21.3二次函数与一元二次方程（4知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

21.3 二次函数与一元二次方程 课程标准 学习目标 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 课时1：①体会方程与函数之间的联系： ②理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，会判断何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；③理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标的关系，会运用二次函数解一元二次不等式。 ※课时2：由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集 知识点01 y= ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标。 利用判别式可以判断二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点： 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。 y= ax2+bx+c(a≠0) 图象 a>0 a<0 取y=0，ax2+bx+c=0 ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 提示：根据二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，可以判断ax2+bx+c=0的近似解。 【即学即练1】若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【即学即练2】因为方程的根是 ， ，所以抛物线与轴的公共点坐标是 和 ． 【答案】，，， 【详解】解：， ， ，， 方程的根就是对应抛物线与轴的交点的横坐标， 抛物线与轴的公共点坐标是，， 故答案为：，，，． 【即学即练3】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ；    【答案】， 【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； 【即学即练4】（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于、两点，其中点坐标，对称轴为，则一元二次方程的解为 ．    【答案】 【详解】解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，其中点坐标，对称轴为， ∴， ∴当时，或6， ∴一元二次方程的解为， 故答案为：． 知识点02 二次函数与y=m(m是实数)交点的情况与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2+bx+c=h的根是二次函数y= ax2+bx+c与y=h(h是实数)交点的横坐标 【即学即练5】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； 【答案】， 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 知识点03 二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)交点的情况与一元二次方程的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与 y=kx+b(k≠0)图象的交点情况 图象 令y值相等，ax2+bx+c= kx+b ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 【即学即练6】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 ． 【答案】x1＝﹣3，x2＝1 【详解】解：∵抛物线y＝a x2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3）， ∴方程a x2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1， ∴a x2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1． 【即学即练7】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为 ．    【答案】或 【详解】解：由图象可知，、图象的交点的横坐标为和， 当或时，， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． ※知识点04 二次函数y= ax2+bx+c与一元二次不等式的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点 有两个交点x1<x2 有1个交点x1 =x2=x0 没有交点 a>0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x< x1或x > x2 y＜0，x1< x < x2 y＞0，x0之外所有实数 y＜0，无实数解 y＞0，所有实数 y＜0，无实数解 a<0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x1< x < x2 y＜0，x< x1或x > x2 y＞0，无实数解 y＜0， x0之外所有实数 y＞0，无实数解 y＜0，所有实数 【即学即练8】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ．    【答案】 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是， 故答案为：． 【即学即练9】阅读材料，解答问题： 例：用图象法解一元二次不等式：． 解：设，则是的二次函数． 抛物线开口向上． 又当时，，解得． 由此得抛物线的大致图象如图所示．          观察函数图象可知：当或时，．的解集是：或． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 【答案】（1）-1<x<3；(2)x<1或x>3，作图见解析. 【详解】(1)观察图象可以写出直接写出一元二次不等式：的解集是-1<x<3； (2)设,则y是x的二次函数， 抛物线开口向下. 当y=0时， 解得： 由此得抛物线的大致图象如图所示： 观察图象可知：当x<1或x>3时，y<0； 的解集是： x<1或x>3 运用方程的思想抛物线与直线的交点坐标问题： （1）表示抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标：先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标. （2）表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标 案例：在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与直线交于点、． 