专题2.5 点、线间的对称关系【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.5 点、线间的对称关系【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 点关于点的对称问题】 1 【题型2 直线关于点的对称问题】 2 【题型3 求点关于直线的对称点】 3 【题型4 求两点的对称轴】 3 【题型5 直线关于直线的对称问题】 4 【题型6 光线反射问题】 5 【题型7 将军饮马问题】 6 【知识点1 点关于点的对称】 1．点关于点的对称 【题型1 点关于点的对称问题】 【例1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【变式1-2】（2024高二·江苏·专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ． 【变式1-3】（2023高二·江苏·专题练习）求点关于对称的点的坐标 ． 【知识点2 直线关于点的对称】 1．直线关于点的对称 【题型2 直线关于点的对称问题】 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式2-2】（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【知识点3 点关于直线的对称】 1．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 【题型3 求点关于直线的对称点】 【例3】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线．如果对任意的，点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【题型4 求两点的对称轴】 【例4】（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【变式4-3】（20-21高二上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为 .    【知识点4 直线关于直线的对称】 【题型5 直线关于直线的对称问题】 【例5】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（1990·全国·高考真题）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【题型6 光线反射问题】 【例6】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·浙江·期中）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·山西·期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 将军饮马问题】 【例7】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【变式7-2】（23-24高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【变式7-3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 点、线间的对称关系【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 点关于点的对称问题】 1 【题型2 直线关于点的对称问题】 3 【题型3 求点关于直线的对称点】 5 【题型4 求两点的对称轴】 7 【题型5 直线关于直线的对称问题】 9 【题型6 光线反射问题】 11 【题型7 将军饮马问题】 14 【知识点1 点关于点的对称】 1．点关于点的对称 【题型1 点关于点的对称问题】 【例1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据中点坐标公式即可求解. 【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则 解得：， 所以点的坐标为 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（2024高二·江苏·专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ． 【分析】由中点坐标公式求解即可 【详解】设点关于点对称的点为， 则点为的中点． 解得． 点关于点对称的点的坐标为． 故答案为：． 【变式1-3】（2023高二·江苏·专题练习）求点关于对称的点的坐标 ． 【分析】由中点坐标公式求解即可 【详解】解：设点的坐标为， 关于对称的点为， 为的中点，故， 解方程组可得，即， 故答案为：． 【知识点2 直线关于点的对称】 1．直线关于点的对称 【题型2 直线关于点的对称问题】 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【变式2-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【变式2-2】（2024·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A. 【知识点3 点关于直线的对称】 1．两点关于某直线对称 (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 【题型3 求点关于直线的对称点】 【例3】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 【变式3-1】（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 【变式3-3】（23-24高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线．如果对任意的，点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【分析】用点到直线的距离公式表示出点A到直线l的距离，经过变形可以看出当时，点A到直线l的距离均为定值，从而求出直线l的方程，再求解点B关于直线l的对称点的坐标. 【详解】由点到直线的距离公式可得点A到直线l的距离为． 由于对任意的，点A到直线l的距离均为定值， 所以，即， 所以直线l的方程为． 设点B关于直线l的对称点的坐标为， 故解得 所以点B关于直线l的对称点的坐标为． 故选:B． 【题型4 求两点的对称轴】 【例4】（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一下·河北保定·期末）若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程. 【详解】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 【变式4-3】（20-21高二上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形的长为2，宽为1，边､分别在轴､轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，若折痕所在直线的斜率为，则折痕所在的直线方程为 .    【分析】因为折叠的过程中，点落在线段上，特别的如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线的方程. 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程， 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得：， 故折痕所在的直线的方程. ，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 折痕所在的直线方程为， 即， 综上所述：折痕所在的直线的方程为： . 故答案为： . 【知识点4 直线关于直线的对称】 【题型5 直线关于直线的对称问题】 【例5】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得， 则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得， 解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果. 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 【变式5-3】（1990·全国·高考真题）如果直线与直线关于直线对称，那么（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出. 【详解】在上取一点， 则由题意可得其关于直线的对称点在上， 所以，得， 在上取一点， 则其关于直线的对称点在上， 所以，得， 综上， 故选：A. 【题型6 光线反射问题】 【例6】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 【变式6-1】（23-24高二上·浙江·期中）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【分析】利用点关于直线的对称点的求法，以及数形结合，即可求解. 【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为， 则，得，即 点关于轴的对称点为，    由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，， 所以光线经过的路程. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高二上·山西·期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解. 【详解】入射光线所在的直线方程为，即， 联立方程组解得即入射点的坐标为． 设关于直线对称的点为， 则解得，即． 因为反射光线所在直线经过入射点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，即． 故选：D. 【变式6-3】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据关于直线对称的点是，关于轴对称的点都在直线即可求解. 【详解】, 所以直线的直线方程为 ， 设关于直线对称的点是， 则有， 即， 所以，即， 又因为的中点在直线上， 所以，即， 联立，解得，所以， 又有关于轴对称的点， 由对称性可知，均在直线上， 所以, 由点斜式得，即. 故选:D. 【题型7 将军饮马问题】 【例7】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【变式7-1】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【变式7-2】（23-24高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【分析】首先利用点关于线的对称求出点,进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长． 【详解】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$