专题01 二次函数与反比例函数（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的最小值与最大值 【解惑】已知反比例函数，若，则函数y有（    ） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值0 【融会贯通】 1．如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函，当时，函数的最大值为n，则 ． 3．如图，正方形位于第一象限，边长为3，横坐标为1的点在直线上，正方形的边分别平行于轴、轴．若双曲线与正方形公共点，则的最大值是 类型二、二次函数中的将军饮马与铅锤高 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． (3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 类型三、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是 ． (2)当点与点重合时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 2．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 3．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 类型四、二次函数与反比例函数的定值问题 【解惑】在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线对称轴直线上一动点，点，在直线左侧的抛物线上，点在的左侧，若为等腰直角三角形，，设点，的横坐标分别为，，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (3)点是轴左侧抛物线上一点（不与点重合），过点作轴，垂足为点，直线与直线交于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标． 2．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 类型五、二次函数与反比例函数的比值问题 【解惑】已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为． (1)求点和点坐标； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 【融会贯通】 1．平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为A，，相交于点B，过点A作轴于点C，连接交于点D． (1)点A的坐标是________； (2)如图，求面积与面积的比值； (3)在y轴上有两点，，过点E作x轴的平行线交直线于点F，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点P，Q．若抛物线C在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线，在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求的取值范围． 2．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究： 探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？ 探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？ 探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？ 请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．    3．已知：如图，反比例函数y=的图象上的一点A（m，n）在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且AB=AO，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D． （1）用含m的代数式表示点D的坐标； （2）求证：CD=3BD； （3）联结AD、OD，试求△ABD的面积与△AOD的面积的比值． 类型六、二次函数与反比例函数的新定义 【解惑】我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． 【概念㦚析】 （1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，， 联立由①得③， 将③代入②，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． （3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由． 【融会贯通】 1．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 2．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 3．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． (1)反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； (2)若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 类型七、二次函数与反比例函数的平移 【解惑】如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 【融会贯通】 1．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 3．如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 类型八、二次函数与反比例函数的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过两点的抛物线交轴于另一点． (1)求抛物线解析式； (2)将轴下方的抛物线沿轴翻折（如图2），将线段沿射线方向平移，设平移后的的解析式为，试讨论平移后的线段与翻折后的函数图象的交点个数与对应的的值或取值范围（可以直接写出结果）； (3)如图3，直线交抛物线于两点，若，试求的值． 【融会贯通】 1．如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． (1)求出该二次函数的解析式． (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． (3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点重合），若，求的面积； (3)将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值． 3．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． (1)求的值及直线的解析式； (2)若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 类型九、二次函数与反比例函数的旋转 【解惑】如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【融会贯通】 1．如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______． (2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为． ①求二次函数的解析式； ②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 3．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． (1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） (2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． (3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 类型十、阅读理解 【解惑】【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【融会贯通】 1．阅读理解 【信息提取】 新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”． 新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则． 【感知理解】 （1）抛物线的“友好抛物线”为____________________； （2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________； 【综合应用】 （3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长． 2．【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数(即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数经过定点，因为无论取什么值，函数一定经过点，因此函数经过的定点就是； 因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决． 【尝试运用】（1）二次函数的图象必经过定点坐标为_____； （2）试说明抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； 【思维拓展】 （3）如图，若、是抛物线上的动点，，且它们的横坐标分别为、，连接、． 证明：直线过定点； 如图，轴，轴，若 ，．要使过原点的直线恰好平分四边形面积，请直接写出的最小值，及此时这条直线的解析式． 3．