表示AB的长：设，令y=0，，利用跟与系数的关系得，AB=； 表示BC的长：设，令，得，，∴，BC= （3）表示抛物线与直线的截线段之间的等量关系（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题）：题干中出现全等三角形、平行四边形等隐含对应边相等或对边相等的条件。先求出交点坐标，再利用对边相等建立方程解题 案例：如图，抛物线上的一个动点，直线上的一个动点， 轴，作，交抛物线于另一点．若NMD为等腰三角形，求点的横坐标. 设点，则点的坐标为， ． 轴，，轴， 关于直线对称，点的横坐标为， ． ，． 分两种情况： （i），解得或； （ii），解得或． 综上所述，点的横坐标为2或或或． （4）表示出相关图形的面积（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题） ①表示交点坐标；②表示截线长；③表示出三角形或四边形的面积。 提示：在二次函数与图形的综合问题中，涉及到动点问题，需要设动点的横坐标为m，将横坐标代入到二次函数表示纵坐标来解题。 【题型一：求抛物线与x轴的交点坐标】 例1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如果抛物线与轴的一个交点为，那么与轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一交点坐标为，即． 故答案为：． 变式1.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【详解】解：二次函数只有一个零点且图象开口向下， ， 解得， 故， 将代入二次函数， 得， 令， 解得． 故选A． 【解题技巧与方法】 ·根据判别式确定零点的情况 ·已知抛物线与x轴的一个交点求另一个交点：①利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标；②利用根与系数的关系。 【题型二：函数图象法确定一元二次方程的根】 例2．已知二次函数中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵时，；时，； ∴的较小的根的范围为， ∵对称轴为直线， ∴的较大的根的范围是， 故选：C． 变式2-1．已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：， 根据表内数据，可以发现： 的值随着x的增大而增大， 且：当时，；当时，； ∴一元二次方程的其中一个解x的范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法． 【技巧方法与总结】观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围，利用“夹逼”思想求一元二次方程的近似解 变式2-2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标， 即，． 故答案为：，． 【技巧方法与总结】利用二次函数与直线的图象求方程的解：两个函数图象的交点的横坐标。比如：方程的解，是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点的横坐标。 【题型三：根据抛物线与x轴的交点情况求参数范围】 例3．（2023·山东东营·二模）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，且二次项系数不等于，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得且． 故答案是：且． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系列不等式，解不等式组；根据一元二次方程判别式定理构建不等式组是解题的关键． 变式3．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与线段交点问题，解题关键是掌握二次函数性质与判别式，通过数形结合的方法求解． 分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在x轴下方时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 当抛物线顶点落在线段上时，如图， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当抛物线顶点落在x轴下方时， 当时，， 当时，， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴ 或， 解得：， 综上，k的取值范围是或． 故答案为：或． 【方法技巧与总结】①利用二次函数与一元二次方程根的关系，结合判别式定理列不等式（组）求参数范围；②利用数形结合分析图象，必要时根据交点的位置进行分类讨论。 【题型四：求抛物线与直线的交点坐标和截线长】 例4. 如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设点， 根据题意，得点C纵坐标为，点E纵坐标为 ∵点在抛物线上 ∴点C横坐标 ∴点A横坐标 ∵点A在抛物线上， ∴点A纵坐标 ∴点D纵坐标 ∵点在抛物线上 ∴点D横坐标 ∴ ∵点E纵坐标为，点E在抛物线上， ∴点E横坐标 ∴ ∴ 故答案为：． 变式4.（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 例5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M． 问题：矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，，，将矩形ADEF沿x轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点G、H．在平移过程中，是否存在以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移距离为或 【详解】（1）解:∵, ∴,, ∴, ∴, ∴, 将点P坐标代入抛物线解析式得: , ∴, ∴抛物线解析式为． （2）存在，设平移的距离为m， ∴， ∴即， 即， ∵要使以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴ ∴或， ∴平移距离为或． 例6.（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解方程组，得 抛物线的解析式为． （2）把代入，得， 点E的坐标是． 把点代入，得，， 直线的解析式是． 联立方程组得，， ，， 点M的坐标是． （3）把代入，得， 点C的坐标是，． ，点D的坐标是． 把与联立方程组，得， ，． 如图，连接． 四边形的面积为： ． ， 当时，四边形的面积有最小值，最小值为． 【方法技巧与总结】根据点的坐标表示线段的长，然后建立方程求解。 【题型五：含绝对值的二次函数与一元二次方程的关系综合问题】 例7．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】［辨析与解答]，过程见解析；［应用与拓展]（1）；（2） 【详解】解∶［辨析与解答] 小明的方法：当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得； 当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，； 小红的方法：设， 则， ∴； 小亮的方法：令，， 当与的图像有交点时，方程有实数根， 画出函数图像，如下： 观察图像知，当时，与的图像有交点， ∴当时，方程有实数根； 故答案为：； ［应用与拓展] （1）观察小亮的方法中函数图像知，当时，与的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：； （2）令，， 画出函数图像，如下： 当时，， ∴图中点D坐标为， 观察图像，知当时，，的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：． 