专题2.2 角平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.2 角平分线中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 二、角平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB · 典例分析 【典例1】已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴__________________ ∴__________________ 又∵， ∴__________________ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________________． 【思路点拨】 探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解题过程】 探究发现： 解：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：，，； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．    ∵平分， ∴． ∴，， ∴； 拓展应用： 在上取点G，使得，连接，    ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，则，， 由（1）知， 即． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（    ）    A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（    ）    A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ． 7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）    10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是 ．    11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，请直接写出的度数； （3）连接，过点A作于点，求证：平分； （4）线段，与之间的数量关系是：________． 12．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    （1）求证：平分； （2）直接写出的度数______； （3）若，，且，求的面积． 13．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）用等式写出、、之间的数量关系，并给出证明； （3）如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出、、之间的数量关系． 14．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 和的角平分线，相交点P，． （1）求； （2）求证：； （3）若，求证：． 15．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    （1）求证：平分； （2）连接交于点G，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 16．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）【问题情境】在和中，，，．    （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 17．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在中，牛分平分与交于点．        图1                  图2 （1）如图1，若． ①求的度数； ②作于点，探究之间的数量关系并说明理由； （2）如图2，若，则的值为________________． 18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．        （1）如图1，求的度数； （2）如图2，求证：； （3）如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长． 19．（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． （1）如图，求证：．    （2）如图，连接，求证：平分．    （3）如图，若，，，求的值．    20．（22-23八年级上·广东珠海·阶段练习）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：； （2）如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 角平分线中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 二、角平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB · 典例分析 【典例1】已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴__________________ ∴__________________ 又∵， ∴__________________ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________________． 【思路点拨】 探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解题过程】 探究发现： 解：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：，，； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．    ∵平分， ∴． ∴，， ∴； 拓展应用： 在上取点G，使得，连接，    ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是的角平分线 由（1）知，， 设，，则，， 由（1）知， 即． · 学霸必刷 1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M、N两点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；其中正确的个数为（　　）    A．3 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】 作于E，于F，根据平分可知，结合即可证明．根据图中各角的数量关系可得，进而还可证明；利用全等三角形的性质可以得到多组相等的边，由此判断①的正误．根据全等三角形的性质得到，据此可得定值，还可判断③的正误； 【解题过程】 解：如图，作于E，于F．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于E，于F， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，故①正确． ∴定值，故③正确． ∴定值，故②正确． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（    ）    A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证，所以可由绕点旋转而得到；由可得，，因为，等量代换；因为，所以，因为，，，所以，即，因为，可得；过作，可证，，所以，，据此可证明． 【解题过程】 解：为的角平分线， ， ，， ， 可由绕点旋转而得到，故①符合题意， ， ， ， ， ， ， ，故②符合题意， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③符合题意， 过作，交延长线于点，   ，为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故④符合题意， 故选：B． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（    ）    A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【思路点拨】 由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与∠C的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【解题过程】 解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于H，    ∵和的平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】 由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【解题过程】 解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（    ）    A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【思路点拨】 由，得，则，可判断①正确；作于点G，于点H，则，因为与不一定相等，与不一定相等，可判断②错误；延长到点K，使，连接，可证明，得，而，所以，则，所以，则，可判断③正确；在上截取，连接，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断④正确；由④可得，，由即可推出，可判断⑤正确． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 如图1，作于点G，于点H，则，    ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 即：与不一定相等， 故②错误； 如图1，延长到点K，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 由④可得，，，    ∵， ∴，即， 故⑤正确， 正确的结论为①③④⑤， 故选：D． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，分别平分和，于点，，若的面积为，则的周长为 ． 【思路点拨】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形的面积公式列式即可，熟记性质是解题的关键． 【解题过程】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接， 的平分线交于点， 点到的距离相等， ， ， 的面积为4， , ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 9．