第十一章 三角形 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

第十一章 三角形 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．如图，边长相等的正五边形和正边形（）拼接在一起，则度数可能是（     ） A．54° B．30° C．24° D．18° 2．下列说法中正确的是（　　） A．从一个八边形的某个顶点出发共有6条对角线 B．用一个平面去截一个长方体，截面形状可以是五边形 C．如果一个多边形的各边相等，那么它的各个角也相等 D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，这个实例体现的几何事实是两点确定一条直线 3．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，（    ） A． B． C． D． 5．如图，的三等分线交于点E、D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 7．如图，四边形中，，于点，于点，点为边的中点，下列判断正确的是（    ） ①，②，③若，则，④，⑤若，，则点到直线的最短距离为． A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 8．如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 10．下列各组边长能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在四边形中，的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P，若，则 ． 12．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形对角线总数为 条． 13．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变，为了舒适，需将进行调整，使得，则应调整为 ． 14．已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 15．如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    16．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    三、解答题 17．如图，已知，将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，并写出点的坐标； (2)的面积为_________； (3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为6，请直接写出点P的坐标． 18．已知在中 (1)，求的度数； (2)、、是的三条边长，其中、满足，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 19．已知，在中，，，D为边延长线上的一点，平分，E为射线上一点． (1)如图，连接． ①若，求的度数； ②若平分，求的度数； (2)若直线垂直于的一边所在的直线，请直接写出的度数． 20．如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 21．阅读下列材料，并完成相应的任务： 我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为的方法相同．证明方法如下：如图3，连接．∵，…， 任务： (1)将凹四边形的内角和为的证明过程补充完整． (2)如图3，在凹四边形中，求证：． (3)如图4，在四边形中，已知，求的度数． 22．普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　； (2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由； (3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数； (4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 23．直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动． (1)如图1，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及延长线相交于、，在中，如果有两个角度数的比是，直接写出的度数． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．如图，边长相等的正五边形和正边形（）拼接在一起，则度数可能是（     ） A．54° B．30° C．24° D．18° 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．先由内角和公式得出与的度数，再求出的度数，最后根据，可知，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，， 且为整数， 若，则 故选：C． 2．下列说法中正确的是（　　） A．从一个八边形的某个顶点出发共有6条对角线 B．用一个平面去截一个长方体，截面形状可以是五边形 C．如果一个多边形的各边相等，那么它的各个角也相等 D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，这个实例体现的几何事实是两点确定一条直线 【答案】B 【分析】 本题考查多边形的相关概念，以及两点之间线段最短的实际应用，根据边形对角线为条，即可判断A项，根据立体图形截面的特点，即可判断B项，根据多边形的特点，即可判断C项，根据对两点之间线段最短的理解，即可判断D项． 【详解】解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，所以A项错误，不符合题意． B、用一个平面去截一个长方体，截面形状可以是五边形，所以B项正确，符合题意． C、如果一个多边形的各边相等，那么它的各个角不一定相等，例如：菱形各边相等，但各角不相等，所以C项错误，不符合题意． D、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，这个实例体现的几何事实是两点之间线段最短，所以D项错误，不符合题意． 故选：B． 3．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，邻补角，解题的关键是正确作出辅助线．延伸直线a，b交于点，根据，，可求出，，最后根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图，延长直线a，b相交于点， ，， ，， ， 直线a，b所夹锐角的度数为， 故选：B． 4．如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．根据三角形外角的性质把这七个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于解答即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点P，与交于点M，与交于点N， ∴，，，． ∵， ∴． 故选D． 5．如图，的三等分线交于点E、D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，设，根据三等分线，得到，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：设， 由题意，得：在中，①， 在中，②， ：，即：， ∴， 故选：B． 6．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 7．如图，四边形中，，于点，于点，点为边的中点，下列判断正确的是（    ） ①，②，③若，则，④，⑤若，，则点到直线的最短距离为． A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形面积公式、点到直线的距离等知识点，由垂直的性质即可判断①；由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，再由，计算即可盘算②；由题意得出，再由平行线的判定定理即可判断③；由点为边的中点得出，设中边上的高为，则，求出的值即可判断⑤，由已知条件无法证明出，即可判断④． 【详解】解：， ∴ ，故①正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ， ， ，故③正确，符合题意； 点为边的中点，， ， 设中边上的高为，则， 解得：， 点到直线的最短距离为，故⑤错误，不符合题意； 由已知条件无法证明出，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：A． 8．如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，由是的中线可得，进而得，再由可得，即得到，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解决几何图形镶嵌成平面的关键．根据“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”的镶嵌条件即可解答． 【详解】解：A、正五角形的内角为，由不是整数，故不符合题意； B、正六角形的内角为，由是整数，故符合题意； C、正八角形的内角为，由不是整数，故不符合题意； D、正十二角形的内角为，由不是整数，故不符合题意． 故选：B． 10．下列各组边长能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴不能组成三角形，故不合题意； ∵， ∴不能组成三角形，故不合题意； ∵， ∴能组成三角形，故符合题意； ∵， ∴不能组成三角形，故不合题意； 故选：． 