变式7. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图，当时，， 解得，， 则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解， 解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故答案为：． 【方法技巧与总结】①的图象：由的图象沿y轴右翻左，右侧不变得到，②的图象：由的图象沿x轴下翻上得到。 例：①； ② 一、选择题 1．一元二次方程的根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 2．根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：点出关于直线对称的点是， 、是抛物线与轴的交点， ，是一元二次方程的根． 故选：B． 4．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图像过点，方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标， 所以方程的解为：． 故选：B． 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，即t在的范围内的最小值为， 当时，；当时，； 所以t的取值范围是． 故选：D． 二、填空题 7．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当 时，函数值等于5． 【答案】 【详解】解：当时，， 解得：； 故答案为：． 8．（23-24九年级上·云南昆明·期末）抛物线与轴只有一个交点，则 ． 【答案】 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 9．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：​抛物线​与直线​的两个交点坐标分别为​， ​方程组​的解为​， 即关于​的方程​的解为​． 故答案为：​． 10．（22-23九年级上·湖北宜昌·期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则方程的两个根是 ．    【答案】或 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两个根是或， 故答案为：或． 11．如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为 ．    【答案】 【详解】 ， 令 ， 故答案为：． 三、解答题 12.（22-23九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值． 0 1 2 3 4 3 0 (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，x的值为 ； (3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【详解】（1）解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为， 设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得：，； （3）令， 整理得， 设点、的横坐标为，， ，是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ，即， ， 的取值范围是． 13．（22-23九年级上·河南南阳·期末）根据二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的关系解答如下问题： (1)由一元二次方程的两根为____________，可知二次函数与轴两个交点的坐标为____________； (2)用配方法将二次函数化成的形式； (3)由以上信息，并结合该二次函数图像可知：该函数图像的对称轴是______，顶点坐标是______，不等式的解集是______． 【答案】(1)、，、； (2)； (3)，，． 【详解】（1）解： 解得：、 故与轴两个交点的坐标分别为： 、 故答案为：、，、； （2） （3）由（2）可知 对称轴为：直线， 顶点坐标为： 因为函数开口向上，与轴两个交点为、 当即时函数图像位于轴下方， 此时， 不等式的解集是， 故答案为：直线，，． 1．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：；；对于任意实数，总成立；关于的方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论为 （只填序号） 【答案】 【详解】抛物线开口向下， ， 而抛物线的对称轴为直线，即， ，所以错误； 把点带入解析式可得， ∴， ， ， ，所以正确； 抛物线的顶点坐标， 时，二次函数值有最大值， ∴， 即，所以正确； 抛物线的顶点坐标， 抛物线与直线有两个交点， 关于的方程有两个不相等的实数根，所以正确． 故答案为． 2．（2023·四川南充·二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ． 【答案】 【详解】四边形是梯形，下底，高为3， 由，得，设，， 则，， ∵， ∴． ∴．∴①， 又顶点纵坐标②， ①÷②，得， ∴， 故答案为； 1.已知一条直线和一条抛物线． (1)若抛物线在轴上方的部分保持不变，将在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，便得到一个新的图象，求当的值为多少时，这个新图象与直线有三个不同的交点？ (2)当时，方程有两个不同的解，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】 （1）本题根据题意画出函数图象，根据图象可发现新图象与直线有三个不同的交点，可以分为以下两种情况，①直线位于时，过点，将点代入直线解析式求解即可，②直线位于时，与函数的图象有一个公共点，联立解析式建立关于的一元二次方程，根据其求解，即可解题． （2）根据题意得到新的函数解析式，当时，方程有两个不同的解，即，根据其开口向上得到其对称轴在0到2之间，且、时，，根据以上条件，建立式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，或， 抛物线与轴交于点和， 平移直线可知，直线位于和时与新图象有三个不同的交点，图象如下所示： ①直线位于时，过点， ，． ②直线位于时，与函数的图象有一个公共点， 方程有一个根， 即方程有一个根， ，解得， 此时，满足， 由①②可知，，或． （2）解：化简方程得， 当时，方程有两个不同的解， 应同时满足下列条件： ①方程的判别式； ②抛物线的对称轴满足0； ③当时，函数； ④当时，函数， 即，解得， 即当时，方程有两个不同的解． 2．