专题01 长方体和正方体-2024-2025学年六年级上册数学计算大通关（苏教版）

计算大通关 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 在素养能力中，运算能力是非常重要的一部分，运算能力包含了基本运算（口算、竖式计算、脱式计算）和空间运算（周长、面积、表面积及体积）两部分。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级上册数学计算大通关》，针对计算能力，按照年级单元进行专项梳理汇编，让学生掌握知识点的同时进行计算训练，不断提高，突破自我！ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级上册数学计算大通关 第一单元长方体和正方体 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 2 专题突破 3 专题一长方体和正方体的棱长 3 专题二长方体和正方体的表面积 5 专题三组合图形的表面积（长方体和正方体） 6 专题四长方体和正方体的体积 7 专题五组合图形的体积（长方体和正方体） 8 专题六长方体和正方体的表面积切拼问题 9 专题七长方体和正方体的体积切拼问题 9 专题八等积变形问题 10 综合突破 11 常用知识点 常用知识点 一、长方体和正方体的表面积。 1、表面积的含义。 物体的表面积：围成物体表面的图形的总面积。 长方体（正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体表面积的计算方法。 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。如果用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积的计算公式可以用字母表示为s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。 有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 3、正方体表面积的计算方法。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，如果用s表示正方体的表面积，用a表示正方体的棱长 ，那么正方体表面积的计算公式用字母表示为s=6a2 二、长方体和正方体的体积。 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 三、体积单位及其换算。 1、每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 专题突破 专题突破 专题一长方体和正方体的棱长 1．用一根绳子捆扎一种礼盒（如图），如果接头处的绳子长，求这根绳子的长度？ 2．李珍珍的生日到了，妈妈给她订了一个蛋糕，蛋糕盒子上系了一根丝带如图，若系蝴蝶结用了18厘米，则这根丝带一共长多少厘米？ 3．妈妈明天过生日，小颖用微波炉为妈妈做了一个水果味蛋糕，把它放进一个长方体礼盒内（如图），并用彩带扎好．小颖是用多长的彩带包扎的？（蝴蝶结长32厘米） 专题二长方体和正方体的表面积 4．计算如图各立体图形的表面积。 5．计算如图图形的表面积。 （1） （2） 6．求下列图形的表面积和体积． （1）（2） 专题三组合图形的表面积（长方体和正方体） 7．求表面积。（单位：分米） 小立方体棱长1分米 8．图形计算（单位：厘米） 求如图立体图形的表面积。 9．计算下面图形的表面积和体积。（单位： （1）（2） 专题四长方体和正方体的体积 10．计算下面图形的表面积和体积。 11．求下列长方体和正方体的表面积和体积。（单位： 12．计算如图的长方体的表面积和正方体的体积。（单位：分米） 专题五组合图形的体积（长方体和正方体） 13．如图，计算如图图形的表面积和体积。 14．求下面图形的体积。 15．计算下面物体的体积和表面积． 专题六长方体和正方体的表面积切拼问题 16．一块长方体木料，长6cm，宽4cm，高3cm，把这块长方体木料平均切割成2个长方体，它的表面积最多可增加( )cm2，最少可增加( )cm2。 17．如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 18．一个长方体可以切成7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是6平方分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 专题七长方体和正方体的体积切拼问题 19．把一个长、宽、高分别是10分米、8分米、5分米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方分米，削去部分的体积是( )立方分米。 20．一个长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，这个长方体的所有棱长之和是( )厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米；若从这个长方体切割下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )厘米，剩余部分的体积是( )立方厘米。 21．如下图，从一个棱长是4cm的正方体上锯下一个棱长是1cm的小正方体，剩下部分的表面积是( )cm2，剩下部分的体积是( )cm3。 专题八等积变形问题 22．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 23．把一个棱长12厘米的正方体铁块锻造成一个长18厘米，宽12厘米的长方体，锻造成的长方体的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 24．一个密封的长方体容器（如图），长4dm，宽1dm。高2dm，里面水深1.6dm。现在把这个容器的左侧面贴在桌面上立起来，这时水深( )dm。    综合突破 综合突破 1．求如图所示图形的表面积。 2．计算图中长方体和正方体的表面积。（单位：厘米） 3．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 4．计算如图形（1）的表面积和图形（2）的体积。（单位：分米） （1）（2） 5．计算如图所示图形的表面积和体积。（单位： 6．计算下面图形的表面积和体积。（单位： 7．求如图形的表面积和体积。（单位： 8．看图计算表面积或体积。 