专题01 二次函数与反比例函数（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、认识二次函数与反比例函数 【解惑】下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 3．下列函数①；；③；④；⑤中，y是x的反比例函数的有 （填序号）． 类型二、列二次函数与反比例函数关系式 【解惑】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 2．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ． 3．当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为 ． 类型三、y=ax²的图象与性质 【解惑】若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 3．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 类型四、y=ax²+k的图象与性质 【解惑】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ． 3．抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 类型五、y=a(x-h)²的图象与性质 【解惑】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【融会贯通】 1．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数图象上两点，，其中，则 ． 3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 类型六、y=a(x-h)²+k的图象与性质 【解惑】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（   ） A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为 2．如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 3．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 类型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 【解惑】已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知抛物线，若点,,，都在该抛物线上，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是 ． 3．将抛物线的图象位于x轴下方部分关于x轴对称得到函数，将的图象沿着平行于x轴的某条直线对折使得的顶点落在x轴上，折痕与抛物线y交于A、B两点，与交于C、D两点，则的值为 ． 类型八、一次函数、反比例函数、二次函数的图象结合 【解惑】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   【融会贯通】 1．函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为 ；不等式的解集是 ． 3．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是    类型九、判断反比例函数的象限与增减性 【解惑】若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 2．已知反比例函数，当时，它的图象在第 象限． 3．反比例函数图象上三个点的坐标分别为、、，若，则的大小关系是 ． 类型十、求反比例函数与二次函数解析式 【解惑】已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 2．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 3．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值． 【一览众山小】 1．反比例函数的图象经过点，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的一次项系数为（    ） A． B．1 C．3 D．6 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为．则当时，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 4．若点和点在反比例函数的图象上，且，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 5．如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ． 6．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为 ． 7．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 8．如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 9．一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式． 10．已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、认识二次函数与反比例函数 【解惑】下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A，当时，，不是二次函数，不合题意； B，，是的一次函数，不合题意； C，，一定是的二次函数，符合题意； D，中含有分式，不是二次函数，不合题意； 故选C． 【融会贯通】 1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：A．不是关于x的正比例函数，故A错误； B．是关于x的反比例函数，故B正确； C．不是关于x的反比例函数，故C错误； D．不是关于x的反比例函数，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义,熟练掌握形如 (k为常数且)的函数是反比例函数是解题的关键． 2．有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．下列函数①；；③；④；⑤中，y是x的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】①是一次函数中的正比例函数；符合反比例函数的定义形式，是反比例函数；③中自变量x的指数是－2，不符合反比例函数的定义形式，不是反比例函数；④符合反比例函数的定义形式，是反比例函数；⑤当时，是反比例函数，缺少此条件则不是反比例函数 【解】②④ 类型二、列二次函数与反比例函数关系式 【解惑】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 【融会贯通】 1．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数，理解题意，得出因变量与自变量的关系是解答的关键．由表格发现，进而可求解． 【详解】解：由表格知，，即， 故选：C． 2．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 3．当三角形的面积为时，它的底边长与底边上的高之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据等量关系“三角形的面积底边底边上的高”即可列出与的关系式． 【详解】解：∵三角形的面积底边底边上的高 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键． 类型三、y=ax²的图象与性质 【解惑】若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 把代入得的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图像上即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得： 所以二次函数解析式：． A．当时，，故在函数图像上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意； B． 当时，，故不在函数图像上； C． 当时，，故在函数图像上； D． 当时，，故不在函数图像上； 故选C． 【融会贯通】 1．如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 2．已知抛物线经过点和，则 （填“>” “<”或“=”）． 【答案】> 【分析】将和代入中，求出和，再进行比较即可． 本题考查二次函数的图像上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键． 【详解】∵抛物线经过点和， ， ， ． 故答案为：> 3．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征．连接交于，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，得到，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接交于，如图， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则， ， 把代入， 得， 解得（舍去），， ，， ∴，， ∴菱形的面积为：， 故答案为：． 类型四、y=ax²+k的图象与性质 【解惑】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 2．已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 3．抛物线上有两点A（1，y1），B（3，y2），则 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和抛物线解析式，可以判断和的大小关系． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点，在抛物线上，在对称轴的右侧y随着x的增大而增大． ∵， ， 故答案为： 类型五、y=a(x-h)²的图象与性质 【解惑】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 2．已知函数图象上两点，，其中，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数解析式得到其增减性，再根据其增减性即可判断、的大小． 