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)求线段的长． (2)若当时，的最小值为． ①求的值． ②为抛物线上的一个动点，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点．若，求点的横坐标． 【答案】(1)4 (2)①；②点的横坐标为2或或或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题、二次函数的图象与性质： （1）令，得，求出方程的解即可得出的长； （2）①由，当时，的最小值为可知当时，的值为，代入二次函数解析式得，可求出的值；②求出点的坐标和直线的解析式，设点，得点的坐标为，求出，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， 解得或， 点，， ． （2）解：①抛物线 ∴抛物线的对称轴为直线． ，当时，的最小值为， 当时，的值为， ∴ ． ②由①，可得抛物线的表达式为， 令，则， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为． 如图， 设点，则点的坐标为， ． 轴，， 轴， 关于直线对称， 点的横坐标为， ． ， ． 分两种情况： （i），解得或； （ii），解得或． 综上所述，点的横坐标为2或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 二次函数与一元二次方程 课程标准 学习目标 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 课时1：①体会方程与函数之间的联系： ②理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，会判断何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；③理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标的关系，会运用二次函数解一元二次不等式。 ※课时2：由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集 知识点01 y= ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标。 利用判别式可以判断二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点： 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。 y= ax2+bx+c(a≠0) 图象 a>0 a<0 取y=0，ax2+bx+c=0 ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 提示：根据二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，可以判断ax2+bx+c=0的近似解。 【即学即练1】若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【即学即练2】因为方程的根是 ， ，所以抛物线与轴的公共点坐标是 和 ． 【即学即练3】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ；    【即学即练4】（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于、两点，其中点坐标，对称轴为，则一元二次方程的解为 ．    知识点02 二次函数与y=m(m是实数)交点的情况与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2+bx+c=h的根是二次函数y= ax2+bx+c与y=h(h是实数)交点的横坐标 【即学即练5】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； 知识点03 二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)交点的情况与一元二次方程的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与 y=kx+b(k≠0)图象的交点情况 图象 令y值相等，ax2+bx+c= kx+b ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 【即学即练6】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 ． 【即学即练7】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为 ．    ※知识点04 二次函数y= ax2+bx+c与一元二次不等式的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点 有两个交点x1<x2 有1个交点x1 =x2=x0 没有交点 a>0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x< x1或x > x2 y＜0，x1< x < x2 y＞0，x0之外所有实数 y＜0，无实数解 y＞0，所有实数 y＜0，无实数解 a<0， 不等式y＞0和y＜0的解 y＞0，x1< x < x2 y＜0，x< x1或x > x2 y＞0，无实数解 y＜0， x0之外所有实数 y＞0，无实数解 y＜0，所有实数 【即学即练8】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ．    【即学即练9】阅读材料，解答问题： 例：用图象法解一元二次不等式：． 解：设，则是的二次函数． 抛物线开口向上． 又当时，，解得． 由此得抛物线的大致图象如图所示．          观察函数图象可知：当或时，．的解集是：或． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 运用方程的思想抛物线与直线的交点坐标问题： （1）表示抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标：先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标. （2）表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标 案例：在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与直线交于点、． 表示AB的长：设，令y=0，，利用跟与系数的关系得，AB=； 表示BC的长：设，令，得，，∴，BC= （3）表示抛物线与直线的截线段之间的等量关系（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题）：题干中出现全等三角形、平行四边形等隐含对应边相等或对边相等的条件。先求出交点坐标，再利用对边相等建立方程解题 案例：如图，抛物线上的一个动点，直线上的一个动点， 轴，作，交抛物线于另一点．若NMD为等腰三角形，求点的横坐标. 设点，则点的坐标为， ． 轴，，轴， 关于直线对称，点的横坐标为， ． ，． 分两种情况： （i），解得或； （ii），解得或． 