阅读理解： 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”，如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”． (1)已知点A的坐标为 ①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为____________． ②若点C在直线上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点M的坐标为，点N的坐标为，若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 【一览众山小】 1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（    ） A． B． C．2 D．4 2．如图，函数的图象所在坐标系的原点是（    ） A． 点M B．点N C．点P D．点Q 3．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 4．如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为 ． 5．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点A与点B，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 6．若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 7．如图矩形中，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．      (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围? 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将一次函数的图象向下平移个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 9．已知抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线与直线的解析式和点的坐标． (2)若点是在直线上方的抛物线上一点，求的最大面积． 10．已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数中的最小值与最大值 【解惑】已知反比例函数，若，则函数y有（    ） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值0 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键．根据反比例函数的性质得出图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，把代入得出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， ∴函数有最大值， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据、两点在反比例函数上，求出、的坐标，然后过点作其关于轴的对称点，连接与轴交于点，此时的点即为所求，然后求出的解析式，从而求出的坐标． 【详解】解：∵点，都在双曲线上， ∴， 解得，， ∴，， 如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则， ∴， ∵的周长为， ∴当、、三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，轴对称，解题的关键在于明确周长最小的情况． 2．已知反比例函，当时，函数的最大值为n，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限，随的增大而增大．利用反比例函数的性质，由的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可． 【详解】解：， 在每个象限内随的增大而减大， 又当时，为最大值． 故答案为：6． 3．如图，正方形位于第一象限，边长为3，横坐标为1的点在直线上，正方形的边分别平行于轴、轴．若双曲线与正方形公共点，则的最大值是 【答案】16 【分析】根据题意，根据正方形的性质求出点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3，横坐标为1的点在直线上， ∴，点C的坐标为， 当双曲线 经过点A时，， 当双曲线经过点C时，， ∴双曲线与正方形公共点，则k的取值范围是， ∴的最大值是； 故答案为16． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题以及正方形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、以及正方形的性质是解题的关键． 类型二、二次函数中的将军饮马与铅锤高 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点与，过点A作轴，垂足为，连接、． (1)求的值； (2)求证：为等腰三角形； (3)为轴上一点，的周长是否有最小值，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）把与代入，解方程组即得； （2）过作于点，根据， ， 得到线段，，，得到垂直平分，即得为等腰三角形； （3）作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小．设所在直线的表达式为，把，代入，解方程组得到，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点与， ∴， 解得：， 故m的值为8； （2）过作于点， ∵ ∴点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形； （3）存在，理由： 作点C关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小． 设所在直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 故点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形判断，轴对称线段最短，待定系数法求一次函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 【融会贯通】 1．如图抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． (3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解； （2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解； （3），即可求解． 【详解】（1）解：， 点， 则抛物线的表达式为， ，解得， 故抛物线的表达式为，则函数的对称轴为； （2）解：四边形的周长，其中、是常数， 当最小时，周长最小， 取点关于直线对称点，则， 取点，则平行于 则四边形是平行四边形 则， ，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，如图所示： 四边形的周长的最小值 ； （3）解：设直线交轴于点，如图所示： 直线把四边形的面积分为两部分， 又， 或，则或， 即点的坐标为或， 将点的坐标代入直线的表达式，即或，解得或， 直线的表达式为或， 联立抛物线与直线表达式得或， 或，解得或或（舍去）， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点点来求最小值，是本题的难点． 2．如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．    (1)直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 【答案】(1)，，，抛物线对称轴为直线 (2)①，当时，四边形为平行四边形；②，时，S取得最大值 【分析】（1）对于抛物线解析式，令求出的值，确定出与坐标，令求出的值确定出的做准备，进而求出对称轴即可； （2）①根据与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，进而表示出与坐标，根据抛物线解析式确定出与坐标，表示出，利用平行四边形的判定方法确定出的值即可； ②连接，设直线与轴交于点，求出的长，三角形面积等于三角形面积加上三角形面积，列出关于的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出取得最大值时的值即可． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得到； 令，得到， 即， 解得：或， 则，，， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； （2）①连接，    设直线的函数解析式为， 把，分别代入得：， 解得：，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 令中，得到， ∴， 当时，， ∴， ∴线段， ∵， ∴， ∴线段， 由，得到当时，四边形为平行四边形， 由， 得到或（不合题意，舍去）， 则当时，四边形为平行四边形； ②连接，    设直线与x轴交于点M， 由，，可得， ∵， ∴， 则当时，S取得最大值． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定二次函数解析式，平行四边形的判定，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值是，此时点 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，线段最值问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴是直线，则，代入，待定系数法求解析式，即可求解． （3）证明得出，设点，表示出，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 直线l与x轴交于点，与y轴交于点， ， 解得：， 直线l的解析式为； （2）设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3），， ， 在中，， ， 轴，， ， 在中， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 设点， ， ， ， 当时，有最大值是，此时最大， ， 当时，， ， 的最大值是，此时点． 