专题2.6 圆的方程【九大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.6 圆的方程【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求圆的标准方程】 1 【题型2 求圆的一般方程】 3 【题型3 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 4 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 6 【题型5 圆过定点问题】 7 【题型6 点与圆的位置关系的判断】 9 【题型7 圆有关的轨迹问题】 11 【题型8 与圆有关的对称问题】 13 【题型9 圆的方程的实际应用】 15 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的标准方程写出答案 【解答过程】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【解答过程】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D. 【变式1-2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【解答过程】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 【变式1-3】（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助待定系数法计算即可得. 【解答过程】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（23-24高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【解答过程】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】 先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解. 【解答过程】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【解答过程】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 【题型3 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例3】（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【解答过程】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 【变式3-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【解答过程】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C. 【变式3-3】（23-24高二上·江西·期中）若圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将圆的一般方程配方得圆的标准方程，可确定圆心坐标得选项. 【解答过程】圆的方程， 可化为， 即， 所以圆心坐标为． 故选：D. 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【解答过程】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【解答过程】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“m”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方程表示圆的条件可得结果. 【解答过程】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【解答过程】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B. 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【解题思路】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【解答过程】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【变式5-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【解答过程】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案. 【解答过程】方程可化为. 曲线恒过定点， ，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得. 故选：B. 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系的判断】 【例6】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【解答过程】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 【变式6-1】（23-24高一下·河北衡水·期末）已知圆的方程是，则点（    ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【解题思路】把点的坐标代入圆标准方程，由与的大小关系判断． 【解答过程】因为， 所以点P在圆内． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】点在圆外，则点到圆心距离大于半径，列不等式求解即可. 【解答过程】圆化成标准方程为， 点在圆O外，则有， 即，解得或. 故选：D． 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【解答过程】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 圆有关的轨迹问题】 【例7】（23-24高二上·河北保定·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心. 【解答过程】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：， ∴圆心为(4，0)． 故选：A． 【变式7-1】（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标. 【解答过程】解：设，，所以. 由，得. 因为，所以，整理得：. 因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以. 故选：C. 【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【解题思路】 （1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【解答过程】（1） 圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2） 设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 【变式7-3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【解题思路】（1）设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可； （2）设点的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况. 【解答过程】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【解答过程】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：. 故选：A. 【变式8-1】（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【解答过程】由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即. 故选：C. 【变式8-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【解答过程】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C. 【变式8-3】（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出圆的圆心关于直线的对称点，即为圆的圆心坐标，进而可得圆的方程． 【解答过程】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称 可得，化简得，解得 又两圆半径相等，故圆的方程为 故选：B. 【题型9 圆的方程的实际应用】 【例9】（23-24高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【解答过程】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．    设圆拱所在的圆的方程是． 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式， 结合图形解得. 故支柱的长为． 故选：A. 【变式9-1】（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【解题思路】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【解答过程】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【解题思路】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【解答过程】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船可以从桥下通过． 【变式9-3】（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【解题思路】（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. 【解答过程】（1）以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. （2）如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又， 故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 圆的方程【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求圆的标准方程】 1 【题型2 求圆的一般方程】 2 【题型3 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 3 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 4 【题型5 圆过定点问题】 4 【题型6 点与圆的位置关系的判断】 5 【题型7 圆有关的轨迹问题】 6 【题型8 与圆有关的对称问题】 7 【题型9 圆的方程的实际应用】 8 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（23-24高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型3 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例3】（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【变式3-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·江西·期中）若圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【变式5-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-3】（23-24高二上·江西吉安·期中）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系的判断】 【例6】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·河北衡水·期末）已知圆的方程是，则点（    ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【变式6-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）若点在圆O：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 圆有关的轨迹问题】 【例7】（23-24高二上·河北保定·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·辽宁沈阳·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，，且，则点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【变式7-3】（23-24高二上·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【变式8-3】（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型9 圆的方程的实际应用】 【例9】（23-24高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【变式9-1】（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【变式9-2】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【变式9-3】（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$