正方体的表面积： 长方体的体积： 9．如图是一个长方体的展开图，分别计算它的表面积和体积。（单位： 10．求下面图形的体积。 11．求下面图形的表面积和体积（单位：米） 12．计算下面图形的表面积。（单位：厘米） 13．求出如图所示图形的表面积和体积。（单位：厘米） 14．求下面各图形的表面积和体积。（单位： 15．计算下列图形的表面积与体积。（单位： （1）求如图所示图形的表面积和体积。 （2）求如图的表面积和体积。 16．（单位： （1）计算图1物体的表面积； （2）计算图2物体的体积。 17．图形计算。 求下面几何体的表面积和体积。（单位： 18．计算下面几何体的（左表面积和（右体积。 19．计算如图图形的表面积和体积。 20．如图，计算这块空心砖的表面积．（单位：厘米）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$计算大通关 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 在素养能力中，运算能力是非常重要的一部分，运算能力包含了基本运算（口算、竖式计算、脱式计算）和空间运算（周长、面积、表面积及体积）两部分。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级上册数学计算大通关》，针对计算能力，按照年级单元进行专项梳理汇编，让学生掌握知识点的同时进行计算训练，不断提高，突破自我！ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级上册数学计算大通关 第一单元长方体和正方体 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 2 专题突破 3 专题一长方体和正方体的棱长 3 专题二长方体和正方体的表面积 5 专题三组合图形的表面积（长方体和正方体） 7 专题四长方体和正方体的体积 9 专题五组合图形的体积（长方体和正方体） 12 专题六长方体和正方体的表面积切拼问题 14 专题七长方体和正方体的体积切拼问题 15 专题八等积变形问题 17 综合突破 19 常用知识点 常用知识点 一、长方体和正方体的表面积。 1、表面积的含义。 物体的表面积：围成物体表面的图形的总面积。 长方体（正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体表面积的计算方法。 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。如果用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积的计算公式可以用字母表示为s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。 有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 3、正方体表面积的计算方法。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，如果用s表示正方体的表面积，用a表示正方体的棱长 ，那么正方体表面积的计算公式用字母表示为s=6a2 二、长方体和正方体的体积。 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 三、体积单位及其换算。 1、每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 专题突破 专题突破 专题一长方体和正方体的棱长 1．用一根绳子捆扎一种礼盒（如图），如果接头处的绳子长，求这根绳子的长度？ 【分析】根据图形可知：所需绳子的长度等于长方体的两条长、两条宽、4条高的长度和，再加上接头处的绳子长15厘米，列式解答即可． 【解答】解： （厘米） 答：这根绳子的长度是91厘米． 【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，关键是搞清是如何捆扎的． 2．李珍珍的生日到了，妈妈给她订了一个蛋糕，蛋糕盒子上系了一根丝带如图，若系蝴蝶结用了18厘米，则这根丝带一共长多少厘米？ 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，根据图示每一组长、宽、高都有2条丝带，因此据此计算再加上蝴蝶结即可。 【解答】解： （厘米） 答：这根丝带一共长238厘米。 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题。 3．妈妈明天过生日，小颖用微波炉为妈妈做了一个水果味蛋糕，把它放进一个长方体礼盒内（如图），并用彩带扎好．小颖是用多长的彩带包扎的？（蝴蝶结长32厘米） 【分析】根据长方体的特征，12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等，求的是两条长、两条宽、4条高加上接头处为32厘米；以此解答． 【解答】解： （厘米） 答：小颖是用232厘米长的彩带包扎的． 【点评】此题属于求长方体的棱长总和问题，解答时要分清求的是哪些棱的长度和． 专题二长方体和正方体的表面积 4．计算如图各立体图形的表面积。 【分析】根据正方体的表面积公式：，长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方厘米） （平方分米） 答：正方体的表面积是1350平方厘米，长方体的表面积是248平方分米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．计算如图图形的表面积。 （1） （2） 【分析】（1）长方体的表面积等于（长宽长高宽高）； （2）正方体表面积等于边长边长。 把数代入计算即可。 【解答】解：（1） （平方厘米） 答：长方体的表面积是158平方厘米。 （2） （平方厘米） 答：正方体的表面积是726平方厘米。 【点评】本题主要考查长方体、正方体表面积的计算。 6．求下列图形的表面积和体积． （1）（2） 【分析】（1）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式解答． （2）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式解答． 【解答】解：（1）表面积：（平方厘米）； 体积：（立方厘米）； 答：这个正方体的表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米． （2）表面积： （平方厘米）； 体积：（立方厘米）； 答：这个长方体的表面积是136平方厘米，体积是96立方厘米． 