类型三、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是 ． (2)当点与点重合时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3) 【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证； （2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案； （3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， ∴当时，点在中点上， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； （2）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴此时点的运动的距离为， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， 如图，当时，点在上运动， ， 此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于， ， 同理可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时， (3)或 【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键． （1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可； （2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可． 【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=， 当时，作于点，如图所示， 在中，，， 在中，，。 故答案为：或； （2）点F运动的路程就是线段的长，即， 当时，，即； 当时，作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 综上可得，求y关于x的函数解析式为：； （3）当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， 当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或． 2．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 【答案】(1) (2)当时，为最大值（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）函数图象如下： 根据函数图象可得，当时，为最大值（答案不唯一）； （3）平移，如图所示： 当过时，有两个交点，此时函数解析式为，， 当过时，有一个交点，此时函数解析式为，， ∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点在边上（点不与点，重合），过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，点的对应点为，连接． (1)如图①，若点落在上，点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)设与重合部分面积为，． ①如图②，若重合部分为四边形，与边交于点，，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；②当时，的取值范围为． 【分析】（1）作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，设，点落在上时，，，由，列式计算即可求解； （2）①作于点，推出、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形，求得，，，根据计算即可求解； ②分当、、时，分别求得的值，当时，利用二次函数的性质求得的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵将线段绕点逆时针旋转90°得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标是， 设，则，， 点落在上时，，， ∴，即， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①作于点， 同（1）、、和都是等腰直角三角形，四边形为矩形， 由（1），，， ∴， ∴四边形的面积 ； ②当时， 当时，； 当时，； 当时， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当时，如图，同理， ∴； 综上，当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，学会用分类讨论的思想思考问题． 类型四、二次函数与反比例函数的定值问题 【解惑】在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线对称轴直线上一动点，点，在直线左侧的抛物线上，点在的左侧，若为等腰直角三角形，，设点，的横坐标分别为，，探究的值是否为定值，若是，求的值；若不是，请说明理由； (3)点是轴左侧抛物线上一点（不与点重合），过点作轴，垂足为点，直线与直线交于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)的值是定值，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设直线与轴交于点，过作直线于，过作直线于，证明，可得，，由可得，即可得出结论； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为： 点，的横坐标分别为，， ，， 设直线与轴交于点，过作直线于，过作直线于， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值是定值，； （3）解：当点在第二象限时，如图， 设．则， 点，点． 直线的解析式为， ， 轴， ∴轴， ， 点关于直线的对称点落在轴上， ，，， ， ， ， 解得或0（舍去）， 点的坐标为， 当点在第三象限时，如图， 同理得， ，解得或0（舍去）， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 2．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1)定点坐标为 (2)①；②面积为定值，面积为4． 【分析】（1）本题考查的是含参数的函数过定点问题，找到函数中的参数，确定参数的系数，令系数为零即可解决． （2）① 本题考查了求两条线段之差的最大值问题，解决问题的关键在于找到何时取得最大值，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，、为定点，为动点，于是有，即当、、三点在一条直线上时取得最大值，利用待定系数法求出过点、的直线解析式，然后求出直线与轴交点即为所求的最大值时的位置，的距离可求，坐标已求，根据三角形面积公式可得面积． ② 由于，是抛物线上异于，的两个动点，要在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，那么必然这个三角形的三个顶点是确定的，、为定点，于是直线存在定点使得的面积是定值．要确定直线存在定点，即需求带参数的函数过定点问题，需要确定参数的系数，令系数为零即可求恒过的定点．设，，直线：，直线：，直线：，将直线、、的解析式分别与抛物线解析式联立，利用根与系数的关系，求得解析式中系数与之间的关系式，再联立直线和直线解析式，其交点始终在直线上，可得到的关系式，然后化简将直线：变为只含一个参数的方程，即可求出直线恒过的定点，最后利用几何关系求出的面积． 【详解】（1）解：， 当时，恒成立， 对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点． （2）解：① 当时，抛物线的解析式为， 令，解得，， ，． 为抛物线顶点， 点横坐标为，纵坐标为， ， 当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值， 如图1，连接并延长，交x轴于点P， 设直线的解析式为， 将点，的坐标分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ． ② 的面积为定值，面积为4． 解：如图2， 设，，直线：，直线：，直线：， 将点的坐标代入直线的解析式，得． 将点的坐标代入直线的解析式，得． 联立直线与抛物线的解析式，得， 整理得， 则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）． 同理可得，， ，， ，， ， ． 联立直线与直线的解析式，得解得， 直线与直线的交点始终在直线上， ，化简得， ， 直线：， 当时，， 即不论为何值，直线EF恒过定点． 如图3，过点Q作轴于点K， ，，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数，含参数的函数过定点问题，两条线段之差的最大值问题，联立函数解析式求交点的问题，一元二次方程根与系数的关系以及几何图形面积的求解；熟悉掌握含参数的函数过定点问题的方法，求两条线段之差最大值的理论依据，联立函数解析式求交点，利用根与系数的关系化简参数，切割几何图形求面积等方法是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积是定值，的面积为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出 ， 即可求解； （3）设点的坐标分别为： ，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则 再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出 即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得： ， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为，代入得： ，解得 则直线的表达式为： 设点 则点 ， 则 ， 由题意知，为等腰直角三角形， ∴，则， 由直线的表达式知，其和轴的夹角为， 则 ， 同理可得：， ， 则 解得： (舍去)或， 当 时，则 ； （3）的面积是定值， 理由： 设点的坐标分别为： ， 由点的坐标得，直线的表达式中的值为： 则 由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得： ， ， 则， 则的面积为定值． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 类型五、二次函数与反比例函数的比值问题 【解惑】已知抛物线：（是常数，）的顶点为，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为． (1)求点和点坐标； (2)若点在直线下方的抛物线上，过点作轴，轴，分别与直线相交于点和点，当取得最大值时，求点的坐标； (3)抛物线：（是常数，）经过点，若点在轴下方的抛物线上运动，过点作于点，与抛物线相交于点，在点运动过程中的比值是否为一个定值?如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、 (2) (3)是一个定值，此定值为，理由见解析 【分析】（1）由题意，设抛物线解析式为，利用待定系数法确定函数关系式，令求出点坐标，令求出点坐标； （2）先利用待定系数法确定直线：，设，求出坐标，根据两点之间距离公式，结合二次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）由待定系数法确定抛物线：，设，且，得出坐标，再由两点之间距离公式求出，代值求即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线：的顶点为， 设抛物线解析式为， 抛物线：与x轴相交于点， ，解得， 抛物线：， 令，则，解得，即或， ， 令，则，即； （2）解：如图所示： 由（1）知、，设直线：，则 ，解得， 直线：， 设，则， 、， ， ∵ ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：是一个定值，此定值为，理由如下： 抛物线：（是常数，）经过点， ，解得，即抛物线：， 由（1）知抛物线：， 设，且，则， ， ，， ，即在点运动过程中的比值是一个定值，此定值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线图象与性质、待定系数法确定函数关系式、两点之间距离公式等知识，根据题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． 【融会贯通】 1．平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为A，，相交于点B，过点A作轴于点C，连接交于点D． (1)点A的坐标是________； (2)如图，求面积与面积的比值； (3)在y轴上有两点，，过点E作x轴的平行线交直线于点F，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点P，Q．若抛物线C在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线，在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象平移的性质直接求解即可； （2）先求出直线解析式为，求出点，过点作交于点，得出，证明，得出即可； （3）当点恰好落在抛物线上时，满足抛物线在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值随的增大而增大，再向上移动时，即可满足题意；直至当点恰好与异于A点的点重合时，满足题意，因此计算两个端点时对应的长度即可． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为， ∴新的抛物线，顶点为， 故答案为：； （2）解：如图，设直线解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 直线解析式为， ， 令， 解得：， ， ， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 设边上的高为， ． （3）解：①如图所示，当点恰好落在抛物线上时，满足抛物线在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值随的增大而增大， ∵，， ∴点的纵坐标为，代入直线的解析式， 解得点的纵坐标为，即：， ∵，轴， ∴， 将代入， 解得：或， ∵此时点在点A左侧，点右侧， ∴， ∴， 此时，直线分别交抛物线，于点，，则的坐标即为， 将代入，得：，即：的坐标即为， ∴此时；    ②如图所示，当点恰好和A点重合时， 即：此时点的坐标为，也即点的坐标为， 将代入，得：，即：的坐标即为， ∴此时；    ③如图所示，当点为直线与抛物线的另一交点时，满足题意； 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为，也即点的坐标为， 将代入，得：， 即：的坐标即为， ∴此时；    综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，理解二次函数的基本性质，以及平移法则，掌握矩形相关性质是解题关键． 2．图形的平移变换、对称变换等是研究几何图形常用方法，小明同学用平移变换和对称变换对直线和曲线进行了探究： 探究一：如图1，当直线l与曲线c有且只有一个交点时，n的值是多少？ 探究二：如图2，直线l与曲线c交于A，B两点，当时，x的取值范围是；直线与曲线c和直线l分别交于E，G两点，则与的比值是多少？ 探究三：如图3，将曲线c沿直线l翻折得另一曲线，直线与两条曲线分别交于E，F两点，若，则n的值是多少？ 请完成小明提出的以上三个探究，并写出探究过程．    【答案】探究一：；探究二：；探究三： 【分析】探究一：联立直线l与曲线c解析式得到对应的一元二次方程，根据只有一个交点得到一元二次方程有两个相等的实数根，据此求解即可； 探究二：利用图象法求出A，B的坐标，进而求出n的值，进一步求出E，G的坐标，利用勾股定理求出的长即可得到答案； 探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T，求出，进而证明，再证明，得到，即，则E、F关于直线l对称，进而得到，设，推出，，则，即可求出，，再根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：探究一：联立得：， ∵直线l与曲线c有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，原方程为，解得，不符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； ∴； 探究二：设， 由函数图象可知，当直线l的函数图象在曲线c的函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∵当时，x的取值范围是， ∴， 联立得：， ∵直线l与曲线c交于A，B两点， ∴方程的两个实数根分别为， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴， ∴； 联立，解得， ∴； 联立，解得或， ∴， ∴， ∴； 探究三：如图所示，设直线l分别与x轴，y轴，直线交于H，G，T， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵直线平分， ∴， ∴，即， ∴E、F关于直线l对称， ∴， 设， 联立得：，联立，解得， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（此时直线l与曲线c只有一个交点）（舍去）或．    【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解一元二次方程，正确通过联立对应的解析式，从而表示出对应的交点坐标是解题的关键． 3．已知：如图，反比例函数y=的图象上的一点A（m，n）在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且AB=AO，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D． （1）用含m的代数式表示点D的坐标； （2）求证：CD=3BD； （3）联结AD、OD，试求△ABD的面积与△AOD的面积的比值． 【答案】（1）D（2m，）；（2）详见解析；（3）. 【分析】（1）先用m表示点A的坐标，进而利用等腰三角形的性质得出点B的坐标，即可得出结论； （2）先确定出直线OA的解析式，即可得出点C的坐标，求出CD，BD即可得出结论； （3）先判断出S△ACD=3S△ABD，再判断出S△AOD=S△ACD，即可得出结论． 【详解】（1）如图， ∵点A（m，n）在反比例函数y=的图象上， ∴n=， ∴A（m，）， 过点A作AH⊥x轴于H， ∴H（m，0）， ∵AB=OA， ∴OB=2OH， ∴B（2m，0）， ∵BD⊥x轴于D， ∴点D的横坐标为2m， ∵点D在反比例函数y=的图象上， ∴D（2m，）； （2）设直线AO的解析式为y=kx， ∵点A（m，）， ∴， ∴k=， ∴直线AO的解析式为y=x， ∵点C在直线AO上，且横坐标为2m， ∴C（2m，）， ∴CD=， ∵BD=， ∴CD=3BD； （3）由（2）知，CD=3BD， ∴S△ACD=3S△ABD， ∵AB=AO， ∴∠AOB=∠ABO， ∵∠CBO=90°， ∴∠AOB+∠C=90°，∠ABO+∠ABC=90°， ∴∠C=∠ABC， ∴AB=AC， ∴AC=AO， ∴S△AOD=S△ACD， ∴S△AOD=3S△ABD， ∴． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系中几何图形的面积的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出CD=3BD． 类型六、二次函数与反比例函数的新定义 【解惑】我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． 