【详解】解：函数解析式为，其中， 函数图象开口向下， 函数的对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 类型六、y=a(x-h)²+k的图象与性质 【解惑】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 【融会贯通】 1．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（   ） A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可． 【详解】解：∵对于物线，， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为． 故选：D． 2．如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 3．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 类型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 【解惑】已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧随着的增大而增大， ∴的取值范围是， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知抛物线，若点,,，都在该抛物线上，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，开口方向向下自变量离对称轴越近则函数值越大． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∵且二次函数图象开口方向向下，自变量距离对称轴越近函数值越大， ∴． 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，先化为顶点式，再根据顶点式的坐标特点，直接写出答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 3．将抛物线的图象位于x轴下方部分关于x轴对称得到函数，将的图象沿着平行于x轴的某条直线对折使得的顶点落在x轴上，折痕与抛物线y交于A、B两点，与交于C、D两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，先得出关于x轴对称得到函数，再求出，，进而可得出答案． 【详解】解：设， ∴关于x轴对称得到函数， 根据题意可得：， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 类型八、一次函数、反比例函数、二次函数的图象结合 【解惑】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确； B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； 故选：A． 【融会贯通】 1．函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象开口向下，顶点在轴的正半轴上，故选项B符合题意，选项、D不符合题意． 当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象开口向上，顶点在轴的负半轴上，选项A 不符合题意． 故选：B． 2．已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为 ；不等式的解集是 ． 【答案】 或 【分析】把点（1，-2）代入即可求出k的值，根据当或时，抛物线在双曲线的下方，即可求出不等式的解． 【详解】解：∵反比例函数的图像在过点（1，-2） ∴k=1×（-2）=-2； ∵当或时，抛物线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故答案是：2；或． 【点睛】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式的关系，是解题的关键． 3．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是    【答案】 【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集． 【详解】观察图象可知当，时，． 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 类型九、判断反比例函数的象限与增减性 【解惑】若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，根据题意，反比例函数的比例系数，图像在每个象限，函数值随自变量的增大而增大，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质，增减性比较自变量、函数值的大小的知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，且当时，；当时，； ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．反比例函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 2．已知反比例函数，当时，它的图象在第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了判断反比例函数图象所在象限．反比例函数的图象，当、时位于第三象限． 【详解】解：∵，且， ∴它的图象在第一、三象限， ∴当时，， ∴函数，当时，函数的图象在第三象限， 故答案为：三． 3．反比例函数图象上三个点的坐标分别为、、，若，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由反比例函数的图象和性质确定，，的关系．先根据反比例函数的系数，判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据，判断出、、的大小．注意是在每个象限内，y随x的增大而减小．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴、， ∴， 故答案为： ． 类型十、求反比例函数与二次函数解析式 【解惑】已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 2．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算出的值即可． 【详解】解：根据题意，设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 3．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值． 【答案】， 【分析】把点和点分别代入，即可作答 【详解】解：由题意知，把点和点分别代入， 得， 解得， 所以b，c的值分别为和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的b，c的值，难度较小． 【一览众山小】 1．反比例函数的图象经过点，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积相同，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， 在，，，四个点中，只有的横纵坐标之积为； 故选A． 2．二次函数的一次项系数为（    ） A． B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 根据二次函数的相关概念即可得. 【详解】解：函数的一次项系数是6； 故选：D. 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为．则当时，自变量x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合法解答是解题的关键．利用数形结合法解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为， ∴结合图形得当时，x的取值范围是或． 故选：C． 4．若点和点在反比例函数的图象上，且，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查利用反比例函数图象与性质比较函数值大小，对于反比例函数比较自变量或函数值大小问题，采用作图法，根据题意，作出图象即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 将点和点在反比例函数的图象上标出，如图所示： ， 故答案为：． 5．如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用函数图形解不等式，理解是二次函数值小于一次函数值时自变量的取值是关键． 即二次函数的图象在一次函数的图象的下边，求自变量x的范围． 【详解】解：由题意得，二次函数的图象与一次函数的图象都经过点， ∵点A的横坐标为1， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 6．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 7．探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 8．如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 9．一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式． 【答案】． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，设出顶点式，把，代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴． 10．已知反比例（为常数，）的图象经过点 (1)求的值 (2)当时，求函数的取值范围； (3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，熟记相关结论是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）分别求出当和时的函数值即可求解； （3）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得： ， ∴ （2）解：由（1）得：， 当时，； 当时，； ∴ （3）解：∵， ∴反比例函数在一、三象限，随的增大而减小 ∵， ∴ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$