专题03 三角形的内角与外角（9大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题03 三角形的内角与外角 目录 【题型一 三角形内角和定理的证明】 1 【题型二 应用三角形内角和定理求角度】 3 【题型三 三角形内角和与角平分线的综合应用】 3 【题型四 三角形折叠中的角度问题】 4 【题型五 三角形内角和与平行线的综合应用】 5 【题型六 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 6 【题型七 直角三角形的判定】 7 【题型八 应用直角三角形的性质求角度】 7 【题型九 三角形的外角的定义及性质】 8 【题型一 三角形内角和定理的证明】 例题：（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【题型二 应用三角形内角和定理求角度】 例题：（23-24七年级下·山西运城·期末）如图①是一种创意花瓶摆件，图②是从其正面看的示意图，在中，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 【题型三 三角形内角和与角平分线的综合应用】 例题：（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，、分别平分和，，分别平分和，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．若，则 °．    【题型四 三角形折叠中的角度问题】 例题：（2024·河北衡水·一模）如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1．（吉林省长春市经开区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，将三角形纸片沿直线折叠，使点落在四边形的内部的处，若，，则 ． 2．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若°，，则的度数为 ． 【题型五 三角形内角和与平行线的综合应用】 例题：（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【题型六 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 例题：（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）一副三角板如图摆放，点C，F均在直线上，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型七 直角三角形的判定】 例题：（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型八 应用直角三角形的性质求角度】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，，分别是的高和角平分线，且，，则 ． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    【题型九 三角形的外角的定义及性质】 例题：（2024·广东佛山·三模）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，中，，，平分，于，则 ． 一、单选题 1．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线，直线和相交于点，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知长方形纸片， 点 、 在 边上，点、 在 边上，分别沿、 折叠，使点 和点 都落在点 处，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠， 使点 C落在内(如图)，若，则的度数为 ． 7．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，这是一个五角星，则 ． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 9．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 10．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）在中，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 三、解答题 11．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，平分．求和的度数． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： (1)的度数； (2)的度数． 14．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，于点D，点E为边上一点． (1)若平分，，，求的度数． (2)在（1）条件下，直接写出______． 15．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，． (1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________； (2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数； (3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形的内角与外角 目录 【题型一 三角形内角和定理的证明】 1 【题型二 应用三角形内角和定理求角度】 4 【题型三 三角形内角和与角平分线的综合应用】 5 【题型四 三角形折叠中的角度问题】 8 【题型五 三角形内角和与平行线的综合应用】 10 【题型六 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 13 【题型七 直角三角形的判定】 15 【题型八 应用直角三角形的性质求角度】 17 【题型九 三角形的外角的定义及性质】 19 【题型一 三角形内角和定理的证明】 例题：（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】解：证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整，故选项A正确，B错误， 三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，证法2不能证明该定理，故选项C错误，不符合题意； 如图，延长到点E，过点C作，    ∴， ∴， ∴在证明该定理时能同时添加证法1与证法2中的辅助线，故选项D错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【题型二 应用三角形内角和定理求角度】 例题：（23-24七年级下·山西运城·期末）如图①是一种创意花瓶摆件，图②是从其正面看的示意图，在中，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和为，据此直接计算即可． 【详解】解：在中，已知，， 则， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 【答案】235°/235度 【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为计算，然后根据邻补角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 【答案】35 【分析】本题考查对顶角、邻补角，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理以及对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：∴，而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 【题型三 三角形内角和与角平分线的综合应用】 例题：（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识点． 根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，、分别平分和，，分别平分和，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理， 以及角的平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据三角形内角平分线的交角的基本图形和解题方法即可得到答案. 【详解】解： ， 又∵、分别平分和 ， ， ， ∵分别平分和， ， ， ， 故选B 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．若，则 °．    【答案】10 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先求出的度数，角平分线求出的度数，高线结合三角形的内角和求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 【题型四 三角形折叠中的角度问题】 例题：（2024·河北衡水·一模）如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】解：①当时，如图1中， ， ， 由折叠得， ； ②当时，如图2， ， ， ， 由折叠得，， 的度数为或； 故选：C． 【变式训练】 1．（吉林省长春市经开区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，将三角形纸片沿直线折叠，使点落在四边形的内部的处，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得． 【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得． 又， ， ， 故答案为：． 2．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若°，，则的度数为 ． 【答案】130°/130度 【分析】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出，是解题的关键． 