一个三角形中，可能相交于三角形的边上的是三条（    ）的交点． A．高线 B．中垂线 C．角平分线或中线 D．高线或中垂线 【答案】D 【分析】本题考查了高线、中垂线、角平分线、中线的定义，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键； 根据高线、中垂线、角平分线、中线的定义及性质即可解决问题． 【详解】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的距离叫做三角形的高；直角三角形三条高所在直线的交点为直角三角形的直角顶点，钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部，锐角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的内部，故符合题意； 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线简称“中垂线”；三角形的三条中垂线中锐角三角形的中垂线交点在三角形内部，直角三角形的中垂线交点在三角形一条边上，钝角三角形的中垂线交点在三角形的外部，故符合题意； 三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部；故不符合题意； 三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线；交点都在三角形内部；故不符合题意； 三角形中，可能相交于三角形的边上的是三条高线或中垂线的交点； 故选：D． 27．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线可得的面积的面积，再根据已知，可得的面积的面积，然后根据，可得的面积的面积，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积为， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积的面积， 故选：B． 28．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出． 【详解】解：边上的高，，的面积是， ，即， ， 是边上的中线， ， 故答案为：8． 29．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴, ②当时，同理可得，则 故答案为：或． 30．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 【答案】 或 【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解； 分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的中点， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：； 如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 31．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将大三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键． 由中线的性质可得，，则，进而可求阴影面积． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 32．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形的边和延长相交于E，H和G分别是和的中点，已知四边形的面积为33，则的面积为 【答案】/8.25/ 【分析】 本题考查掌握三角形面积的求法、三角形中位线的性质．连接，设则设，则即可． 【详解】 解：连接，如图： 设 ， 设，则， ． 故答案为：． 33．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，是的中线，点、分别为、的中点，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】 此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等和的面积为，可求得，，，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 34．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 35．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）由题意得：， ， 是整数， ； （2）是的中线， 的周长为10， ， ， ， 的周长． 36．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】比长厘米． 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据中线的定义可得，然后求出的周长与的周长的差为，从而得解，求出两个三角形的周长的差等于是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ， ， ∴比长厘米． 37．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，为边上的中线． (1)__________（填“>”、“<”或“=”）； (2)若的周长比的周长多4，且，求的长． 【答案】(1)= (2)， 【分析】本题考查了三角形的中线定义，三角形的面积，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． （1）过点作于，利用中线的性质和三角形面积公式即可证得； （2）由．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 为边上的中线， ， ，， ； （2）解：， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 和的长分别为：，． 38．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中是的中线，是的中线． (1)若，求的长； (2)若的周长为，且与的周长差为3，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据三角形中线性质可以求出结果； （）根据是的中线，与的周长差为得出，再由的周长为，即可求解； 本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； （2）∵是的中线，与的周长差为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 39．（23-24八年级上·河北沧州·期中）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义， （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）是的中线，    ， 的周长为10， ， ， ， 的周长． 40．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式； （1）过点作垂足分别为，根据三角形中点的性质可得，根据已知得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解； （3）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作垂足分别为， 依题意，是等腰直角三角形，，为的中点，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴； 故答案为：． （2）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ 同（1）可得∴ ∴， ∴； 故答案为：． （3）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ 同（1）可得 ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 四、题型四：三角形的垂心和重心 41．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心，解题的关键是熟练掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点，分别连接三角形两个顶点与各个点并延长与各边相交，用刻度尺测出交点是否为各边的中点，即可作出判断． 【详解】解：A．如图，连接并延长交于点P，显然不是的中点，因此不是重心，故A错误；    B．如图，连接并延长交于点Q，显然不是的中点，因此F不是重心，故B错误；    C．如图，连接并延长交于点N，连接并延长交于点M，显然M、N分别是、的中点，因此G是重心，故C正确；    D．如图，连接并延长交于点K，显然不是的中点，因此H不是重心，故D错误．    故选：C． 42．（23-24八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角 【答案】D 【分析】根据锐角三角形的三条高交点在三角形内部，直角三角形的三条高交点为直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形外部，判断即可． 【详解】解：∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部， ∴是钝角三角形， ∵， ∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定， 故选：D． 43．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 44．（22-23七年级下·河北保定·期中）下列正确的有（    ） ①同旁内角互补：②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②三角形的三条角平分线的交点在三角形内；④三角形三条中线的交点在三角形内；⑤三角形的三条高线的交点在三角形内； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，点到直线的距离，三角形角平分线的，中线，高线的交点逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故①错误： ②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故②错误； ②三角形的三条角平分线的交点在三角形内，正确； ④三角形三条中线的交点在三角形内，正确； ⑤三角形的三条高线的交点不一定在三角形内，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，三角形角平分线的，中线，高线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（23-24八年级上·陕西西安·期中）三条中线的交点叫做的 ． 