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 专题三组合图形的表面积（长方体和正方体） 7．求表面积。（单位：分米） 小立方体棱长1分米 【分析】根据图意可知，这个图形上下左右前后都是五个小正方形的面积之和，根据长方形的面积公式，代入数据计算即可解答。 【解答】解： （平方分米） 答：表面积是30平方分米。 【点评】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 8．图形计算（单位：厘米） 求如图立体图形的表面积。 【分析】小长方体的上面相当于大长方体被盖住的部分，所以合并后的立体图形的表面积等于大长方体的表面积加上小长方体的四个侧面的表面积即可。 【解答】解：大长方体的表面积 （平方厘米） 小长方体的四个侧面的表面积 （平方厘米） （平方厘米） 答：立体图形的表面积是280平方厘米。 【点评】本题考查的是长方体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式。 9．计算下面图形的表面积和体积。（单位： （1）（2） 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式解答； （2）通过观察图形可知，它的表面积等于棱长是6厘米的正方体的表面积，它的体积等于棱长是6厘米的正方体的体积与长、宽、高分别是3厘米、2厘米、2厘米的长方体的体积差，根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据分别代入公式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是224平方厘米，体积是192立方厘米。 （2）（平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是216平方厘米，体积是204立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体的表面积个是、体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 专题四长方体和正方体的体积 10．计算下面图形的表面积和体积。 【分析】（1）已知正方体的棱长，求正方体的表面积，用公式：正方体的表面积棱长棱长；求正方体的体积，用公式：正方体的体积棱长棱长棱长，据此列式解答。 （2）要求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积（长宽长高宽高），据此列式解答；要求长方体的体积，用公式：长方体的体积长宽高，据此列式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：正方体的表面积是486平方厘米，体积是729立方厘米。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：长方体的表面积是952平方厘米，体积是1760立方厘米。 【点评】本题考查了长方体的表面积；正方体的表面积；长方体的体积；正方体的体积公式的应用，结合题意分析解答即可。 11．求下列长方体和正方体的表面积和体积。（单位： 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是1312平方厘米，体积是2688立方厘米。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．计算如图的长方体的表面积和正方体的体积。（单位：分米） 【分析】长方体表面积（长宽长高宽高），正方体体积棱长棱长棱长，据此计算即可。 【解答】解： （平方分米） 答：长方体的表面积是310平方分米。 （立方分米） 答：正方体的体积是216立方分米。 【点评】此题考查长方体表面积和正方体体积计算。 专题五组合图形的体积（长方体和正方体） 13．如图，计算如图图形的表面积和体积。 【分析】左图的表面积等于长方体的表面积加上正方体的侧面积，体积等于长方体和正方体体积之和； 右图的表面积等于正方体的表面积，体积等于正方体的体积减去缺口处体积。 【解答】解：左图 表面积： 体积： 答：左图的表面积是，体积是。 右图 表面积： 体积： 答：右图的表面积是，体积是。 【点评】本题考查了长方体和正方体表面积和体积的计算。 14．求下面图形的体积。 【分析】根据图示，该图形体积是长方体体积和正方体体积的和，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】解： （立方厘米） 答：它的体积是4000立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．计算下面物体的体积和表面积． 【分析】根据图形的特点可知：它的体积等于正方体的体积加上长方体的体积，它的表面积等于上面正方体的4个面的面积加上下面长方体的表面积，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，长方体的表面积公式：，把数据分别代入公式解答． 【解答】解： （立方厘米） （平方厘米） 答：它的体积是485立方厘米，表面积是424平方厘米． 【点评】此题主要考查正方体、长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 专题六长方体和正方体的表面积切拼问题 16．一块长方体木料，长6cm，宽4cm，高3cm，把这块长方体木料平均切割成2个长方体，它的表面积最多可增加( )cm2，最少可增加( )cm2。 【分析】根据题意可知：要想使表面积增加的最多，需要对长方体横切，则表面积增加两个底面积的大小；要想使表面积增加的最小，需沿着高纵切，此时表面积增加两个侧面的大小。据此解答。 【解答】表面积增加最多： ＝ ＝(平方厘米） 表面积增加最少： ＝ ＝24(平方厘米） 它的表面积最多可增加（48）cm2，最少可增加（24）cm2。 17．如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【分析】观察图形可知，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少了4个正方形的面积，据此用32除以4即可求出一个正方形的面积。原来的长方体上、下面一共有2个正方形，四个侧面一共有12个正方形，则表面积等于14个正方形的面积之和，据此用一个正方形的面积乘14，即可求出原来长方体的表面积。 