4.1.2 垂线-【初中必刷题】2024-2025学年七年级上册数学同步课件（华东师大版2024）

数 学 七年级上册 HS 1 2 3 第4章 相交线和平行线 4 4.1 相交线 2.垂线 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂线 （第1题图） 1.【2023宁夏银川期末】如图，直线，相交于点 ，在下列条 件中，能说明 的有( ) B ；； ； ； . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直. ① ，可以得出 ② ，若，则 ，故 可以得出 ③ （对顶角相等），不能得到 ④ （平角），不能得到 ⑤ 因为 ，,所以 , 可以得出 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 关键点拨 通过所给条件求出两条直线相交所成的四个角中任意一个角等于 ，即可得到 两条直线互相垂直. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 2.【2024天津河西区期末】已知，直线经过点且 ，则 等于( ) C A. B. C. 或 D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】如图（1），当在的内部时，因为 ， ，所以 ，所以 . 如图（2），当在 的外部时， . 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 关键点拨 分在的内部和在 的外部两种情况讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 3.【2023四川资阳安岳期末】如图，，为垂足，直线过点 ，且 ，则____ . 60 （第3题图） 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 .因为，所以 ，所 以 .故答案为60. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 思路分析 根据垂直的定义得到 ，进而得到 ，把 代入可计算出 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点2 垂线的画法 4.在数学课上，同学们练习在三角形中，过点作边 所在直线的垂线段， 有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】根据垂线段的概念可知，A选项的图形中的线段是过点B作边 所在直 线的垂线段.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 5.【2024山东威海期末】如图，的一边在网格线上，另一边经过点 ， 点和点 均为格点.请完成下列问题： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （1）过点作的垂线，垂足为点 ； 【解】如图所示. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）过点作的垂线，交于点 ； 【解】如图所示. （3）找出图中与 相等的角（不再添加字母）：_______；理由是__________ ______ . 同角的余角相等 【解析】因为，所以 .因为 ，所以 ，所以，所以图中与 相等的角为 .理由是同角的余角相等.故答案为 ，同角的余角相等. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 知识点3 垂线的基本事实 6.【2023四川乐山质检】如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管 道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是( ) B A. B. C. D. 【解析】依据垂线段最短，以及两点之间线段最短，可得最节省材料的方案是B选 项.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 知识点4 垂直平分线 7.【2024吉林四平铁西区期中改编】如图，在三角形中，的垂直平分线 与边，分别交于点，，且.已知三角形与三角形 的周长 分别为和，则的长为___，若，则三角形 的面积 为____ . 4 10 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 【解析】因为是的垂直平分线，所以.因为三角形 的周 长是，所以.因为 ，所以 ，所以.因为三角形的周长是 ， 所以，所以 ，所以 .因为，，所以三角形 的面积 为 .故答案为4，10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 知识点5 点到直线的距离 8.【2023黑龙江哈尔滨香坊区校级期中】如图， ， 点到线段 的距离指的是下列哪条线段的长度( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 ，所以，所以点B到线段 的距离指的是线段 的长度.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 9.【2023江苏盐城亭湖区调研】已知点为直线外一点，点，，为直线 上的 三点，，，，则点到直线 的距离( ) D A.等于2 B.小于2 C.大于2 D.不大于2 【解析】点为直线外一点，点A，B，C为直线上的三点，， ， ，则点到直线 的距离小于或等于2，即不大于2.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 提升 1.【2023天津南开区质检，中】如图，在直角三角形 中， ，，，，则点到边 的距离是( ) B A. B. C. D. 【解析】设点A到边的距离为.在直角三角形中， ， ，，，所以 ，即 ，解得 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 2.［中］如图，直线,相交于点，平分，于点 .若 ，则 的大小为____度. 40 【解析】因为平分， ，所以 ，所 以 .因为于点 ，所以 ，所以 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 关键点拨 根据角平分线和垂直得到角之间的数量关系. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 3.［中］如图，直线与直线相交于点， ，若过点 作 ，则 的度数为___________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】当在上方时，如图（1）.因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 ；当在 下方时，如 图（2）.因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 .综上所述，的度数为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 关键点拨 根据题意画出图形，分在 上方和下方两种情况，再利用垂直的定义和对顶角 相等即可求得 的度数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 4.【2024吉林长春期末，中】图（1）、图（2）均是 的正方形网格，每个小 正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，三角形 的顶点均在格点 上.在给定的网格中按要求画图，画图时要求只用直尺，不要求写出画法. （1）请在图（1）中，画线段的垂直平分线 ； 【解】如图（1），直线 即为所求. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （2）请在图（2）中，画线段的垂直平分线 . 【解】如图（2），直线 即为所求. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 5.【2023浙江杭州西湖区期末，难】如图， ，射线、射线、射线、射线 均在内部， ， ， . （1）若 ，求 的度数； 【解】因为 ，所以 .因为 ，即 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）若与 互余，找出图中所有互补的角，并说明理由； 【解】设.因为 ，所以 ，所以 ， ,所以.因为与 互余，所以 ，即 ，所以 ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ， ，所以 ，所以互补的角为与 ， 与 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （3）若的其中一边与垂直，求 的度数. 【解】设.同（2）可得，.若与 垂直， 则 ，所以 ，所以 ，所以 .若与 垂直，则 ，所以 ，所以 ，所以 .因为 ，所以这种情况应舍去.综上， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力［难］已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合 图形，试探究这两个角之间的数量关系. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 （1）如图（1），，，则与 之间的数量关 系是_________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 【解】如图（1）.因为， ，所以 ， ，所以 ， .因为，所以.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 （2）如图（2），，，则与 之间的数量关 系是_______________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 【解析】如图（2）.因为， ，所以 ， ，所以 ，所以 .故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 （3）由 你能得出什么结论? 【解】如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 $$