专题01 三角形的三边关系（7大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题01 三角形的三边关系 目录 【题型一 三角形的识别与有关概念】 1 【题型二 三角形的分类】 2 【题型三 三角形个数的规律探究题】 2 【题型四 应用三角形的三边关系求第三边的长或范围】 3 【题型五 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】 3 【题型六 应用三角形的三边关系求化简含有绝对值的式子】 4 【题型七 三角形的稳定性】 4 【题型一 三角形的识别与有关概念】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．    【题型二 三角形的分类】 例题：（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式训练】 1．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）一个三角形三个内角度数的比是，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【题型三 三角形个数的规律探究题】 例题：（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（2022八年级·全国·专题练习）观察图形规律： （1）图①中一共有 个三角形，图②中共有 个三角形，图③中共有 个三角形． （2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有 个三角形． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，D，E，F，G是线段BC上的点． （1）以AC为边的三角形有 ； （2）图中共有 个三角形． 【题型四 应用三角形的三边关系求第三边的长或范围】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（    ） A．9 B．5 C．4 D．14 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知三角形的三边分别为2，，4，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）已知两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为 ． 【题型五 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】 例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，则x可能的值是（    ） A．9 B．3 C．5 D．4 【变式训练】 1．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）等腰三角形的周长为18，其中一边长为4，则该三角形的底边长为（    ） A．8 B．7 C．10 D．4 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【题型六 应用三角形的三边关系求化简含有绝对值的式子】 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ． 【题型七 三角形的稳定性】 例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，生活中在电线杆的两侧拉两条钢丝绳来加固电线杆，这是利用了三角形的（   ） A．全等性 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，如图实物图中利用了稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，王师傅在院子的门板上钉了一个加固板（阴影），这样做的数学依据是三角形的 ． 一、单选题 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（      ） A．3，5，8 B．1，3，6 C．3，4，5 D．4，4，9 4．（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，设米，则a的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，小力家客厅中的花架都是三角形的形状，该设计是利用三角形的 ． 7．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 8．（22-23八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 9．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 10．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．    (1)图中共有三角形__________个． (2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______． 12．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，在同一平面内有三个点，，． (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线；②作线段；③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，请直接写出 　　（填“”，“ ”或“”），你的判断依据是 　　． 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 15．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的三边关系 目录 【题型一 三角形的识别与有关概念】 1 【题型二 三角形的分类】 2 【题型三 三角形个数的规律探究题】 4 【题型四 应用三角形的三边关系求第三边的长或范围】 5 【题型五 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】 6 【题型六 应用三角形的三边关系求化简含有绝对值的式子】 8 【题型七 三角形的稳定性】 9 【题型一 三角形的识别与有关概念】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答． 【详解】解：符合三角形概念的是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．    【答案】 【分析】根据图形即可解答． 【详解】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【题型二 三角形的分类】 例题：（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选C 【变式训练】 1．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）一个三角形三个内角度数的比是，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由一个三角形三个内角度数的比是，可得出这个三角形有两个相等的角，结合“等角对等边”，可得出这个三角形一定是等腰三角形． 【详解】解：一个三角形三个内角度数的比是， 这个三角形有两个相等的角， 这个三角形有两个相等的边， 这个三角形一定是等腰三角形． 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 【题型三 三角形个数的规律探究题】 例题：（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 【变式训练】 1．（2022八年级·全国·专题练习）观察图形规律： （1）图①中一共有 个三角形，图②中共有 个三角形，图③中共有 个三角形． （2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有 个三角形． 【答案】 3 6 10 【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可； （2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形． 故答案为：3，6，10； （2），，， 第n个图形共有：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律和三角形的个数问题，根据已知得出数字是连续整数的和是解题关键． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，D，E，F，G是线段BC上的点． （1）以AC为边的三角形有 ； （2）图中共有 个三角形． 【答案】 ，，，， 15 【解析】略 【题型四 应用三角形的三边关系求第三边的长或范围】 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（    ） A．9 B．5 C．4 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于5，而小于13． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知三角形的三边分别为2，，4，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：根据题意，三角形的三边分别为2，，4， 则有，即， 解得． 故选：A． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）已知两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边的长为奇数， ∴、5或7， ∴第三边的长的最大值为7． 故答案为：7． 【题型五 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】 例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，则x可能的值是（    ） A．9 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由三边关系定理，得，求解即可. 