【解答】32÷4×（12＋2） ＝8×14 ＝112（平方厘米） 则原来长方体的表面积是112平方厘米。 18．一个长方体可以切成7个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是6平方分米，原来长方体的表面积是( )平方分米。 【分析】每个小正方体的表面积是6平方分米，则一个面的面积是1平方分米，根据题意，7个小正方体拼在一起。会失去（7－1）×2个面，再用7×6求出7个小正方体的面积，再减去（7－1）×2个面的面积，据此解答。 【解答】6÷6＝1（平方分米） 7×6－1×1×（7－1）×2 ＝42－1×6×2 ＝42－12 ＝30（平方分米） 所以原来的长方体的表面积是30平方分米。 专题七长方体和正方体的体积切拼问题 19．把一个长、宽、高分别是10分米、8分米、5分米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方分米，削去部分的体积是( )立方分米。 【分析】根据题意，把一个长方体削成一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长等于长方体最短的棱；根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，分别求出正方体的体积以及原来长方体的体积，再用原来长方体的体积减去最大正方体的体积，即是削去部分的体积。 【解答】5＜8＜10 最大正方体的棱长是5分米。 正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 原来长方体的体积： 10×8×5 ＝80×5 ＝400（立方分米） 削去部分的体积： 400－125＝275（立方分米） 这个正方体的体积是125立方分米，削去部分的体积是275立方分米。 20．一个长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，这个长方体的所有棱长之和是( )厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米；若从这个长方体切割下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )厘米，剩余部分的体积是( )立方厘米。 【分析】（1）根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求出这个长方体的棱长总和； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出这个长方体的体积； （3）从这个长方体切割下一个最大的正方体，因为长方体中高最短，所以正方体的棱长等于长方体的高时最大； （4）先根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个正方体的体积；再用长方体的体积减去正方体的体积，即是剩余部分的体积。 【解答】（1）（8＋6＋5）×4 ＝19×4 ＝76（厘米） （2）8×6×5 ＝48×5 ＝240（立方厘米） （3）5＜6＜8，所以正方体的棱长是5厘米。 （4）240－5×5×5 ＝240－125 ＝115（立方厘米） 这个长方体的所有棱长之和是76厘米，这个长方体的体积是240立方厘米；若从这个长方体切割下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是5厘米，剩余部分的体积是115立方厘米。 21．如下图，从一个棱长是4cm的正方体上锯下一个棱长是1cm的小正方体，剩下部分的表面积是( )cm2，剩下部分的体积是( )cm3。 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 从图意可知：从顶点锯下一个小正方体，表面积不变。体积减少一个小正方体的体积。代入数据即可求解。 【解答】根据分析可得： 表面积：4×4×6＝96（cm2） 体积： 4×4×4－1×1×1 ＝64－1 ＝63（cm3） 从一个棱长是4cm的正方体上锯下一个棱长是1cm的小正方体，剩下部分的表面积是96 cm2，剩下部分的体积是63cm3。 专题八等积变形问题 22．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 【分析】由题意可知，正方体铁块锻造成长方体，其体积不变，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的体积，然后根据长方体的体积公式：V＝abh求出长方体的高，进而根据长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求解即可。 【解答】12×12×12÷（18×12） ＝144×12÷216 ＝1728÷216 ＝8（cm） （18＋12＋8）×4 ＝38×4 ＝152（cm） 即，把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是8cm，长方体的棱长和是152cm。 23．把一个棱长12厘米的正方体铁块锻造成一个长18厘米，宽12厘米的长方体，锻造成的长方体的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【分析】根据题意，把一个正方体铁块锻造成一个长方体，铁块的体积不变； 先根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积； 再根据长方体的体积公式V＝abh，可知长方体的高h＝V÷a÷b，求出这个长方体的高； 因为铁块的体积不变，所以长方体的体积＝正方体的体积＝铁块的体积，据此得出长方体的体积。 【解答】铁块的体积： 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（立方厘米） 长方体的高： 1728÷18÷12 ＝96÷12 ＝8（厘米） 长方体的体积＝正方体的体积＝1728立方厘米 锻造成的长方体的高是8厘米，体积是1728立方厘米。 24．一个密封的长方体容器（如图），长4dm，宽1dm。高2dm，里面水深1.6dm。现在把这个容器的左侧面贴在桌面上立起来，这时水深( )dm。    【分析】根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左侧作为底面，所以用水的体积除以左侧那个面的底面积就是水面的高度。 【解答】4×1×1.6＝6.4（dm3） 6.4÷（2×1） ＝6.4÷2 ＝3.2（dm） 这时水深3.2dm。 