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）    【思路点拨】 由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【解题过程】 解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③． 10．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点．下列结论；①；②；③；④，其中正确结论是 ．    【思路点拨】 过点作于点，由角平分线的性质定理可得，然后结合三角形面积公式即可判断结论①；首先求得，假设，则，可求得，再根据，即可判断结论②；在上截取，连接，分别证明和，由全等三角形的性质可得，即可判断结论③；由全等三角形的定义和性质易得，，可知，即可判断结论④． 【解题过程】 解：如下图，过点作于点，        ∵平分，，， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故结论②错误； 在上截取，连接，      在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故结论④正确． 综上所述，结论正确的为①③④． 故答案为：①③④． 11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，请直接写出的度数； （3）连接，过点A作于点，求证：平分； （4）线段，与之间的数量关系是：________． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据“边角边”证明三角形全等即可； （2）根据，得到，再利用，将代入，即得答案； （3）过点A作于点，利用面积法证明，再根据角平分线的判定定理，即可证明结果； （4）先证明，得到，再证明，得到，即可证得答案． 【解题过程】 （1）， ， 又，， ； （2）； 理由如下： ， ， ， ， ； （3）过点A作于点， ， ，， ， ， ， 平分； （4）； 理由如下： ， ， 又，， ， ， ， ，，， ， ， ． 12．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．    （1）求证：平分； （2）直接写出的度数______； （3）若，，且，求的面积． 【思路点拨】 （1）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （2）设，分别表示出，，求出，再利用三角形内角和定理计算； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ， ， ； 过点分别作于，与，    平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；　 （3），，， ， 即， 解得， ， ． 13．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）用等式写出、、之间的数量关系，并给出证明； （3）如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出、、之间的数量关系． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由题意画出图形即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解； （3）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解． 【解题过程】 （1）解：依题意补全图形如下： （2）解：． 证明：过点D作于点F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 证明：过点D作于点F，如图： ∵是外角的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图， 和的角平分线，相交点P，． （1）求； （2）求证：； （3）若，求证：． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）过P作，，，根据角平分线的性质可得，再证，，根据ASA证明即可得． （3）作的平分线交于点N，由平分，和平分，平分，可得．易证，由等边对等角可得，，由此得，根据可证，因此可得． 【解题过程】 （1），分别平分和， ，， ． （2）  如图，过P作，，， ，分别平分和， ∴，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）  如图，作的平分线交于点N，则， ，BD平分， ． ∵平分， ． ∵中，，， ． ∵平分， ， ∴， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 15．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    （1）求证：平分； （2）连接交于点G，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【思路点拨】 （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； 【解题过程】 （1）证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .    平分. （2）过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， （3）， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 16．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）【问题情境】在和中，，，．    （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【思路点拨】 （1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【解题过程】 （1）证明：如图1，    在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：成立，证明：如图2，    ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，    ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 17．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在中，牛分平分与交于点．        图1                  图2 （1）如图1，若． ①求的度数； ②作于点，探究之间的数量关系并说明理由； （2）如图2，若，则的值为________________． 【思路点拨】 ①利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可； ②过点O作于点M，于点N，连接，证明，得到．再证明，得到，即可得到结论； （2）在取点G、F，使，，过F作于M，于N，先证明，得出，，，同理，，由，得出，设，则，仿照（1）①求出，进而求出，，由角平分线的性质得出，可求出，然后利用即可求解． 【解题过程】 （1）解：①在中，． ∵平分，平分， ∴． ∴． 在中，； ②过点O作于点M，于点N，连接．    ∵平分，，， ∴，． ∵平分，， ∴，． ∴，． 由（1）得：． ∴． 在四边形中， ． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． （2）解：在取点G、F，使，，过F作于M，于N，    ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，，， 同理，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，． ∵平分，平分， ∴． ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．        （1）如图1，求的度数； （2）如图2，求证：； （3）如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长． 【思路点拨】 （1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果； （2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：在中，， ∵ ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴． （2）解：作平分交于点，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，于点，于点， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴． 19．（22-23八年级下·广东梅州·阶段练习）已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． （1）如图，求证：．    （2）如图，连接，求证：平分．    （3）如图，若，，，求的值．    【思路点拨】 （1）由角平分线的性质得出，，由三角形的内角和定理得出，，代入即可得出结论； （2）过点作于，于，于，证明，则点在的平分线上，即可得出结论； （3）过点作交的延长线于点，过点作平分交于点，过点作于，于，证明，，由角平分线的性质得出，，由证得，，由证得，，求出，由，，进行计算即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于，于，于，    平分，平分， ，， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作平分交于点，过点作于，于，    ， ， ， 平分， ， ，， 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 20．（22-23八年级上·广东珠海·阶段练习）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：； （2）如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长． 【思路点拨】 （1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在BD上截取，连接OH，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【解题过程】 （1）证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图3，在上截取，连接， 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴点O到的距离相等， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$