【答案】重心 【分析】此题考查了三角形重心的概念，根据题意即可求解，解题的关键是正确理解三条中线的交点叫做三角形的重心． 【详解】三条中线的交点叫做的重心， 故答案为：重心． 46．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 ．    【答案】D 【分析】分别确定边与边的中点，然后连接中线，其交点D就是三条中线的交点． 【详解】如图，设的中点是点M，的中点为点N，则均是的中线，中线与中线的交点D即为三条中线的交点．    故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角形三条中线的交点（即三角形的“重心”）的画法，解题的关键是熟知三角形的三条中线相交于一点． 五、题型五：三角形角平分线的定义 47．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线．熟练掌握三角形的中线，角平分线的定义，是解题的关键．三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的平分线．先根据是中线，是角平分线得出，；根据这两个条件逐一判断即得． 【详解】∵是的中线， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； ∵是的角平分线， ∴， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵是的中线，但不是的中线，故C错误，符合题意． 故选：C． 48．（2023·云南楚雄·二模）如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于   （    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即可求得答案． 【详解】解；∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角、角平分线的定义，熟练掌握对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 49．（2023·云南楚雄·一模）如图，，平分，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可得，再由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，即可得到结果． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 50．（23-24八年级上·广东广州·开学考试）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点、点，交于点，，且．    (1)当时，______． (2)证明：平分． (3)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点做于点．在点的运动过程中，、、之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)32.5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据可得，进而得出的度数； （2）由（1）得，根据角平分线的定义即可得出结论； （3）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据，即可得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：32.5； （2）证明：由（1）得：， 平分； （3）解：， 证明：， ， 平分， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在中，， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点，利用角的和差关系进行推算，是解题的关键． 51．（2022七年级上·山西临汾·期末）学习了《角的和差》后，同学们利用手中的三角尺对《角的和差》进行了深入的探究，下面是智慧小组同学们的研究，请你和智慧小组的同学们一起完成下面的探究如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一块含角的直角三角板的直角顶点放在点O处．    (1)【牛刀小试】如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)【学以致用】如图②，将直角三角板绕点O沿逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求和的度数； (3)【拓展延伸】如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)，见解析 【分析】（1）如图①，根据，进行计算即可； （2）根据角平分线的定义求得，，再根据，，进行计算即可； （3）根据图形得出，，相减即可求出答案． 【详解】（1）解：如图①，， 故答案为：； （2）解：如图②，∵，恰好平分， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：， 理由是：如图，，， ， 即．    【点睛】本题考查角平分线的定义、角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解题的关键． 六、题型六：利用网格求三角形面积 52．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请画出向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的，点的对应点分别为； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）如图，即为所作， （2） 53．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的； (2)计算的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2)1.5 【分析】本题考查了作图—平移变换，利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作出点对应的点，再顺次连接即可得出答案； （2）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，是所求作的图 （2）解：的面积． 54．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在直角坐标系中．    (1)把向上平移个单位，再向右平移个单位得，在图中画出两次平移后得到的图形，并写出的坐标； (2)如果内部有一点，根据（1）中所述平移方式得到对应点，如果坐标是，那么点的坐标是________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) (3)7 【分析】此题考查了平移作图，平移的性质; （1）把的各顶点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到平移后的各点，顺次连接各顶点即可得到； （2）根据（1）平移的方向和距离即可得到点Q的坐标； （3）根据长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）把向上平移个单位，再向右平移个单位得， 内的任意一点都向上平移个单位，再向右平移个单位得到对应点， 内部有一点，平移后得到对应点，坐标是， 点的坐标是， 故答案为； （3）的面积． 55．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．    (1)请在所给坐标系中画出，并直接写出点的坐标； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)7 【分析】（1）根据题中的平移方式作图即可求解； （2）根据题意可得将点向左平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P，即可求解； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，；    （2）解：∵将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到， ∴将点向左平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P， ∴； （3）解：由图可得，． 七、题型七：三角形的稳定性 56．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 57．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，在人字梯的中间有一“拉杆”，这样做的数学原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的性质根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：A． 58．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用，理解三角形稳定性是解题的关键． 从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可解答． 【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 59．（22-23八年级上·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的的稳定性，可以达到保持门框的稳定性． 【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性． 故填：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题． 60．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$