综上所述，点的横坐标为2或或或． （4）表示出相关图形的面积（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题） ①表示交点坐标；②表示截线长；③表示出三角形或四边形的面积。 提示：在二次函数与图形的综合问题中，涉及到动点问题，需要设动点的横坐标为m，将横坐标代入到二次函数表示纵坐标来解题。 【题型一：求抛物线与x轴的交点坐标】 例1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如果抛物线与轴的一个交点为，那么与轴的另一个交点的坐标是 ． 变式1.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（    ） A． B． C．3 D．或3 【解题技巧与方法】 ·根据判别式确定零点的情况 ·已知抛物线与x轴的一个交点求另一个交点：①利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标；②利用根与系数的关系。 【题型二：函数图象法确定一元二次方程的根】 例2．已知二次函数中x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 0.9 1.8 若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【技巧方法与总结】观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围，利用“夹逼”思想求一元二次方程的近似解 变式2-2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是 ． 【技巧方法与总结】利用二次函数与直线的图象求方程的解：两个函数图象的交点的横坐标。比如：方程的解，是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点的横坐标。 【题型三：根据抛物线与x轴的交点情况求参数范围】 例3．（2023·山东东营·二模）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 变式3．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】①利用二次函数与一元二次方程根的关系，结合判别式定理列不等式（组）求参数范围；②利用数形结合分析图象，必要时根据交点的位置进行分类讨论。 【题型四：求抛物线与直线的交点坐标和截线长】 例4. 如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为 ． 变式4.（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示） 例5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M． 问题：矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，，，将矩形ADEF沿x轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点G、H．在平移过程中，是否存在以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由． 例6.（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． (1)求抛物线的解析式． (2)若点E的横坐标是，求点M的坐标． (3)若，求四边形的面积的最小值． 【方法技巧与总结】根据点的坐标表示线段的长，然后建立方程求解。 【题型五：含绝对值的二次函数与一元二次方程的关系综合问题】 例7．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 变式7. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】①的图象：由的图象沿y轴右翻左，右侧不变得到，②的图象：由的图象沿x轴下翻上得到。 例：①； ② 一、选择题 1．一元二次方程的根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 2．根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（    ） A． B．， C．， D．， 4．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图像过点，方程的解为（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 6．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当 时，函数值等于5． 8．（23-24九年级上·云南昆明·期末）抛物线与轴只有一个交点，则 ． 9．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是 ． 10．（22-23九年级上·湖北宜昌·期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则方程的两个根是 ．    11．如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为 ．    三、解答题 12.（22-23九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值． 0 1 2 3 4 3 0 (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，x的值为 ； (3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为 ． 13．（22-23九年级上·河南南阳·期末）根据二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的关系解答如下问题： (1)由一元二次方程的两根为____________，可知二次函数与轴两个交点的坐标为____________； (2)用配方法将二次函数化成的形式； (3)由以上信息，并结合该二次函数图像可知：该函数图像的对称轴是______，顶点坐标是______，不等式的解集是______． 1．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：；；对于任意实数，总成立；关于的方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论为 （只填序号） 2．（2023·四川南充·二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ． 1.已知一条直线和一条抛物线． (1)若抛物线在轴上方的部分保持不变，将在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，便得到一个新的图象，求当的值为多少时，这个新图象与直线有三个不同的交点？ (2)当时，方程有两个不同的解，求的取值范围． 2．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)求线段的长． (2)若当时，的最小值为． ①求的值． ②为抛物线上的一个动点，过点作轴，交直线于点，作，交抛物线于另一点．若，求点的横坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$