二、填空题 11．如图，在四边形中，的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形、四边形内角和定理，角平分线定义，由四边形的内角和为得到，由角平分线定义得出，又根据三角形内角和定理有，，那么，于是，由可得结论 【详解】解：∵， ∵四边形的内角的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴, 故答案为： 12．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形对角线总数为 条． 【答案】14 【分析】先由多边形内角和公式及已知的内角和求出这个多边形的边数，再由多边形的边数求出其对角线条数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则由题意可得： ，解得：， 即这个多边形是七边形， ∵七边形的的对角线条数为：， ∴这个多边形的对角线共有14条． 故答案为：14 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线条数是解题的关键．（1）n边形的内角和为：；（2）n边形的对角线条数． 13．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变，为了舒适，需将进行调整，使得，则应调整为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点G，利用三角形内角和定理求出，利用对顶角相等可得，然后再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形的外角性质即可求出调整后的度数． 【详解】解：延长交于点G，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识， 利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b、c的值，再解绝对值方程可得a的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴，， ∵为方程的解， ∴或2， 又， ∴， ∴的周长为， 故答案为∶12． 15．如图，是的中线，于点，于点已知：，，，则 ．    【答案】 【分析】由是的中线可得的面积的面积，分别表达两个三角形的面积，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，解题的关键是掌握三角形中线及其应用． 16．将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 三、解答题 17．如图，已知，将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的，并写出点的坐标； (2)的面积为_________； (3)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为6，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)5 (3)点P的坐标为或 【分析】此题考查了画平移图形，利用网格求图形面积， （1）根据平移的性质作图即可，根据点在坐标系中的位置得到点的坐标； （2）利用割补法求三角形面积； （3）由平移得，设点P的坐标为，根据，求出x即可得到点P的坐标． 【详解】（1）如图，即为所求；点的坐标为； （2）的面积为 （3）由平移得， 设点P的坐标为， 解得或， ∴点P的坐标为或． 18．已知在中 (1)，求的度数； (2)、、是的三条边长，其中、满足，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)9 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及绝对值和平方的非负性，三角形三边关系等，理解题意，综合应用这些知识点是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由题意代入求解即可； （2）根据绝对值和平方的非负性确定，再由三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵、、是的三个内角 ∴ 又∵ ∴ ∴． （2）∵ ∴ ∴ 又∵ 即， ∴ 又∵三角形的周长为整数 ∴三角形的周长为9． 19．已知，在中，，，D为边延长线上的一点，平分，E为射线上一点． (1)如图，连接． ①若，求的度数； ②若平分，求的度数； (2)若直线垂直于的一边所在的直线，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②； (2)或或． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． （1）①利用三角形的内角和定理、角平分线的性质先求出，再利用平行线的性质求出； ②利用三角形外角与内角的关系先求出，再利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系求出； （2）分三种情况，利用三角形的内角和定理可得结论． 【详解】（1）解：①，， ． 平分， ． ， ； ②，， ，． 平分，平分， ，， ； （2）解：如图1，当，垂足为时， 则． 由（1）知，， ； 如图2，当，则． 由（1）知，，， ， ． ； 如图3，当，则． 由（1）知，， ． 所以的度数为或或， 故答案为：或或． 20．如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 21．阅读下列材料，并完成相应的任务： 我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为的方法相同．证明方法如下：如图3，连接．∵，…， 任务： (1)将凹四边形的内角和为的证明过程补充完整． (2)如图3，在凹四边形中，求证：． (3)如图4，在四边形中，已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接并延长到点，根据三角形的外角的性质即可解决问题； （3）由（2）的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，， ， 凹四边形的内角和为； （2）证明：连接并延长到点．如图， 则为的外角，为的外角， ，， ， ． ， ； （3）由（2）可知，． ， ， ． 22．普于学习的小亮同学借助数学软件做了以下探究．如图①，已知与的角平分线与相交于点，并且平分的外角．设，，．若不断变化的度数，与的数值大小也发生变化，得到下面几组对应值： 50 60 70 80 90 115 120 130 135 25 30 40 45 (1)直接写出上表中　　　　；　　　　； (2)写出数值与的函数关系　　　　；写出数值与的函数关系　　　　；并对其中的一种函数关系解释理由； (3)如图②，用剪刀剪下，剪痕交、分别于、两点，得到四边形，若，求的度数； (4)如图③，在图①的情况下再作与外角的角平分线相交于点，继续作与外角的角平分线相交于点，以此类推，作与外角的角平分线相交于点．直接写出度数的大小（用的关系式表示）． 【答案】(1)125，35； (2)，，理由见解析； (3) (4) 【分析】（1）观察表格发现，每增加，和增加，据此即可得出答案； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义，可得出数值与的函数关系；根据三角形外角的性质和角平分线的定义，可得出数值与的函数关系； （3）根据四边形内角和，得出，结合角平分线的定义，得到，再根据三角形内角和定理，即可求出的度数； （4）根据（2）得出的与的函数关系，发现规律，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察表格发现，每增加，和增加， ，， 故答案为：125，35； （2）解：数值与的函数关系为：，理由如下： ，， ， 、分别平分、， ，， ， ，即； 值与的函数关系为：，理由如下： 是的外角， ， 是的外角， ， 平分， ， ， ，即； （3）解：四边形的内角和为，且， ， 、分别平分、， ，， ， ； （4）解：由（2）可知，， ， ， …… 观察发现， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，多边形内角和，图形类规律探索，正确得出与、与的函数关系是解题关键． 23．直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动． (1)如图1，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小． (2)如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及延长线相交于、，在中，如果有两个角度数的比是，直接写出的度数． 【答案】(1)不发生变化， (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键． （1）先求解，结合角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求求解的度数； （2）由平角的定义求解，利用角平分线的定义可求，根据四边形的内角和定理可求，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解； （3）先求解，结合有两个角度数的比是分4种情况可求解． 【详解】（1）解：不变． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）不变． ， ， ∵、分别是和的角平分线， ， ， ， ， ∵、分别是和的角平分线， ， ， ； （3）∵平分平分， ， ， ， 即， ∵平分， ， ， ， 在中， ∵有两个角度数的比是，故有4种情况： ；(不成立) ； ； ④(不成立)． ∴为或． 故答案为：为或． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$