专题1.6 空间向量与立体几何综合检测2（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.6 空间向量与立体几何综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（    ） A．21 B．24 C． D． 4．（2024·河南焦作·三模）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 5．（2024·全国·模拟预测）如图，两个相同的圆柱与圆柱中，四边形ABEF，BCDE分别为两个圆柱在同一平面上的轴截面，G，H分别为所在半圆弧的中点，若，则异面直线AG与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在正方体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川内江·期中）在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点E在线段AB上，且，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东广州·期中）四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·山西运城·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； B．若非零向量，，满足，，则有∥； C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 10．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为的中点，则（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点M到平面的距离为 D．点M到平面的距离为 11．（23-24高二上·福建三明·期中）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二下·四川成都·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则的长为 . 13．（23-24高二上·湖北·期末）长方体中，，已知点与三点共线且，则点到平面的距离为 14．（2024高二上·浙江·阶段练习）在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，， . (1)若，求实数的值； (2)求； (3)若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值. 16．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题 （1）求证：  （2）求证平面． 17．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD的中心，M是的中点． (1)求点到直线MP的距离； (2)求点C到平面的距离． 18．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 19．（2024·黑龙江·三模）已知正三棱柱中，所有棱长都是3，点D，E分别是线段和上的点，. （1）试确定点E的位置，使得平面，并证明； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 空间向量与立体几何综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二下·江苏盐城·阶段练习）已知向量，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据已知条件结合向量共线定理求解即可 【详解】因为， 所以， ， 因为与平行，所以存在唯一实数，使， 所以，所以，解得， 故选：C 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 3．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（    ） A．21 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，设顶点在底面的射影为， 为正方形对角线的交点， ， 所以， ， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B 4．（2024·河南焦作·三模）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可． 【详解】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣． 当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选B． 【点睛】本题考查直线与直线的垂直关系的应用，利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，属于中档题 5．（2024·全国·模拟预测）如图，两个相同的圆柱与圆柱中，四边形ABEF，BCDE分别为两个圆柱在同一平面上的轴截面，G，H分别为所在半圆弧的中点，若，则异面直线AG与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：先作辅助线，寻找所求角，再利用解三角形的知识求解即可； 解法二：根据圆柱的特征建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出直线AG，的方向向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】解法一：如图，连接HC，， 根据两个圆柱的位置关系与圆柱的对称性知，， 所以为异面直线AG与所成的角或其补角． 不妨设，则在中，易知，， 所以， 所以异面直线AG与所成角的余弦值为， 故选：A． 解法二：连接，易知，，两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 所以，． 所以， 所以异面直线AG与所成角的余弦值为， 故选：A． 6．（23-24高二上·浙江杭州·期中）在正方体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，求两个平面的法向量后可得所求二面角的余弦值. 【详解】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，可得 设是平面的一个法向量，，即， 取，得，平面的一个法向量为 又平面，平面的一个法向量为 ， 所以二面角的余弦值为， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查求二面角的余弦值，用向量法求二面角大小的两种方法： （1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小； （2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角. 7．（23-24高二上·四川内江·期中）在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点E在线段AB上，且，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADB﹣CFGH，且该正方体棱长为，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，求出外接球的半径，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，从而当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为r，由此能求出所得截面圆面积的最小值. 【详解】∵在正三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，， ∴构造以PA，PB，PC为棱长的正方体，且该正方体棱长为， 以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系， 则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R， ∵点E在线段AB上，且AE＝2EB， ∴E，O， ， 过点E作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E， ∴当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径 r， ∴过点E作该正三棱锥外接球的截面， 则所得截面圆面积的最小值为. 故选：D. 8．（23-24高二上·广东广州·期中）四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，求出坐标，设，表示出点坐标，进而得到，结合向量夹角公式和三角函数，即可求解最值. 【详解】 如图，取中点，连接，以方向为轴，方向为轴，垂直于底面方向为轴，建立空间直角坐标系，由，可得，为等边三角形，为等腰直角三角形，故，二面角的平面角为，设，则，，则，又因为，故，，所以的最大值为. 故选：B 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·山西运城·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； B．