【概念㦚析】 （1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，， 联立由①得③， 将③代入②，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． （3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由． 【答案】（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3）支持静静的观点 【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可； （2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可； （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，可得，再运用根的判别式即可求得答案． 【详解】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍， ∵正方形A的边长为1， ∴正方形B的边长是2， ∴正方形B的面积是4，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体． 故答案为：不存在； 深入探究：长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形， 理由：∵矩形的长为4，宽为3， ∴矩形的周长为14，面积为12， 小鸣方程流： 设新矩形长和宽为、，则依题意，， 联立， 整理得：， 解得：，， ∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24， ∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形； 小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，， 即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图： 故长为4，宽为3的矩形存在完全倍体； （2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，， 联立，得， ∴， ∴方程无解， ∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体． 方法2：如图， 反比例函数：与一次函数：没有交点，所以不存在完全倍体； （3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，， ∴， ∴， ∴对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体， ∴静静的说法是正确的． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围． 【融会贯通】 1．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、反比例函数图像上点的坐标特征等知识，理解题中定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，， ，再根据题中定义得到，然后得到，根据等角对等边得到，进而可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而证得，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质推导出，进而根据题中定义可得结论； （3）根据等腰三角形的判定推导出E为的中点，设，利用中点坐标公式可得，，进而可得点B的坐标为，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是半对角四边形； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴，则， ∴E为的中点， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意，点B的坐标为， ∵点E是反比例函数图像上，点B恰好在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：8． 2．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为_________； ②函数的“最优纵横值”为_________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】(1)①8；② (2)4 (3)当或时，二次函数的最优纵横值为7 【分析】（1）①根据“纵横值”的概念解答即可； ②根据“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，再结合反比例函数的性质即可求解； （2）根据二次函数的顶点在直线上，解出，再结合“纵横值”的概念表示出函数图象上所有点的“纵横值”，根据最优纵横值为5，即可解答； （3）根据的顶点在直线上，得出，表示出图象上所有点的“纵横值”，确定出对称轴为直线．分为当时，即时，此时当时，值为7；当时，即时，此时当时，值为7；当时，即，分别解答即可． 【详解】（1）①点的“纵横值”为； ②函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为． （2）∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ∵最优纵横值为5， ， ； （3）∵的顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， ， 令， 对称轴为直线． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即时， 此时当时，值为7， ， ∴(不合题意，舍去)． 当时，即， ， 此时最优纵横值不等于7，不合题意． ∴当或时，二次函数的最优纵横值为7． 【点睛】该题是自定义类函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． 3．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． (1)反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； (2)若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数是上的“同步函数”，理由见解析； (2)或； (3)． 【分析】（）根据“同步函数”的定义进行判断即可； （）根据“同步函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可； （） 由 ，得 ，则抛物线在上是随的增大而增大，可知时，1，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标； 【详解】（1）当时, 则， ∵反比例函数在第一象限内随的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数是上的“同步函数”； （2）由题意得: 当时，， ∵， 当时，随着的增大而增大， ∴当时，，当时，， 则， 解得：， 即； 当时，随着的增大而减小， ∴当时，当时，， 则 解得： 即 ， 综上所述，或； （3）抛物线的顶点式为，顶点坐标为， ∵，， ∴， ∴抛物线 ，在上是随的增大而增大， ∴当时，取最小值， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与直线相交于两点，设，，      假设点在点的左侧，即， ∴， 解得：，， ∴在中，，，， ∴，， ∵外心在线段的垂直平分线上，设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为得 ， ∴， ∵是等腰三角形，轴为的角平分线， ∴的内心在轴上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质，等腰三角形的性质等知识，理解新定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型七、二次函数与反比例函数的平移 【解惑】如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 【答案】(1)5 (2)抛物线的表达式为或或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键． （1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离． （2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式， 【详解】（1）解：将、代入中， 得 解得 抛物线L的表达式为． 顶点． 过点P作轴于点D，则， ，，， ，， ． （2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形， 当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上， 由于，即要使的面积为12，只需， 点P'在y轴左侧， 抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为； 当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上， 由于，要使的面积为12，只需， 抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为或． 综上，抛物线L'的表达式为或或． 【融会贯通】 1．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）． (1)求m的值和一次函数的解析式． (2)求点C的坐标． (3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移等，其中，确定点在上是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）证明即可求解； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解. 