1.3.1空间直角坐标系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.1 空间直角坐标系 高二上学期 1 1、在平面直角坐标系的基础上，理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性； 2、掌握点的坐标和向量的坐标的概念，能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标； 3、掌握空间两点间的距离公式，并能求对称点的坐标. 重点：在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标 难点：如何建系，求对称点的坐标 学习目标 空间向量 基底 （基向量） 几何问题代数化 数的 运算 化归 空间向量 的运算 数的 运算 化归 类比 空间直角 坐标系？ 一一对应 点的 坐标 平面向量 的坐标 一一对应 点的 坐标 空间向量 的坐标 平面直角 坐标系 平面向量 的运算 新知探究 定点 单位正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 平面 直角 坐标系 { 的方向 的长度 轴 轴 空间 直角 坐标系 { 的方向 的长度 轴 轴 轴 新知探究 一、空间直角坐标系 1、定义：在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系， 其中：①叫做原点，都叫做坐标向量， ②通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为平面、平面、平面， 它们把空间分成八个部分. 新知生成 2、画法： ①右手直角坐标系：让右手拇指指向轴的正方向， 食指指向轴的正方向， 中指指向轴的正方向.. ②画空间直角坐标系时，一般使或， 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系 新知生成 探究：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组， 叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作， 其中叫做点的横坐标， 叫做点的纵坐标， 叫做点的竖坐标. 新知探究 探究：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 在空间直角坐标系中，给定向量，作. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组， 使，有序实数组叫做在空间直 角坐标系中的坐标，上式可简记作. ●符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。 思考：在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点的坐标有何关系? 新知探究 练习：若为空间的一个单位正交基底，则的坐标为　________　.  (3,2,-1) 例1：如图，在长方体中， 以为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系. (1)写出四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标. 解:(1)点在轴上，且， 所以. 所以点的坐标是. 同理点的坐标是的坐标是，的坐标是 典例精析 解:(2)； ； 例1：如图，在长方体中， 以为单位正交基底，建立如图的空间直角坐标系. (1)写出四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标. 典例精析 点的 位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的 坐标 思考1：点，分别在___轴和____轴上，它们的坐标分别有什么特点？ 你能总结出轴、轴、轴上点的坐标的特点吗? 思考2:点在____平面内，它的坐标有什么特点? 你能总结出平面、平面、平面内点的坐标的特点吗? ， (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 新知探究 探究：在空间直角坐标系中，对空间中的任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？ 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面， 依次交轴、轴和轴于点和. 可以证明在、、轴上的投影向量分别为，，， 且. 设点和在轴、轴和轴上的坐标分别是，和， 那么点(向量)的坐标为. 新知探究 教材P18 练习 2、在空间直角坐标系中, (1)坐标平面____与x轴垂直，_____与y轴垂直，____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在平面内的射影坐标为____________ 在平面内的射影坐标为____________ 在平面内的射影坐标为____________ (3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________. (4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________. Oyz Oxz Oxy (0,3,4) (2,0,4) (2,3,0) (-1,-3,-5) 点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足. 点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足. (1,0,0) 规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0. 3、在长方体，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出的坐标； (2)写出向量，的坐标. 教材P18 练习 解:(1)，， (2)； 教材P18 练习 4、已知点是点(3，4，5)在坐标平面内的射影，求||. 解：，所以|| 练习：已知点A(x , y , z) ，则： ①点A关于x轴对称的点为A1___________; ②点A关于y轴对称的点为A2___________; ③点A关于z轴对称的点为A3___________. ④点A关于原点对称的点为A4___________. ⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5 __________; ⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6 __________; ⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7 __________. (x , y , -z) (-x , y , z) (x , -y , z) (x , -y , -z) (-x , -y , z) (-x , y , -z) (-x , -y , -z) 规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数 习题演练 若点 则的中点坐标为 练习：在空间直角坐标系中，点 (1)求点关于轴的对称点的坐标； (2)求点关于平面的对称点的坐标； (3)求点关于点的对称点. 解：(1)点关于轴的对称点为. (2)点关于平面对称的对称点为. (3)设对称点，则点为线段的中点，由中点坐标公式， 可得 所以. 习题演练 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$