若非零向量，，满足，，则有∥； C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可 【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确， 对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误， 对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确， 对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确， 故选：ACD 10．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为的中点，则（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点M到平面的距离为 D．点M到平面的距离为 【答案】BD 【分析】构造空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别利用空间向量中线面夹角的正弦值、点面距的解答过程，即可求解答案. 【详解】如图所示，以为原点，中点和的连线， 所在直线，所在直线，分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量，可得 ，即， 解得，，赋值，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选项A错误，选项B正确. 又， 即点M到平面的距离为. 故C错，D对. 故选：BD 11．（23-24高二上·福建三明·期中）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（    ）    A．满足平面的点的轨迹长度为 B．满足的点的轨迹长度为 C．存在唯一的点满足 D．存在点满足 【答案】ABC 【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案． 【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点， 由正方体的性质知，平面，平面 所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，又平面，平面， 故点的轨迹为线段，故A正确；    以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，设且，， ，，，    对于B，，即， 又，，则点的轨迹为线段， ，且，故B正确； 对于C，， 显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确； 对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故不存在点满足，故D错误． 故选：ABC． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二下·四川成都·期中）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则的长为 . 【答案】 【分析】由两边同时平方后展开计算即可. 【详解】， ， ， 即的长为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·湖北·期末）长方体中，，已知点与三点共线且，则点到平面的距离为 【答案】 【分析】利用坐标法，利用向量共线及垂直的坐标表示可求，即求. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 因为点与三点共线且，， 设，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴点到平面的距离为. 故答案为：. 14．（2024高二上·浙江·阶段练习）在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知的轨迹以点为圆心，半径长为的圆，分析出取最大值和最小值时，点、的位置，利用余弦定理可求得直线与所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解. 【详解】设点在平面内的射影为点，则为正的中心， 为的中点，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ，则， 平面，平面，，， 则、、、、、， 设点，，， 所以，，可得， 易知的内切圆半径为，故点在内运动， 所以点在以点为圆心，半径长为的圆上运动，作出的平面图如下图所示： 由于点是固定的，当取最大值，此时取最大值， 且此时点为的某个顶点，不妨设点与点重合，则为线段的中点， 此时，，， 所以，； 当取最小值时，则取最小值， 此时点为某边的中点，不妨设点与点重合， 则点为的中点，则，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角余弦值的取值范围，解本题的关键就是要确定点的轨迹，确定取最大值和最小值时的位置，再结合余弦定理求解. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，， . (1)若，求实数的值； (2)求； (3)若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可. （2）模长公式的坐标运算即可. （3）利用空间共面向量定理即可. 【详解】（1）∵， ∴，即， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ （3）若，，不能构成空间向量的一个基底， 则与，共面， 故存在唯一的实数对，使得， 即， ， ∴，解得， ∴. 16．（23-24高一下·江苏扬州·期中）如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题 （1）求证：  （2）求证平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，得到，，故，得到证明. （2）计算，计算，得到证明. 【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为， 则，，，，， 故，，故，故. （2），故，故， 又，，故平面. 【点睛】本题考查了利用空间向量证明线线垂直，线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 17．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD的中心，M是的中点． (1)求点到直线MP的距离； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而只需求线段的长即可； （2）由（1）得为平面的一个法向量，利用向量法根据公式即可求出答案. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，所以， 所以，所以， 所以点到直线MP的距离为线段的长， 又因为是边长为的等边三角形，为中点，所以. 即点到直线MP的距离. （2），所以，，， 因为，所以， 又由（1）知，所以为平面的一个法向量. 所以点C到平面的距离. 18．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 19．（2024·黑龙江·三模）已知正三棱柱中，所有棱长都是3，点D，E分别是线段和上的点，. （1）试确定点E的位置，使得平面，并证明； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值的大小. 【答案】（1）E为三等分点，且，证明见解析；（2） 【分析】（1）取E为AC的三等分点，且AC=3AE，过E作EK∥CC1，且，得到四边形BEKD为平行四边形，有BE∥KD，由线面平行的判定可得BE∥平面ADC1； （2）设AC中点为M，设A1C1的中点为P，分别以MA，MB，MP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由直线与平面所成角的正弦值为，可得E点坐标为，然后分别求出平面ABE与平面BEC1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-BE-C1的余弦值． 【详解】（1）取E为三等分点，且，过E作， 则，所以为平行四边形， 所以，又，， 所以平面，证毕； （2）设中点为M，设中点为P， 分别以，，为x，y，z建立空间直角坐标系， 则A（，0，0），C（，0，0），B（0，，0），（，0，3）， ，， 设平面的一个法向量为， 由，取， 可得， 设E点坐标为， ， 由直线与平面所成角的正弦值为， 解得， 可得E点坐标为， 即， 易求平面法向量， 设平面法向量， ，， 由，取， 可得， ， 又因为二面角为钝角， 所以所求余弦值为. 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，二面角的平面角及求法，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，对于二面角的求法，通常需要建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，即可求解，属于常考题型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$