【详解】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： 将点、B的坐标代入函数表达式得： 解得： 则一次函数的表达式为：； （2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ， ， ， ， ∴ ∴点； （3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时, 则点在上, 由点的坐标得，直线的表达式为： 由（1）知，反比例函数表达式为：， 联立上述两个函数表达式得： ， 解得：(舍去)或 ， 即点， 由点的坐标得， 则重叠正方形的边长为． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为，此时的直线的解析式 (3)存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可设点的坐标为，则点的坐标为，结合点、正好落在反比例函数图像上，可设该反比例函数解析式为，易得，解得，进而可得点，点，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示， ∵、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）根据题意，将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点为、， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、正好落在反比例函数图像上， 设该反比例函数解析式为， 则有，解得， ∴点，点， ∴，即反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得 ∴直线的解析式为； （3）对于直线，当时，， ∴， 当为平行四边形的边时，如下图，此时四边形为平行四边形， ∵，， 又∵点在轴上，即的纵坐标为0，点在反比例函数的图像上， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时，如下图， 设是的中点， ∵，， ∴， 过点作直线与轴交于点，与的图像交于点， 若四边形是平行四边形， 则有， 易知点的横坐标大于，点的横坐标小于， 作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是， ∵在反比例函数的图像上，即， 解得， ∴，． 综上所述：存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、求反比函数解析、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、平行四边形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 3．如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】(1)， (2)两人说法都正确，理由见解析 (3)①；②或 (4) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， （4）解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 类型八、二次函数与反比例函数的翻折 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，经过两点的抛物线交轴于另一点． (1)求抛物线解析式； (2)将轴下方的抛物线沿轴翻折（如图2），将线段沿射线方向平移，设平移后的的解析式为，试讨论平移后的线段与翻折后的函数图象的交点个数与对应的的值或取值范围（可以直接写出结果）； (3)如图3，直线交抛物线于两点，若，试求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）易得，，设抛物线解析式为，再将代入抛物线解析式，求出的值即可得出答案； （2）分情况讨论，求出对应的的值，结合函数图象即可得出答案； （3）过点作轴于点，过点作轴，过点作轴于点，则，设，，证明得出，从而得出，联立方程得出，结合一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，故， 当时，，解得，故， ∵， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①当时，线段与翻折后的函数图象有一个交点； ②当线段平移至点与点重合时，与翻折后的函数图象有两个交点，将代入得：，此时； ③当线段与抛物线相切时，与点右侧的抛物线有一个交点，因此，此时线段与翻折后的函数图象共有两个交点， 由得， 化简整理的， 令， 解得，， 即当时线段与翻折后的函数图象共有两个交点； ④当时，平移后的线段与翻折后的函数图象有3个交点； ⑤当线段平移至点落在点右侧的抛物线上时， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设此时点的对应点为，则点的对应点为， ∴， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴的解析式为， 此时时，平移后的线段与翻折后的函数图象有最后的一个交点， 即当时，平移后的线段与翻折后的函数图象有一个交点． 综上所述，当或时，平移后的线段与翻折后的函数图象没有交点； 当或时，平移后的线段与翻折后的函数图象有一个交点； 当或时，平移后的线段与翻折后的函数图象有两个交点: 当时，平移后的线段与翻折后的函数图象有3个交点； （3）解：过点作轴于点，过点作轴，过点作轴于点，则， 设，， ∴，，，， ∵，，，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得，， 由得，， 则，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、相似三角形的判定与性质、一次函数与二次函数的交点问题等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． (1)求出该二次函数的解析式． (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． (3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 【答案】(1) (2)①P点横坐标为或或或；②或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，则，进而得到，根据，进行求解即可；②根据，结合二次函数的性质，进行求解即可； （3）根据题意，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：直线经过B、C两点，当时，，当时，， ， 将，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； （2）①设，则， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ，， ， ， 解得或或或， P点横坐标为或或或； ②∵， 当时，或， ∴当时，， ∴， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，， ∴当时，随的增大而增大， 综上：或； （3）将抛物线的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分的解析式为． 直线l向上平移n个单位长度，得到直线 当直线经过点A或与只有一个交点时，直线与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线经过点时，，解得： ②当与只有一个交点时， 只有一组公共解， 即方程中判别式等于0， ，解得： 综上，或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，． (1)求的值； (2)点在线段上（不与端点重合），若，求的面积； (3)将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再代入反比例函数解析式计算即可得解； （2）结合题意得出坐标，坐标，过作于点，求出纵坐标为，得到，求出的值即可得解； （3）将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点，由题意得出直线解析式，求出，从而得到，待定系数法求出直线解析式，联立，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 解得：， 再将代入得：； （2）解：由（1）得直线，双曲线，点坐标， 坐标，坐标， 过作于点， ， 为中点， 纵坐标为， ， 解的，（舍）， ， 可得，，， ∴； （3）解：将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点， 由直线可得直线解析式， 联立得：， ∴， 为中点，则， 设直线的解析式为：， 将及代入直线解析式可得：， 解得：， ∴直线解析式， 联立得， 解得：， 当时，将点沿直线翻折后的对应点会落在轴上， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、三角形面积公式、求中点坐标等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、． (1)求的值及直线的解析式； (2)若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标； (3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，分两种情况，情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示；根据面积列式求解即可得到答案； （3）根据题意分析出是平行于的动直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示，求出点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解． 