【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以容器的底面积（左侧那个面的面积），就是水面的高度。 综合突破 综合突破 1．求如图所示图形的表面积。 【分析】由于一个长方体和一个正方体粘合在一起，所以表面积减去两个正方体面的面积，根据长方体的表面积公式：，正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答即可。 【解答】解： （平方分米） 答：这个组合图形的表面积是852平方分米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．计算图中长方体和正方体的表面积。（单位：厘米） 【分析】根据长方表面积和正方体表面积进行计算即可。 【解答】解： （平方厘米） （平方厘米） 答：长方体的表面积为6300平方厘米，正方体的表面积为864平方厘米。 【点评】此题主要考查长方体和正方体表面积的计算方法。 3．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【分析】（1）根据正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） （2）表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：正方体表面积384平方厘米，体积512立方厘米；长方体表面积7.3平方厘米，体积1立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体和正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．计算如图形（1）的表面积和图形（2）的体积。（单位：分米） （1） （2） 【分析】（1）根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出两个长方体的体积，再相加即可解答。 【解答】解：（1） （平方分米） （2） （立方分米） 【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 5．计算如图所示图形的表面积和体积。（单位： 【分析】图形的表面积正方体的侧面积长方体的表面积，根据正方形的侧面积一个面的面积，长方体的表面积（长宽长高宽高），代入数据即可解答；图形的体积正方体的体积长方体的体积，正方体的体积棱长棱长棱长，长方体的体积长宽高，据此求出体积即可。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是424平方厘米，体积是485立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6．计算下面图形的表面积和体积。（单位： 【分析】由于上面的正方体与下面的长方体粘合在一起，所以在求表面积时，上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求出表面积，然后合并起来；这个组合图形的体积等于正方体与长方体的体积和。根据长方体的表面积公式、体积公式、正方体的表面积公式、体积公式解答。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：这个组合图形的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．求如图形的表面积和体积。（单位： 【分析】由图可知，此图形是一个大长方体切割掉一个小长方体的立体图形，大长方体长是12厘米，宽是10厘米，高是8厘米；小长方体长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米。此图形的表面积就是原来大长方体的表面积，根据长方体表面积（长宽长高宽高）解答；此图形的体积用原来大长方体的体积减去切割掉的小长方体的体积，长方体体积长宽高，据此解答。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：此图形的表面积是592平方厘米；体积是870立方厘米。 【点评】掌握长方体表面积和体积公式是解题的关键。 8．看图计算表面积或体积。 正方体的表面积： 长方体的体积： 【分析】根据正方体的表面积棱长棱长，长方体的体积长宽高，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方厘米） （立方分米） 答：正方体的表面积是384平方厘米，长方体的体积是120立方分米。 【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．如图是一个长方体的展开图，分别计算它的表面积和体积。（单位： 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是7分米，宽是5分米，高是2分米，根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方分米） （立方分米） 答：它的表面积是118平方分米，体积是70立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．求下面图形的体积。 【分析】根据长方体的体积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】解： （立方分米） 答：它的体积是240立方分米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11．求下面图形的表面积和体积（单位：米） 【分析】这是个由一个正方体和一个长方体组成的组合体分别求出正方体和长方体的表面积，再相加，但是由于正方体和长方体的接触面不再是几何体的表面，所以还需要减去2个接触面的面积，即可求出组合体的表面积； 先分别求出正方体和长方体的体积再相加，即可求出组合体的体积。 【解答】解：表面积： （平方米） 体积： （立方米） 【点评】此题需要学生熟练掌握长方体、正方体的表面积和体积公式并灵活运用。 12．计算下面图形的表面积。（单位：厘米） 【分析】根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（厘米） （平方厘米） 答：它的表面积是940平方厘米。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．