专题12.3 全等三角形（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题12.3 全等三角形（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【解题过程】 解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【解题过程】 解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。 【解题过程】 解：分别过、两点作，于点、， ∵在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解题过程】 解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【解题过程】 解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 6．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，且，，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【思路点拨】 先由条件，且，就可以得出，就有，，进而可以得出就有，从而得出结论． 【解题过程】 解：，， ． ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中 ， ， ， ， 即． 综上所述，①②③都是正确的． 故选：． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C． D．正方形 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是明，，．延长交于，根据证明，得到，的面积的面积，得到，因此和H重合，由推出，得到，的面积的面积，又，得到，由推出，得到的面积的面积，于是得到阴影面积的和的面积的2倍． 【解题过程】 解：延长交于， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∴和H重合， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影面积的和的面积的2倍， ∴要求图中阴影部分的面积之和，只需知道的面积． 故选：B． 8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒．①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍；②当、两点同时到达A点时，；③若，，时，与垂直；以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 【思路点拨】 根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③． 【解题过程】 解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，    当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不垂直，故③错误； 综上所述，正确的选项为①②． 故选：B． 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【解题过程】 解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 10．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】 由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【解题过程】 解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ． 【思路点拨】 据全等三角形的性质可得，进而可得，再由，，即可求出的长．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形对应边相等”是解题的关键． 【解题过程】 解：， ， ， 即， ∵，， ， 即， ， 故答案为：2． 12．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【思路点拨】 证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【解题过程】 解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    【思路点拨】 过点作于，证，得，再证，同理，得6，进而得到的长． 【解题过程】 解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3． 15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    【思路点拨】 添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解． 【解题过程】 解：如图，过作于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 如图，过作交延长线于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 故答案为：或． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 1．（6分）（2024·山西晋中·三模）如图，已知锐角，为边上的高． （1）尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F； （2）在作出符合条件的（1）的图中，若，求证：． 【思路点拨】 本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）以B为圆心，任意长为半径画弧，与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，以B为端点，过两弧的交点作射线交于点E，交于点F即可． （2）通过证明可得，再由对顶角相等可得，然后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答． 【解题过程】 （1）解：如图，射线即为所求． （2）解：∵，为边上的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 17．（6分）（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【思路点拨】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【解题过程】 解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 18．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 【思路点拨】 （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分；    （3）解：， ，，， ， ． 19．（9分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．      （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： （2）如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 【思路点拨】 （1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时和点P为中点时，的面积等于面积的一半，据此根据时间路程速度进行求解即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【解题过程】 （1）解：当点P在上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时， 同理当点P为中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时； 综上所述，t的值为10或19； （2）解：设点的运动速度为 ， 由题意得，， ①当点在上，点在上，时，        ， ∴， 解得 ； ②当点在上，点在上，时，      ， ∴， 解得 ； ③当点在上，点在上，时，    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得： ； ④当点在上，点在上，时，      ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得： ； 综上所述，点的运动速度为 或 或 或 ． 20．（10分）（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． （1）如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； （2）如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案． 【解题过程】 （1）解：①∵，动点，分别在边和射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②且，证明如下： 如下图，延长，交与， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如下图， 当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（12分）（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【思路点拨】 （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【解题过程】 （1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【解题过程】 解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 23．（12分）（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【思路点拨】 本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【解题过程】 （1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.3 全等三角形（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，且，，有下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C． D．正方形 8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒．①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍；②当、两点同时到达A点时，；③若，，时，与垂直；以上说法正确的选项为（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①③ 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ． 12．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 13．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 14．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．    15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 1．（6分）（2024·山西晋中·三模）如图，已知锐角，为边上的高． （1）尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F； （2）在作出符合条件的（1）的图中，若，求证：． 17．（6分）（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 18．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 19．（9分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．      （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： （2）如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 20．（10分）（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． （1）如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； （2）如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 21．（12分）（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 23．（12分）（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$