【详解】（1）解：点在反比例函数， 将点的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 点，在直线上 ，解得， 直线的解析式为； （2）解：情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示： 设， 面积为4， ，则，解得； 情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示： 设， 面积为4， ，则，解得； 综上所述，或； （3）解：依据题意，直线平行于直线， 上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示： 由题意，则， 当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根， ，解得或（由图可知，负数舍去）， 此时，与轴的交点， ， ， 由直线的对称性可知，， 此时．与轴的交点， ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，综合性强，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积方法、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、函数交点个数与一元二次方程解的关系、直线平行的性质、点的对称等知识，熟记一次函数及反比例函数图象与性质、数形结合，熟练掌握并能灵活运用相关性质求解是解决问题的关键． 类型九、二次函数与反比例函数的旋转 【解惑】如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得； （2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：过B作于E， ∵A的坐标为，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过C作轴于F， ∴， ∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设，， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【融会贯通】 1．如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______． (2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为． ①求二次函数的解析式； ②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为，再代入二次函数解析式得到即可解答； （）①根据旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴该函数的图象的顶点坐标为， ∴将代入，得， 解得． ∴二次函数的解析式为, ∴二次函数的顶点为， ∴将代入入得， ∴符合要求， 故答案为：； （2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”， ∴的图象的顶点必在二次函数的图象上， ∵的图象是二次函数为的图象绕点旋转得到， ∴这两个函数图象的顶点关于点对称， 如图，分别过作轴，轴，垂足分别为， 在和中， ∴， ∴． 当时，， 解得（舍去）， ∴点的坐标为， 当点是的图象的顶点时，设， 把代入， 解得， ∴二次函数的解析式为为； ②设点的坐标为，则， ； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得， 综上所述，存在一点，使得为直角三角形，点的坐标或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点． (1)求抛物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标； ②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点， ， 解得： ； （2）如图 ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 为与轴交点， ， ， 四边形是平行四边形， 且，且点在点下方， 点在轴上，点在平面内，， ， ， 或， 若为， ， 故， 若为， ，此时，矛盾，舍去， 综上，点的坐标为； ②如图，设的解析式为 抛物线交轴于点， 点的坐标为，， 将点、的坐标代入得： ， 解得， 的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 所以点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入直线的解析式得： ， 解得， 所以直线的解析式为， 与相交于点， ， 解得， 点的坐标为， 当旋转到轴上时，此时最短，如图 的最小值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数表达式、二次根式的化简、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标等知识和方法，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题． 3．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示． (1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标） (2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积． (3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 【答案】(1) (2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6 (3) 【分析】（1）由题意知，令，求，的值，进而可得结果； （2）由，可得，联立，求解可得，，由题意知，如图，过作轴，过作于，过作于，则，，，，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，令，整理得，令，求解即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知， 令，即，则， ∴一次函数必定经过点， 故答案为：； （2）解：∵，则， 联立，解得，， ∴，， ∴， 如图，过作轴，过作于，过作于， 则，，，，， ∴ ∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6． （3）解：由题意知，， 令，整理得， 令， 解得， ∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 类型十、阅读理解 【解惑】【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，二次根式的性质， （1）根据阅读材料可得，当时，取得最小值，据此即可求解； （2）连接，设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解； 正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键． 【详解】（1）解：∵，且， ∴当时，即或（负值不符合题意，舍去）， 此时取得最小值，最小值为：， ∴当时，有最小值， 故答案为：；； （2）连接， ∵点是双曲线上 ∴， ∴双曲线的解析式为， 设， ∵点，轴，作轴， ∴ ， ∴四边形的面积的最小值为． 【融会贯通】 1．阅读理解 【信息提取】 新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”． 新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则． 【感知理解】 （1）抛物线的“友好抛物线”为____________________； （2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________； 【综合应用】 （3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长． 【答案】（1） （2），， （3） 【分析】（1）根据“友好抛物线”定义可得顶点关于坐标原点对称，开口方向相反，形状相同写出解析式即可． （2）将抛物线与化为顶点式，根据它们互为“友好抛物线”求解； （3）求出抛物线的顶点为的坐标为，根据“友好抛物线”可得．抛物线，利用待定系数法可得直线的解析式为．根据新知识得直线的解析式为．由，可得，．利用两点的距离公式即可求解． 【详解】解：（1）由已知抛物线与它的“友好抛物线”的顶点关于坐标原点对称，形状相同，开口方向相反． 抛物线的顶点坐标为， 它的“友好抛物线”的顶点坐标为， ， 故答案为：； （2）抛物线，， 抛物线的顶点坐标为，，抛物线的顶点坐标为，， 抛物线与互为“友好抛物线”． ，，， ，，． 故答案为：，，． （3）抛物线的顶点为，， ． 抛物线的顶点为，的“友好抛物线” 的顶点为， ． 抛物线， ．． 直线的解析式为． 若四边形为菱形，则． 直线的解析式为． 由，可得，． ，． ． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的顶点坐标以及新定义的问题，菱形的性质，着重理解“友好抛物线”这个新定义，解题的关键是根据新定义找出等量关系． 2．【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数(即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数经过定点，因为无论取什么值，函数一定经过点，因此函数经过的定点就是； 因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决． 【尝试运用】（1）二次函数的图象必经过定点坐标为_____； （2）试说明抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； 【思维拓展】 （3）如图，若、是抛物线上的动点，，且它们的横坐标分别为、，连接、． 证明：直线过定点； 如图，轴，轴，若 ，．要使过原点的直线恰好平分四边形面积，请直接写出的最小值，及此时这条直线的解析式． 【答案】（）或；（2）；（3）见解析；，． 