【详解】解：∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型五 三角形内角和与平行线的综合应用】 例题：（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 标记、交于点，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，根据，得出，根据“三角形三个内角的和等于”，得出，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记、交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【题型六 应用三角形内角和定理解决三角板问题】 例题：（23-24九年级下·吉林延边·阶段练习）一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ， ， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·安徽亳州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由平角的定义得到 ，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）一副三角板如图摆放，点C，F均在直线上，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理应用．先求出，由平行得，利用三角形内角和求出结论． 【详解】解：∵与为一副直角三角板， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 【题型七 直角三角形的判定】 例题：（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【题型八 应用直角三角形的性质求角度】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，，分别是的高和角平分线，且，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的定义．根据三角形内角和定理可求出的度数，根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ， ∵是的角平分线， ， ∵是的高， ， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 ，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则= ．    【答案】/110度 【分析】本题考查的是平行线的性质和外角和定理，对顶角角度相等，根据题意可知三角板的为，，再根据外角和定理及同位角和对顶角定理，即可得到答案． 【详解】解：∵角的直角三角板，， ∴， 又∵，根据平行线同位角相等得：， ∵与为对顶角， ∴， 故答案为：．    【题型九 三角形的外角的定义及性质】 例题：（2024·广东佛山·三模）如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形是特征；由平行线的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、三角形外角的定义及性质，根据题意可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图， ， 由题意得：，， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，中，，，平分，于，则 ． 【答案】/36度 【分析】此题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，直角三角形的锐角互余，三角形外角性质，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得，再由外角性质得，进而根据直角三角形的锐角互余求出即可，熟练掌握三角形内角和等于和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 3．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线，直线和相交于点，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题的关键是利用好数形结合的思想． 根据三角形外角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ； 故选：A．    4．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知长方形纸片， 点 、 在 边上，点、 在 边上，分别沿、 折叠，使点 和点 都落在点 处，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．根据折叠性质，平行线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵分别沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和：(2)三角形的内角和是180度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180度这一隐含的条件；根据即可求解． 【详解】∵把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部 ∴ 故选：B ． 二、填空题 6．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠， 使点 C落在内(如图)，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，进而得到，再根据四边形内角和为360度即可得到答案． 【详解】解：如图，设折痕为DE； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴（四边形的内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和）， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，这是一个五角星，则 ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，设、交于点，、交于点，由三角形外角的定义及性质可得，，结合三角形内角和定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设、交于点，、交于点， ，， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算，角之间的换算是关键． 根据中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算逐一分析即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，①正确； 在中，，②正确； 与的高相等，底， ∴，③错误； 由题意可知，， ， 又， ， ， ， ，④正确； 故答案为：①②④． 9．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 【答案】34 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理可得：，，从而得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， 根据三角形内角和定理可得：，， ∴由得：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·陕西铜川·期末）在中，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用、一元一次方程的应用，根据题意设，则，由三角形内角和定理列方程，求出，进一步即可判断三角形的形状． 【详解】在中，， 设，则， 根据三角形的内角和定理， 则得到方程， 解得． ． ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角 三、解答题 11．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，平分．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关的知识．先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最 后 根 据 三 角 形 的 外 角 性 质 求 出 ． 【详解】解：，， ， 平分， ， ． 12．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得； （2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得； （2）解：如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， 同理可得； 如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 13．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂线的定义、三角形外角的性质， （1）根据垂线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据三角形外角的性质可得，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，于点D，点E为边上一点． (1)若平分，，，求的度数． (2)在（1）条件下，直接写出______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）先求出的度数，即可求出的度数，于是得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）在中根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴在中，， 又， ， 又平分， ， ∴在中，， （2）解：由（1）知， ， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，． (1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________； (2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数； (3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)； (3)或． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，分情况讨论，作出图形是解答此题的关键． （1）利用同角的余角相等，即可得到； （2）证明，利用两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （3）分两种情况讨论，利用平行线的性质结合三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即； 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$