求出如图所示图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【分析】（1）根据正方体的表面积棱长棱长；正方体的体积棱长棱长棱长；据此代入数据即可解答； （2）根据题意特点可知：由于上面的长方体和下面的长方体结合在一起，所以上面的长方体只求4个面的面积加上下面长方体的表面积就是整个图形的表面积，体积等于两个长方体的体积和．据此解答。 【解答】解：（1）表面积是： （平方厘米） 体积是： （立方厘米） 答：表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：表面积是132平方厘米，体积是68立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．求下面各图形的表面积和体积。（单位： 【分析】（1）通过观察图形可知，由于上面的正方体和下面的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来即可，根据正方体的表面积公式：，长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出它的表面积，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式求出它的体积。 （2）因为长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，切掉这个小正方体后，又外露与原来相同的3个面，所以表面积不变，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出它的表面积；根据长方体的体积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式求出长方体与正方体的体积差即可。 【解答】解：（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是254平方厘米，体积是214立方厘米。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是236平方厘米，体积是232立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．计算下列图形的表面积与体积。（单位： （1）求如图所示图形的表面积和体积。 （2）求如图的表面积和体积。 【分析】（1）根据正方体的表面积棱长棱长，正方体的体积棱长棱长棱长，把数据代入公式解答。 （2）由于两个长方体粘合在一起，所以上面的长方体只求图的4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来，这个组合图形的体积等于两个长方体的体积和，根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个组合图形的表面积是40平方厘米，体积是12立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．（单位： （1）计算图1物体的表面积； （2）计算图2物体的体积。 【分析】（1）由于正方体与长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个侧面的面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来，根据正方体的表面积公式：，长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）把这个图形分成两个长方体，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （平方厘米） 答：它的表面积是220平方厘米。 （2） （立方厘米） 答：它的体积是500立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 17．图形计算。 求下面几何体的表面积和体积。（单位： 【分析】通过观察图形，在长方体的顶点上的小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积等于原来长方体的表面积，剩下图形的体积等于长方体的体积减去正方体的体积，根据长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是128平方厘米，体积是88立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．计算下面几何体的（左表面积和（右体积。 【分析】通过观察图形可知，在一个正方体的顶点处切掉一个小长方体后，表面积不变，根据正方体的表面积公式：，讲数据代入即可； 这个组合图形的体积等于正方体与长方体的体积和，正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： 答：这个图形的表面积是。 答：这个组合图形的体积是。 【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、以及长方体和正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 19．计算如图图形的表面积和体积。 【分析】由于正方体与长方体粘合在一起，所以求表面积时左边的正方体求出表面积，右边的长方体只求它的上下、前后4个面的面积，然后合并起来计算这个组合图形的表面积，这个组合图形的体积等于正方体与长方体的体积和，据此解答即可。 【解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：这个组合图形的表面积是1204平方厘米，体积是2328立方厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．如图，计算这块空心砖的表面积．（单位：厘米）． 【分析】空心砖的上下面要减去长12厘米，宽10厘米的两个长方形的面积，中间空长方体只计算4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式列式解答． 【解答】解：中间空长方体的表面积： ， （平方厘米）； 大长方体的表面积： ， ， ， （平方厘米）； 这块空心砖的表面积： （平方厘米）； 答：这块空心砖的表面积是6760平方厘米． 【点评】此题属于长方体的表面积的实际应用，解答关键是弄清要求的是哪几个面的总面积，再根据长方体的表面积公式解答即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$