【分析】（）根据题意，当时即可求解； （）由，当时即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，证明，得，即，求出直线解析式即可； 先求出，，得到四边形面积为，根据题意列出关系式即可求解； 本题考查了二次函数的图象及性质和一次函数，读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（）由， 当时，无论取什么值都有， ∴图象必经过定点或， 故答案为：或； （）由， ， ， 当时，解得：，，无论取什么值都会经过定点，， ∵是非坐标轴上的点， ∴； （）过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∵ ∴， ∴直线解析式为， 则经过定点； 由经过定点，直线解析式为， ∵， ∴直线解析式为， 联立，解得，， ∴，， ∵轴，轴，， ∴，， ∴四边形面积为， 设平分四边形面积的直线为，且交于点， ∴，，， ∴最小值可以为，此时四边形为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点横坐标为， ∴，代入得， 则解析式为， ∴的最小值为，此时这条直线的解析式． 3．阅读理解： 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，若P、Q为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为P、Q的“相关矩形”，如图①中的矩形为点P、Q的“相关矩形”． (1)已知点A的坐标为 ①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为____________． ②若点C在直线上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线的解析式． (2)已知点M的坐标为，点N的坐标为，若使函数的图象与点M、N的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①14 ②或者 (2) 【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知，AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可； （2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论． 【详解】（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点A、B的“相关矩形”如图所示， ∴点A、B的“相关矩形”周长=， 故答案为：14； ②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， ∵点C的在直线y=5上， ∴点C的纵坐标为5， 又∵点A，C的相关矩形是正方形，且A， ∴点A到直线y=5的距离为5-1=4， ∴A，C的“相关矩形”为正方形时，该正方形的边长为4， ∴点C的坐标为或， 如图， 设直线AC的解析式为， 当点C的坐标为， 将A，C代入， 可得， 解得，， ∴； 当点C的坐标为， 将A，C代入， 可得， 解得， ∴； ∴符合题意得直线AC的解析式为或． （2）∵点M的坐标为，点N的坐标为， ∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为、， 当函数的图象经过时，k=-6， 当函数的图象经过时，k=-20， 作图如下： ∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时， k的取值范围是：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来． 【一览众山小】 1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由当时，x的取值范围为或，可得抛物线对称轴为直线，从而可得b与a的关系，将代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解． 【详解】解：当时，，x的取值范围为或. ∴为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线． ∴． ∴， ∴， 将代入解析式得， ∴， ∵当时，x的取值范围为或， ∴． ∴ ∴． ∴． 故选：D． 2．如图，函数的图象所在坐标系的原点是（    ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．根据函数解析式可知，的函数图像在第二象限，的图像在第三象限，然后利用当取相同的值时，的图像更靠近轴，即可找到坐标系的原点． 【详解】解：在函数中 ， 的函数图象在第三象限，的函数图象在第二象限 所在直线为轴 不妨设，那么， 当取相同的值时，的图像更靠近轴 点是坐标系的原点 故选：D． 3．已知反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，不等式的性质等．先待定系数法求出反比例函数解析式，再结合的取值，列出不等式，根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， ∴， 当时， ∴当时，， ∴， 所以函数值的取值范围为． 故选：D． 4．如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可． 【详解】解：设的图象与x轴的交点为C，连接， 令，则， ， ， ∵直线与直线平行， ， ， 把代入，求得， ， ∵反比例函数的图象过点A， ， 故答案为：． 5．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点A与点B，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，掌握求交点坐标的方法是解题的关键． 利用待定系数法求得两直线的解析式，然后联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ，， 解得：，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为； 解方程组，得或， ， 故答案为：． 6．若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线与抛物线的图象，分情况找到临界位置的的值，进而确定的取值范围． 【详解】对于抛物线，当时，或， 对于抛物线，当时，或， 两条抛物线如下图： ∴，，， 当直线经过时，，得， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在下方时，只有两个交点不符合题意； 当直线与抛物线只有一个交点时， 即：方程只有一个解，即：方程只有一个解， ∴，解得：， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在上方时，最多只有两个交点不符合题意； 综上，当时，直线与抛物线与抛物线有三个不同交点， 故答案为：． 7．如图矩形中，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．      (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)若函数，请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时的取值范围? 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象写出答案即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可，    当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一） （3）解：由图象可得，当时的取值范围为； 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象和反比例函数图象，矩形的性质，三角形面积，图象法求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将一次函数的图象向下平移个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)n的值为1 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，一次函数图象的平移： （1）根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相同，都等于，进行求解即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）求出平移后的解析式，联立直线和双曲线的解析式，得到一元二次方程，根据两个函数图象只有一个交点，得到判别式等于0，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 由反比例函数的性质可知，， 解得：或(舍去)， ∴， ∴． ∴反比例函数的表达式为：． （2）由图象可知：不等式的解集为； （3）解∶直线的表达式为， 将 代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设将直线向下平移个单位长度得直线解析式为 ， 与反比例函数的图象只有一个公共交点， ∴整理得， ， 解得 (舍去)或，即n的值为1 ∴直线向下平移了1个单位长度． 9．已知抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线与直线的解析式和点的坐标． (2)若点是在直线上方的抛物线上一点，求的最大面积． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为； (2)最大面积是 【分析】本题考查了一次函数，二次函数解析式的求法，抛物线的顶点公式的运用及三角形的面积求法； （1）将点和点两点坐标分别代入与中，可求、及、的值，确定抛物线与直线的解析式，令抛物线解析式中，可求点的坐标； （2）过点作轴，交直线于，设、两点的横坐标为分别用抛物线、直线的解析式表示两点纵坐标，根据，列出关于的二次函数，求二次函数的最大值． 【详解】（1）解：把点和点代入中， ， 解得：， ， 把点和点代入中 得：， 解得：， ， 当时，， ∴ （2）过点作轴于，交直线于，过点作轴于，    设，则， ， 的最大面积是． 10．已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$