【详解】解：腰长为x，则底为， 解得； 故选：C 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，一元一次不等式求解；由三边关系定理构建不等式是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）等腰三角形的周长为18，其中一边长为4，则该三角形的底边长为（    ） A．8 B．7 C．10 D．4 【答案】D 【分析】需要分两种情况讨论：①腰长为；②底边长为． 【详解】解：①若腰长为． 设底边长为，则 ． 解得： ． 因为，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为，底边长为的等腰三角形． ②若底边长为． 设腰长为，则 ． 解得： ． 因为，符合三角形两边的和大于第三边，所以能围成腰长为，底边长为的等腰三角形． 综上所述，三角形的底边长为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系（三角形两边的和大于第三边），牢记三角形的三边关系是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形． 【详解】解：若3为腰长，7为底边长， ∵， ∴三角形不存在， 若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边， ∴这个三角形的周长， 故答案为：． 【题型六 应用三角形的三边关系求化简含有绝对值的式子】 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质．根据非负数的性质可得，再由三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， 即， ∴这个三角形的第三边可以是3． 故选：B 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ． 故选：B． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果的两边长a、b满足条件，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．本题主要考查的是三角形的三边关系，非负数的性质，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 【详解】解：、满足条件， ，， ，． 、、为三角形的三边长， ，即． 故答案为：． 【题型七 三角形的稳定性】 例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，生活中在电线杆的两侧拉两条钢丝绳来加固电线杆，这是利用了三角形的（   ） A．全等性 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】B 【分析】本题考查三角形的特性，根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：三角形具有稳定性，因此这是利用三角形的稳定性， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西晋城·期中）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，如图实物图中利用了稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了三角形的性质中的稳定性．三角形的特性之一就是具有稳定性．找到图形中有三角形固定的即可． 【详解】解：A、利用了三角形的稳定性，正确； B、利用了四边形的不稳定性，故错误； C、利用了四边形的不稳定性，故错误； D、利用了四边形的不稳定性，故错误， 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，王师傅在院子的门板上钉了一个加固板（阴影），这样做的数学依据是三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性． 【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形， 故答案为：稳定性． 一、单选题 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得出答案． 【详解】解：∵中， ∴，ABC不满足条件，D满足条件． 故选：D． 3．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（      ） A．3，5，8 B．1，3，6 C．3，4，5 D．4，4，9 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为3，5，8的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为1，3，6的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为3，4，5的三条线段能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为4，4，9的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：∵三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等腰三角形分为：两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形． ∴Q表示的是等边三角形． 故选：A． 5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，设米，则a的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键．根据三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边之间的关系可得： ， 米，米， ， ， 即． 故选：D 二、填空题 6．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，小力家客厅中的花架都是三角形的形状，该设计是利用三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：小力家客厅中的花架都是三角形的形状，该设计是利用三角形的稳定性 故答案为：稳定性． 7．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵ ∴符合题意的只有②③④． 故答案为：②③④． 8．（22-23八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 9．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若的三边长分别为5、3、k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】18 【分析】根据三角形三边关系可得，再解一元一次方程求得，可得，从而可得，即可确定k的取值范围，再根据k为整数，可得k的值，再进行求和即可． 【详解】解：∵的三边长分别为5、3、k， ∴， ， 解得， ∵方程的解为非正数， ∴， 解得， 综上所述，， 又∵k为整数， ∴k的值为5、6、7， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查三角形的三边关系、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系、解一元一次方程求得k的取值范围是解题的关键． 10．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识， 利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b、c的值，再解绝对值方程可得a的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴，， ∵为方程的解， ∴或2， 又， ∴， ∴的周长为， 故答案为∶12． 三、解答题 11．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．    (1)图中共有三角形__________个． (2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______． 【答案】(1)8； (2)，． 【分析】（1）根据图形，即可解答； （2）根据图形，即可解答． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，． （2）解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，解题的关键是掌握熟练掌握相关概念，不重复不遗漏的数出三角形个数． 12．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，在同一平面内有三个点，，． (1)利用尺规，按下面的要求作图．要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论； ①作射线；②作线段；③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，请直接写出 　　（填“”，“ ”或“”），你的判断依据是 　　． 【答案】(1)见解析 (2)；两边之和大于第三边 【分析】本题主要考查线段，射线，线段和差，三角形三边数量关系，理解并掌握以上知识是解题的关键． （1）直接利用直线、线段、射线的定义，结合作一线段等于已知线段得出答案； （2）利用三角形三边关系得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：①射线即为所求作；②线段即为所求作；③以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接． （2）解：与的大小关系是． 故答案为：；两边之和大于第三边． 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 14．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 【答案】(1)4个 (2)，见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）解：由（1） 知是直角三角形， ， ； （3）解：，， ， ， ． 15．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$